(共21张PPT)
专练5 以解析几何为主背景的融合与创新题
【解析】
【答案】B
【解析】
A
【解析】
设M(t，t2)，则|PM|2＝(t 5)2＋(t2＋1)2＝t4＋3t2 10t＋26．令g(t)＝t4＋3t2 10t＋26，则g′(t)＝4t3＋6t 10，令h(t)＝g′(t)＝4t3＋6t 10，则h′(t)＝12t2＋6＞0，所以h(t)单调递增，即g′(t)单调递增．又g′(1)＝0，所以当t＞1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增，当t＜1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．所以g(t)min＝g(1)＝20，即△PMN面积的最小值为4．
【答案】A
【解析】
(x a)2＋(ln x b)2的最小值为曲线y＝ln x上的点与以C( 2，3)为圆心，1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可转化为求曲线y＝ln x上的点M与圆心C( 2，3)的距离的最小值．
【答案】D
5．(2025·滁州二模)已知F1，F2是椭圆E的两个焦点，点P在椭圆E上，|PF1|，|PF2|，|F1F2|为从小到大连续的三个正整数，且∠F1PF2＝2∠PF2F1，则椭圆E的离心率为______．
【解析】
如图，由题意设|PF1|＝n 1，|PF2|＝n，|F1F2|＝ n＋1，n≥2，n∈N*．
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以2a＝2n 1，2c＝n＋1．
6．(2025·泰安期末节选)如图，已知点A，B在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，且AB⊥x轴，坐标原点O到AB的距离为2，|AB|＝4．
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】
因为AB⊥x轴，O到AB的距离为2，且|AB|＝4，所以点A的坐标为(2，2)．因为点A在抛物线C上，所以4＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．
6．(2025·泰安期末节选)如图，已知点A，B在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，且AB⊥x轴，坐标原点O到AB的距离为2，|AB|＝4．
(2) 设点D，E在C上且在AB左侧，点F，G在线段AB上，四边形DEFG为矩形，将矩形DEFG以x轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体的体积V的最大值．
【解答】
折叠前
折叠后
【解答】
折叠前
折叠后
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】专练5 以解析几何为主背景的融合与创新题
1．设m，n∈{－2，－1，0，1，2，3}，曲线C：mx2＋ny2=1，则下列说法正确的是( B )
A．曲线C表示双曲线的概率为 B．曲线C表示椭圆的概率为
C．曲线C表示圆的概率为 D．曲线C表示两条直线的概率为
【解析】 对于A，当mn＜0时，曲线C表示双曲线，则当m＞0，n＜0时，有＝6种；当m＜0，n＞0时，有＝6种．共12种情况，所以曲线C表示双曲线的概率为=，故A错误．对于B，当m＞0，n＞0，m≠n时，曲线C表示椭圆，有＝6种，所以曲线C表示椭圆的概率为=，故B正确．对于C，当m=n＞0时，曲线C表示圆，有3种情况，所以曲线C表示圆的概率为=，故C错误．对于D，当m=0，n＞0或m＞0，n=0时，曲线C表示两条直线，当m=0，n＞0时，有3种情况；当m＞0，n=0时，有3种情况，共6种情况，所以曲线C表示两条直线的概率为=，故D错误．
2．已知圆O的半径为5，|OP|=4，过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为a1，最长弦长为an，且公差d∈，则n的取值集合为( A )
A．{5，6} B．{6，7}
C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}
【解析】 因为圆O的半径为5，|OP|=4，所以过点P的n条弦的最短弦长为2=6，最长弦长为直径10，则a1=6，an=10，所以10=6＋(n－1)d，即d=∈，解得5≤n＜7，则n的取值集合为{5，6}．
3．(2025·漳州三模)已知M是抛物线x2=y上一动点，过点M作直线MN与圆P：(x－5)2＋(y＋1)2=4相切于点N，则△PMN面积的最小值为( A )
A．4 B．2
C．5 D．2－1
【解析】 如图，圆P：(x－5)2＋(y＋1)2=4表示以P(5，－1)为圆心，2为半径的圆，可知|PN|=2，所以S△PMN=|MN||PN|=|MN|==，所以当|PM|2取得最小值时，△PMN的面积最小．设M(t，t2)，则|PM|2=(t－5)2＋(t2＋1)2=t4＋3t2－10t＋26．令g(t)=t4＋3t2－10t＋26，则g′(t)=4t3＋6t－10，令h(t)=g′(t)=4t3＋6t－10，则h′(t)=12t2＋6＞0，所以h(t)单调递增，即g′(t)单调递增．又g′(1)=0，所以当t＞1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增，当t＜1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．所以g(t)min=g(1)=20，即△PMN面积的最小值为4．
4．若x，a，b均为任意实数，且(a＋2)2＋(b－3)2=1，则(x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为( D )
A．3 B．18
C．3－1 D．19－6
【解析】 (x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为曲线y=ln x上的点与以C(－2，3)为圆心，1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可转化为求曲线y=ln x上的点M与圆心C(－2，3)的距离的最小值．设M(m，ln m)，当|CM|取最小值时，曲线y=ln x在点M处的切线的斜率为k′=，从而有kCM·k′=－1，即=－1，整理得ln m＋m2＋2m－3=0，解得m=1，所以M(1，0)，|MC|==3，(x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为|PM|2=(|MC|－1)2=(3－1)2=19－6．
5．(2025·滁州二模)已知F1，F2是椭圆E的两个焦点，点P在椭圆E上，|PF1|，|PF2|，|F1F2|为从小到大连续的三个正整数，且∠F1PF2=2∠PF2F1，则椭圆E的离心率为____．
【解析】 如图，由题意设|PF1|=n－1，|PF2|=n，|F1F2|=n＋1，n≥2，n∈N*．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以2a=2n－1，2c=n＋1．设∠F1PF2=2∠PF2F1=2θ，由余弦定理可得(n－1)2=n2＋(n＋1)2－2n(n＋1)cosθ，(n＋1)2=n2＋(n－1)2－2n(n－1)cos 2θ，则cosθ=，cos 2θ=，又cos 2θ=2cos 2θ－1，代入并化简可得n=5，所以2a=2n－1=9，即a=，2c=n＋1=6，即c=3，所以离心率e==．
6．(2025·泰安期末节选)如图，已知点A，B在抛物线C：y2=2px(p＞0)上，且AB⊥x轴，坐标原点O到AB的距离为2，|AB|=4．
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 因为AB⊥x轴，O到AB的距离为2，且|AB|=4，所以点A的坐标为(2，2)．因为点A在抛物线C上，所以4=2p×2，解得p=1，所以抛物线C的方程为y2=2x．
(2) 设点D，E在C上且在AB左侧，点F，G在线段AB上，四边形DEFG为矩形，将矩形DEFG以x轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体的体积V的最大值．
【解答】 设点E(x，y)(y＞0)，则|EF|=2－x=2－．将矩形DEFG以x轴为旋转轴旋转半周得到的旋转体为圆柱，设其底面半径为R，高为h，则h=|EF|=2－，R=y，所以旋转体的体积V=πR2h=πy2=π=－(y2－2)2＋2π，因为0＜y＜2，所以当y2=2，即y=时，V取得最大值2π．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．现将平面xOy沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为A1，B1，且二面角A1－F1F2－B1为直二面角．
折叠前
折叠后
(1) 求折叠前椭圆C的标准方程；
【解答】 由题意得解得故折叠前椭圆C的标准方程为＋=1．
(2) 当θ=时，折叠后，求平面B1F1F2与平面A1B1F2夹角的余弦值．
【解答】 当θ=时，直线l的方程为y=(x＋1)，联立解得A(0，)，B．以原来的x轴为y轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，)，B1，F1(0，－1，0)，F2(0，1，0)，故=，=(0，－1，)．设平面A1B1F2的法向量为m=(x，y，z)，则即取y=，则x=，z=1，故m=，|m|==．易知平面B1F1F2的一个法向量为n==(0，0，)，则cos〈m，n〉===．设平面B1F1F2与平面A1B1F2的夹角为α，则cos α=|cos〈m，n〉|=，即平面B1F1F2与平面A1B1F2夹角的余弦值为．
8．如图，在抛物线C：x2=2py(p＞0)上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，n∈N*，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn＋1彼此外切．已知x1=1，点P1到C的焦点的距离为1，0＜xn＋1＜xn，an=．
(1) 求p；
【解答】 由题知P1，设抛物线C的焦点为F，则|P1F|=＋=1，解得p=1．
(2) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 由(1)知抛物线C：x2=2y．因为圆Pn与圆Pn＋1彼此外切，所以=yn＋yn＋1，则(xn－xn＋1)2=(yn＋yn＋1)2－(yn－yn＋1)2=4ynyn＋1=．因为0＜xn＋1＜xn，所以xn－xn＋1=xnxn＋1，即－=1．因为=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即=n，故an=n．
(3) 设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】 由(2)知bn=，Sn=＋＋＋…＋，Sn=＋＋＋…＋，两式相减得Sn=＋＋＋＋…＋－．令Tn=＋＋＋＋…＋，则Tn=＋＋＋…＋，两式相减得Tn=＋2－=＋2×－=－，所以Tn=3－，所以Sn=3－－=3－，即Sn=6－．
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1．设m，n∈{－2，－1，0，1，2，3}，曲线C：mx2＋ny2=1，则下列说法正确的是( )
A．曲线C表示双曲线的概率为 B．曲线C表示椭圆的概率为
C．曲线C表示圆的概率为 D．曲线C表示两条直线的概率为
2．已知圆O的半径为5，|OP|=4，过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为a1，最长弦长为an，且公差d∈，则n的取值集合为( )
A．{5，6} B．{6，7}
C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}
3．(2025·漳州三模)已知M是抛物线x2=y上一动点，过点M作直线MN与圆P：(x－5)2＋(y＋1)2=4相切于点N，则△PMN面积的最小值为( )
A．4 B．2
C．5 D．2－1
4．若x，a，b均为任意实数，且(a＋2)2＋(b－3)2=1，则(x－a)2＋(ln x－b)2的最小值为( )
A．3 B．18
C．3－1 D．19－6
5．(2025·滁州二模)已知F1，F2是椭圆E的两个焦点，点P在椭圆E上，|PF1|，|PF2|，|F1F2|为从小到大连续的三个正整数，且∠F1PF2=2∠PF2F1，则椭圆E的离心率为___．
6．(2025·泰安期末节选)如图，已知点A，B在抛物线C：y2=2px(p＞0)上，且AB⊥x轴，坐标原点O到AB的距离为2，|AB|=4．
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 设点D，E在C上且在AB左侧，点F，G在线段AB上，四边形DEFG为矩形，将矩形DEFG以x轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体的体积V的最大值．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．现将平面xOy沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为A1，B1，且二面角A1－F1F2－B1为直二面角．
折叠前
折叠后
(1) 求折叠前椭圆C的标准方程；
(2) 当θ=时，折叠后，求平面B1F1F2与平面A1B1F2夹角的余弦值．
8．如图，在抛物线C：x2=2py(p＞0)上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，n∈N*，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn＋1彼此外切．已知x1=1，点P1到C的焦点的距离为1，0＜xn＋1＜xn，an=．
(1) 求p；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
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