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专练3 以概率统计为主背景的融合与创新题
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
【答案】BC
4．设a，b是从集合{1，2，3，4}中随机选取的数，已知直线l：y＝ax＋b，圆O：x2＋y2＝1，则直线l与圆O有公共点的概率是______，直线l与圆O的公共点个数的数学期望是______．
【解析】
5．在三棱锥P ABC中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，且PA⊥平面ABC．小明和小亮做游戏，游戏规则如下：第一次每人从三棱锥P ABC的四个面中任取一个面，取哪个面相互独立，若取出的两个面垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥P ABC的六条棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，若取出的两条棱共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为______．
【解析】
设第一次游戏继续的事件为A，如图，三棱锥P ABC中，因为PA⊥平面ABC，PA在平面PAC，PAB内，所以平面ABC⊥平面PAB，平面ABC⊥平面PAC．
【解答】
X 2 3 4
P
【解答】
【解答】
7．某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 求图中a的值及该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
【解答】
7．某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(2) 以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在［200，250)内的天数为X，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求X的分布列及数学期望；
【解答】
X 0 1 2 3
P
【解答】
如图，取CD的中点F，连接BF，EF，AF，CE，DE．因为△BCD，△ACD都是边长为2的等边三角形，所以CD⊥BF，CD⊥AF，BF，AF 平面ABF，所以CD⊥平面ABF，又EF 平面ABF，所以CD⊥EF，所以∠EFA为二面角E CD A的平面角．专练3 以概率统计为主背景的融合与创新题
1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ＞3)=0.1，则函数f(x)=x3－x2＋ξ2x有极值点的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
2．若正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为1，则＜(i=2，3，4，5，6)的概率为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则( )
A．P(X=4)=
B．D(X)=
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当p=时，E(Y)=
4．设a，b是从集合{1，2，3，4}中随机选取的数，已知直线l：y=ax＋b，圆O：x2＋y2=1，则直线l与圆O有公共点的概率是____，直线l与圆O的公共点个数的数学期望是____．
5．在三棱锥P－ABC中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABC．小明和小亮做游戏，游戏规则如下：第一次每人从三棱锥P－ABC的四个面中任取一个面，取哪个面相互独立，若取出的两个面垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥P－ABC的六条棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，若取出的两条棱共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为____．
6．宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”“川鄂咽喉”之称．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌的游客进行了问卷调查．据统计，在受访的游客中，有的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位游客的选择相互独立，视频率为概率．
(1) 从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望．
(2) 从游客中随机抽取n(n∈N*)人，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求Pi．
(3) 从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
7．某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 求图中a的值及该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
(2) 以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在［200，250)内的天数为X，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求X的分布列及数学期望；
(3) 为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥A－BCD中，△BCD，△ACD均是边长为2的正三角形，AB=，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在A，B两个顶点处，记顶点A，B上的数字分别为m和n，若E为侧棱AB上一个动点，满足=，当“二面角E－CD－A大于”即为中奖，求中奖的概率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专练3 以概率统计为主背景的融合与创新题
1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ＞3)=0.1，则函数f(x)=x3－x2＋ξ2x有极值点的概率为( C )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【解析】 函数f(x)=x3－x2＋ξ2x的定义域为R，求导得f′(x)=x2－2x＋ξ2．依题意，f′(x)=0有两个不相等的实数根，则Δ=4－4ξ2＞0，解得－1＜ξ＜1．由随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ＞3)=0.1，得P(－1＜ξ＜1)=P(1＜ξ＜3)=－P(ξ＞3)=0.4，所以函数f(x)=x3－x2＋ξ2x有极值点的概率为0.4．
2．若正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为1，则＜(i=2，3，4，5，6)的概率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 因为=||||cos 60°=＜，=|||| cos 30°=＞，=||||cos 0°=2＞，=|||| cos 30°=＞，=||·||cos 60°=＜，所以P2，P3，P4，P5，P6五个点中有两个点满足题意，故所求概率为．
3．(多选)已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则( BC )
A．P(X=4)=
B．D(X)=
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当p=时，E(Y)=
【解析】 对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，则X~B，则P(X=4)=4×=，D(X)=5××=，故A错误，B正确．对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为t=1－(1－p)=＋p，＜t＜1，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为t3(1－t)2=10t3(1－t)2，设f(t)=10t3(1－t)2=10(t5－2t4＋t3)，则f′(t)=10t2(5t2－8t＋3)，令f′(t)=0，则t=0(舍去)或t=或t=1，当＜t＜时，f′(t)＞0，当＜t＜1时，f′(t)＜0，故t=时，f(t)=10(t5－2t4＋t3)取得最大值，即f(t)max=f=，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，此时p=，故C正确．对于D，当p=时，一天中不遇红灯的概率为×=，遇到一次红灯的概率为×＋×=，遇到两次红灯的概率为×=，故一天中遇到红灯次数的数学期望为1×＋2×=，所以E(Y)=5×=，故D错误．
4．设a，b是从集合{1，2，3，4}中随机选取的数，已知直线l：y=ax＋b，圆O：x2＋y2=1，则直线l与圆O有公共点的概率是____，直线l与圆O的公共点个数的数学期望是____．
【解析】 由已知可得l：ax－y＋b=0，圆O：x2＋y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1，则圆心O(0，0)到直线l的距离d=．若直线l与圆O有公共点，则d≤r=1，整理可得a2＋1≥b2．因为a，b∈{1，2，3，4}，所以满足条件的(a，b)为(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(3，3)，(4，3)，(4，4)，共包含10个基本事件．而总的基本事件的个数为4×4=16，所以直线l与圆O有公共点的概率是=．设直线l与圆O的公共点个数为随机变量X，可知X=0，2．当a≥b时，10个基本事件都满足a2＋1＞b2，即d＜r=1，此时有两个交点，所以P(X=2)=，P(X=0)=1－P(X=2)=，所以E(X)=0×P(X=0)＋2×P(X=2)=0×＋2×=．
5．在三棱锥P－ABC中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABC．小明和小亮做游戏，游戏规则如下：第一次每人从三棱锥P－ABC的四个面中任取一个面，取哪个面相互独立，若取出的两个面垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥P－ABC的六条棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，若取出的两条棱共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为____．
【解析】 设第一次游戏继续的事件为A，如图，三棱锥P－ABC中，因为PA⊥平面ABC，PA在平面PAC，PAB内，所以平面ABC⊥平面PAB，平面ABC⊥平面PAC．因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA，AB为平面PAB内两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，又因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，则P(A)=1－=．设第二次游戏继续的事件为B，如图，三棱锥P－ABC有6条棱，不共面的两条棱为PA与BC，PB与AC，PC与AB，共三组，则P(B)==，所以游戏在第三次结束的概率为P=××=．
6．宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”“川鄂咽喉”之称．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌的游客进行了问卷调查．据统计，在受访的游客中，有的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位游客的选择相互独立，视频率为概率．
(1) 从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望．
【解答】 由题意得，随机变量X的可能取值为2，3，4，可得P(X=2)=2=，P(X=3)=××=，P(X=4)=2=，所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×＋3×＋4×=．
(2) 从游客中随机抽取n(n∈N*)人，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求Pi．
【解答】 由这n人的合计得分为(n＋1)分，知其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以Pn=××n－1=，Pi=＋＋＋…＋，则×Pi=＋＋＋…＋，两式相减得×Pi=＋＋＋…＋－=1－－，所以Pi=－．
(3) 从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【解答】 在随机抽取的若干人的合计得分为(n－1)分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或(n＋1)分．记“合计得n分”为事件A，“合计得(n＋1)分”为事件B，A与B是对立事件．因为P(A)=an，P(B)=an－1，所以an＋an－1=1(n≥2)，即an－=－(n≥2)．因为a1=，所以数列是首项为－，公比为－的等比数列，所以an－=－×n－1(n≥1)，所以an=－×n－1(n≥1)，所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数．
7．某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 求图中a的值及该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
【解答】 由(0.001＋0.002＋0.003＋2a＋0.006)×50=1，得a=0.004．因为(0.002＋0.003＋0.004)×50=0.45，(0.002＋0.003＋0.004＋0.006)×50=0.75，所以每日汽车销售量的第60百分位数在［150，200)内，且为150＋×50=175．
(2) 以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在［200，250)内的天数为X，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求X的分布列及数学期望；
【解答】 因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为0.45，抽取的1天汽车销售量在［200，250)内的概率为0.2，所以在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在［200，250)内的概率为p==．由题意，X的值可以为0，1，2，3，且P(X=0)=×3=，P(X=1)=××2=，P(X=2)=×2×=，P(X=3)=×3=．所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=3×=．
(3) 为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥A－BCD中，△BCD，△ACD均是边长为2的正三角形，AB=，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在A，B两个顶点处，记顶点A，B上的数字分别为m和n，若E为侧棱AB上一个动点，满足=，当“二面角E－CD－A大于”即为中奖，求中奖的概率．
【解答】 如图，取CD的中点F，连接BF，EF，AF，CE，DE．因为△BCD，△ACD都是边长为2的等边三角形，所以CD⊥BF，CD⊥AF，BF，AF 平面ABF，所以CD⊥平面ABF，又EF 平面ABF，所以CD⊥EF，所以∠EFA为二面角E－CD－A的平面角．在△ABF中，AB=BF=AF=，所以∠BFA=60°．若∠EFA=45°，在△AEF中，由正弦定理得=，则AE==3－，此时BE=－(3－)=2－3，则=＋1．所以要想中奖，则有＞＋1．由m，n是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，知基本事件有A=56个，满足＞＋1的基本事件有(8，1)，(8，2)，(7，1)，(7，2)，(6，1)，(6，2)，(5，1)，(4，1)，(3，1)，共9个，所以中奖的概率为．
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