专练6 以函数为主背景的融合与创新题
1．(2025·运城期末)若函数f(x)=有4个零点，则正数ω的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 当x＞0时，函数f(x)=ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，f(2)=ln 2－2＜0，f(3)=ln 3＞0，则函数f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点；当－π≤x≤0时，f(x)=sin 有3个零点，当－π≤x≤0时，又ω＞0，则－ωπ＋≤ωx＋≤，因此－3π＜－ωπ＋≤－2π，解得≤ω＜，所以正数ω的取值范围是．
2．已知m，n是正实数，若函数f(x)=ex－n的图象与g(x)=x＋m的图象相切，则＋的最小值是( B )
A．2 B．3＋2
C．1＋ D．3
【解析】 由f(x)=ex－n求导得f′(x)=ex－n，设切点为(x0，y0)，则
由①③可得代入②，可得m＋n=1，又m，n＞0，所以＋=(m＋n)=3＋＋≥3＋2=3＋2，当且仅当n=m时等号成立，即n=m=2－时，＋取得最小值3＋2．
3．已知函数f(x)=，数列{an}满足a1=1，an＋3=an(n∈N*)，f(a2)＋f(a3＋a4)=0，则ai=( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题知f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)=＋=＋=0，即f(x)=－f(－x)，所以f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)==1－．因为y=3x在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增．因为f(a2)＋f(a3＋a4)=0，所以f(a3＋a4)=－f(a2)=f(－a2)，可得a3＋a4=－a2，即a2＋a3＋a4=0．由an＋3=an(n∈N*)可知3为数列{an}的周期，则an＋an＋1＋an＋2=0，且2 026=3×675＋1，所以ai=a1=1．
4．“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣描绘美景的诗词．某数学爱好者用两个函数的图象来表现这两句诗的意境：f(x)=|3sin x|＋sin x，x∈［0，2π］的图象如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下(如图(1))；g(x)= 2x，x∈［0，2π］的图象似滚滚波涛，奔流入海(如图(2))．若存在x0≠π，使曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点(x0，g(x0))处的切线平行，则cos x0的值为__或__．
图(1)
图(2)
【解析】 由题可知f(x)=则f′(x)=g′(x)=cos 2x，x∈［0，2π］．当x0∈［0，π)时，由f′(x0)=g′(x0)，得4cos x0=cos 2x0，即2cos 2x0－4cos x0－1=0，解得cos x0=(舍)或cos x0=；当x0∈(π，2π］时，则有－2cos x0=cos 2x0，即2cos 2x0＋2cos x0－1=0，解得cos x0=(舍)或cos x0=．综上，cos x0=或．
5．数学中连乘符号记作“∏”，例如：若x∈N*，则x=1×2×3×…×10．已知函数f(x)=logx＋1(x＋2)，定义g(m)=f(x)，其中x，m∈N*，且2＜m≤2 026，则使g(m)为整数的m共有__8__个．
【解析】 因为f(m)=logm＋1(m＋2)=，所以g(m)=××…×==log2(m＋2)．要使g(m)为整数，则m＋2=2n，n∈N*．因为m∈(2，2 026］，所以2n=m＋2∈(4，2 028］．因为22=4，23=8，…，210=1 024，211=2 048，所以可取n=3，4，…，10，即m=23－2，24－2，…，210－2，所以使g(m)为整数的m共有8个．
6．如图，过点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0，1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn．记点Pk的坐标为(xk，0)(k=1，2，…，n)．
试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；
【解答】 设点Pk－1的坐标是(xk－1，0)．因为y=ex，所以y′=ex，所以Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，)处的切线方程是＝(x－xk－1)，令y=0，则xk=xk－1－1(2≤k≤n)．
(2) 求|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|．
【解答】 因为x1=0，xk－xk－1=－1，所以xk=－(k－1)，所以|PkQk|==e－(k－1)，于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|=1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)= =，即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|=．
7．已知函数f(x)=ex＋ax＋b(e是自然对数的底数，a，b∈R)，g(x)=sin x．
(1) 若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围；
【解答】 因为f′(x)=ex＋a，函数f(x)在R上单调递增，所以ex＋a≥0，即－a≤ex对x∈R恒成立．而当x∈R时，ex＞0，因此－a≤0，即a≥0，所以实数a的取值范围是［0，＋∞)．
(2) 若函数y=|g(x)|的图象与直线y=kx(k＞0)有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为α，求证：=．
【解答】 作直线y=kx(k＞0)和函数y=|g(x)|的图象如图所示，要使直线y=kx(k＞0)和函数y=|g(x)|的图象有且仅有三个公共点，且公共点横坐标的最大值为α，则直线y=kx(k＞0)与函数y=|g(x)|的图象在内相切，且切点为A(α，－sin α)，因为当x∈时，y=|g(x)|=－sin x，所以此时y′=－cos x，因此k=－cos α=－，即tan α=α．因为=====，所以=．
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1．(2025·运城期末)若函数f(x)=有4个零点，则正数ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．已知m，n是正实数，若函数f(x)=ex－n的图象与g(x)=x＋m的图象相切，则＋的最小值是( )
A．2 B．3＋2
C．1＋ D．3
3．已知函数f(x)=，数列{an}满足a1=1，an＋3=an(n∈N*)，f(a2)＋f(a3＋a4)=0，则ai=( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣描绘美景的诗词．某数学爱好者用两个函数的图象来表现这两句诗的意境：f(x)=|3sin x|＋sin x，x∈［0，2π］的图象如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下(如图(1))；g(x)= 2x，x∈［0，2π］的图象似滚滚波涛，奔流入海(如图(2))．若存在x0≠π，使曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点(x0，g(x0))处的切线平行，则cos x0的值为____．
图(1)
图(2)
5．数学中连乘符号记作“∏”，例如：若x∈N*，则x=1×2×3×…×10．已知函数f(x)=logx＋1(x＋2)，定义g(m)=f(x)，其中x，m∈N*，且2＜m≤2 026，则使g(m)为整数的m共有____个．
6．如图，过点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0，1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn．记点Pk的坐标为(xk，0)(k=1，2，…，n)．
(1) 试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；
(2) 求|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|．
7．已知函数f(x)=ex＋ax＋b(e是自然对数的底数，a，b∈R)，g(x)=sin x．
(1) 若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围；
(2) 若函数y=|g(x)|的图象与直线y=kx(k＞0)有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为α，求证：=．
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专练6 以函数为主背景的融合与创新题
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】B
【解析】
A
图(1)
图(1)
【解析】
【解析】
8
6．如图，过点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0，1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn．记点Pk的坐标为(xk，0)(k＝1，2，…，n)．
(1) 试求xk与xk 1的关系(2≤k≤n)；
【解答】
6．如图，过点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0，1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn．记点Pk的坐标为(xk，0)(k＝1，2，…，n)．
(2) 求|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|．
【解答】
7．已知函数f(x)＝ex＋ax＋b(e是自然对数的底数，a，b∈R)，g(x)＝sin x．
(1) 若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围；
【解答】
因为f′(x)＝ex＋a，函数f(x)在R上单调递增，所以ex＋a≥0，即 a≤ex对x∈R恒成立．而当x∈R时，ex＞0，因此 a≤0，即a≥0，所以实数a的取值范围是［0，＋∞)．
【解答】
