(共20张PPT)
专练4 以立体几何为主背景的融合与创新题
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】D
3．已知圆锥SO(O为底面圆心)的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面圆周上的一个动点，直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO．设直线SP与a所成的角为α，则α的取值范围为______；设直线SP与b所成的角为β，则cos 2α＋cos 2β＝______，cos αcos β的取值范围为______．
【解析】
如图，在圆锥底面上取两直径AB，CD，使AB⊥ CD，由于直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO，所以不妨令a∥AB，b∥CD，符合题意．
【解析】
5．(2025·邵阳联考)已知在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是底面ABCD内的动点，N为棱BC上的动点，且tan ∠AMA1＝2tan ∠BMB1，则MN＋ND的最小值为_________．
【解析】
图(1)
图(2)
6．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD＝2DB．平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．
(1) 求直线CD与平面α所成角的大小；
【解答】
图(1)
6．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD＝2DB．平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．
(2) 设点E∈α，且∠ECD＝30°，记E的轨迹为曲线Γ，判断Γ是什么曲线，并说明理由．
【解答】
曲线Γ是椭圆，理由如下：由(1)可知，DF⊥AC， DA＝DC，所以F是AC的中点．
如图(2)，取AB的中点O，连接OF，则OF∥BC．又BC⊥α，所以OF⊥α．
图(2)
图(2)
【解答】
由AA1⊥底面ADBC，AC，AD 底面ADBC，知 AA1 ⊥AD，AA1⊥AC．由于平面A1AD⊥平面A1AC，∠CAD为两平面的夹角，因此AC⊥AD．
【解答】
专练4 以立体几何为主背景的融合与创新题
1．如图所示是一种缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面且垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，使用线拐子时，丝线从点A出发，依次经过D，B，C又回到点A，这样一直循环缠绕，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线缠一圈的长度为( )
A．90 cm B．90 cm
C．60 cm D．80 cm
2．如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1内接于半径为的半球O，其下底面ABCD位于半球O的底面上，且上底面顶点A1，B1，C1，D1均在半球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为( )
A．2 B．6
C．3 D．4
3．已知圆锥SO(O为底面圆心)的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面圆周上的一个动点，直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO．设直线SP与a所成的角为α，则α的取值范围为____；设直线SP与b所成的角为β，则cos 2α＋cos 2β=____，cos αcos β的取值范围为____．
4．对于两个空间向量a=(x1，y1，z1)与b=(x2，y2，z2)，我们可以定义它们之间的欧式距离为d(a，b)=，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为D(a，b)=|x1－x2|＋|y1－y2|＋|z1－z2|，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市(如曼哈顿)中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，d(，)=____；若点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动，且||=，则D(，)的取值范围是____．
5．(2025·邵阳联考)已知在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD内的动点，N为棱BC上的动点，且tan ∠AMA1=2tan ∠BMB1，则MN＋ND的最小值为____．
6．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD=2DB．平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．
(1) 求直线CD与平面α所成角的大小；
(2) 设点E∈α，且∠ECD=30°，记E的轨迹为曲线Γ，判断Γ是什么曲线，并说明理由．
7．已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，直椭圆柱体的上、下底面椭圆的离心率为，高为椭圆短轴长度的，下底面长轴记为AB，上底面长轴记为A1B1，E为AB上一点，过点E在下底面内作AB的垂线，分别交椭圆于点C，D．设平面A1AD⊥平面A1AC，记m=．
(1) 求m的值；
(2) 求二面角C－A1B－D的余弦值．
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1．如图所示是一种缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面且垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，使用线拐子时，丝线从点A出发，依次经过D，B，C又回到点A，这样一直循环缠绕，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线缠一圈的长度为( C )
A．90 cm B．90 cm
C．60 cm D．80 cm
【解析】 依题意⊥，⊥，⊥，所以=0，=0，=0，又=＋＋，所以2=(＋＋)2=2＋2＋2＋2＋2＋2=152＋302＋152=152×6，所以||=15，同理可得||=||=||=15，所以丝线缠一圈的长度为4×15=60(cm)．
2．如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1内接于半径为的半球O，其下底面ABCD位于半球O的底面上，且上底面顶点A1，B1，C1，D1均在半球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为( D )
A．2 B．6
C．3 D．4
【解析】 设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2r=a，所以r=a．由勾股定理得h2＋r2=()2，即h2＋=3，得a2=6－2h2，其中0＜h＜，所以正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V=a2h=(6－2h2)h=－2h3＋6h，其中0＜h＜．构造函数f(h)=－2h3＋6h，其中0＜h＜，则f′(h)=－6h2＋6，令f′(h)=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′(h)＞0；当1＜h＜时，f′(h)＜0，所以函数f(h)在h=1处取得极大值，也是最大值，则Vmax=f(1)=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．
3．已知圆锥SO(O为底面圆心)的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面圆周上的一个动点，直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO．设直线SP与a所成的角为α，则α的取值范围为____；设直线SP与b所成的角为β，则cos 2α＋cos 2β=____，cos αcos β的取值范围为____．
【解析】 如图，在圆锥底面上取两直径AB，CD，使AB⊥CD，由于直线a，b满足a⊥b，a⊥SO，b⊥SO，所以不妨令a∥AB，b∥CD，符合题意．以O为坐标原点，OA，OD，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由△SCD是等腰直角三角形及S△SCD=1可得OA=SO=1，则S(0，0，1)，A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，－1，0)，D(0，1，0)．设P(cosθ，sinθ，0)，θ∈［0，2π)，则=(cosθ，sinθ，－1)，=(－2，0，0)，=(0，2，0)．由异面直线向量夹角公式知cos α=|cos〈，〉|==|cosθ|，cos β=|cos〈，〉|==|sinθ|．因为θ∈［0，2π)，所以|cosθ|∈［0，1］，所以cos α∈．又α∈，所以α∈，所以cos 2α＋cos 2β=2＋2=(cos 2θ＋sin 2θ)=．cos αcos β=|cosθ|×|sinθ|=|sinθcosθ|=|sin 2θ|．因为θ∈［0，2π)，所以2θ∈［0，4π)，所以sin 2θ∈［－1，1］，所以cos αcos β=|sin 2θ|∈．
4．对于两个空间向量a=(x1，y1，z1)与b=(x2，y2，z2)，我们可以定义它们之间的欧式距离为d(a，b)=，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为D(a，b)=|x1－x2|＋|y1－y2|＋|z1－z2|，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市(如曼哈顿)中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，d(，)=____；若点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动，且||=，则D(，)的取值范围是__［1，3］__．
【解析】 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，所以=(－1，1，1)，=(0，－1，1)，所以d(，)==．因为点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动，且||=，则||=1，即在上底面A1B1C1D1内，点P在以A1为圆心，1为半径的圆周上，可设P(cosθ，sinθ，1)，θ∈，则=(1，0，0)，=(cosθ，sinθ，1)，所以D(，)=|cosθ－1|＋|sinθ|＋1=2＋sinθ－cosθ=2＋．因为θ∈，所以－≤θ－≤，则sin ∈，所以D(，)∈［1，3］．
5．(2025·邵阳联考)已知在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD内的动点，N为棱BC上的动点，且tan ∠AMA1=2tan ∠BMB1，则MN＋ND的最小值为__－2__．
【解析】 如图(1)，因为tan ∠AMA1==，tan ∠BMB1==，tan ∠AMA1=2tan ∠BMB1，所以MB=2MA．如图(2)，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，3)，设M(x，y)，则=2，化简得(x＋1)2＋y2=4(x≥0，y≥0)，则圆心为P(－1，0)，r=2，点D(0，3)关于BC的对称点为D′(6，3)，所以MN＋ND=MN＋ND′≥MD′≥PD′－2=－2=－2(当且仅当P，M，N，D′在一条直线上时两等号同时成立)．
图(1)
图(2)
6．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD=2DB．平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直．
(1) 求直线CD与平面α所成角的大小；
【解答】 因为平面ABC⊥α，平面ABC α=AB，BC 平面ABC，BC⊥AB，所以BC⊥α，所以直线CD与α所成的角为∠CDB．如图(1)，过点D作DF⊥AC，垂足为F．因为CD平分∠ACB，DB⊥BC，所以DF=DB．又AD=2DB，所以DF=AD，所以∠DAF=30°．又AB=6，∠ABC=90°，所以BC=2．因为DB=AB=2，所以tan ∠CDB==，则∠CDB=60°，所以直线CD与平面α所成的角为60°．
图(1)
(2) 设点E∈α，且∠ECD=30°，记E的轨迹为曲线Γ，判断Γ是什么曲线，并说明理由．
【解答】 曲线Γ是椭圆，理由如下：由(1)可知，DF⊥AC，DA=DC，所以F是AC的中点．如图(2)，取AB的中点O，连接OF，则OF∥BC．又BC⊥α，所以OF⊥α．在α内过O作OG⊥AB，则OF⊥OB，OF⊥OG．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．因为OB=3，DB=2，所以OD=1．设E(x，y，0)，又D(0，1，0)，C(0，3，2)，则=(x，y－3，－2)，=(0，－2，－2)．因为cos∠ECD=，∠ECD=30°，所以=，化简得3x2＋2y2=18，即＋=1，所以曲线Γ是椭圆．
图(2)
7．已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，直椭圆柱体的上、下底面椭圆的离心率为，高为椭圆短轴长度的，下底面长轴记为AB，上底面长轴记为A1B1，E为AB上一点，过点E在下底面内作AB的垂线，分别交椭圆于点C，D．设平面A1AD⊥平面A1AC，记m=．
(1) 求m的值；
【解答】 由AA1⊥底面ADBC，AC，AD 底面ADBC，知AA1⊥AD，AA1⊥AC．由于平面A1AD⊥平面A1AC，∠CAD为两平面的夹角，因此AC⊥AD．以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，可设椭圆的方程为＋=1(a＞b＞0)，由于e==，故=，则＋=1，由于AC⊥AD，根据椭圆的对称性可知∠CAE=，故CE=DE=AE．设直线CD：x=－d(0＜d＜a)，则CE=AE=a－d，故C(－d，a－d)．将C(－d，a－d)代入椭圆＋=1中可得＋=1，化简得7d2－8ad＋a2=0，解得d=a或d=a(舍去)，故E，则m==．
(2) 求二面角C－A1B－D的余弦值．
【解答】 取AB的中点O，以O为坐标原点，以为x轴的正方向，过点O作平行于的直线为y轴，平行于AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C，D，B(a，0，0)，A1(－a，0，b)，所以=，=，=．设平面A1CB的法向量为m=(x，y，z)，平面A1DB的法向量为n=(x0，y0，z0)，则令x=3，则m=(3，4，4)；令x0=3，则n=(3，－4，4)．设二面角C－A1B－D的平面角为θ，则|cosθ|===．由于BE=，AA1=b=a，A1B==a，则点E到A1B的距离为d===×a．根据对称和全等可得tan ===＞1=tan ，故θ＞，所以cosθ=－．
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