3 曲线的公切线问题
基础打底
1．(2025·湛江二模)已知函数f(x)=ex＋2x，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( B )
A．y=2x＋1 B．y=3x＋1
C．y=2x D．y=3x
【解析】 由f(x)=ex＋2x，得f′(x)=ex＋2，则f(0)=1，f′(0)=3，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=3x＋1．
2．(2025·安庆三模)曲线y=e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( A )
A． B．
C． D．1
【解析】 由y′=－2e－2x，得y′|x=0=－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y=－2x＋2，它与直线y=x的交点为，与直线y=0的交点为(1，0)，所以所围成的三角形面积为×1×=．
3．已知函数f(x)=若对于任意的x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈(－∞，0］，使得f(x)的图象上点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))处的切线平行，则实数a的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 当x＞0时，f′(x)=，令g(x)=f′(x)，则g′(x)=，当x∈(0，)时，g′(x)＞0，f′(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，f′(x)单调递减，故f′(x)max=f′()=，可得f′(x)∈．当x≤0时，f′(x)=2x＋a单调递增，f′(x)∈(－∞，a］．由题意知， (－∞，a］，所以a≥．
强技提能
共切点的公切线
例1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)=x2－m，h(x)=6ln x－4x，设两曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同，则实数m=__5__．
【解析】 设公共切点为P(x0，y0)．因为f(x)=x2－m，h(x)=6ln x－4x，所以f′(x)=2x，h′(x)=－4．由题知即因为x0＞0，所以x0=1，m=5．
求共切点的公切线的一般思路
(1) 设两曲线的公共切点P0(x0，y0)；
(2) 列关系式
(3) 求公共切点P0的横坐标x0，再代入y=f(x)或y=h(x)，求y0；
(4) 写出公切线方程y－y0=f′(x0)(x－x0)或y－y0=h′(x0)(x－x0)．
变式1 已知函数f(x)=，g(x)=ex－a－b．若曲线y=f(x)，y=g(x)在x=1处有相同的切线，则a＋b=( D )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 因为f(x)=，g(x)=ex－a－b，所以f′(x)=，g′(x)=ex－a，可得f(1)=0，g(1)=e1－a－b，f′(1)=1，g′(1)=e1－a．因为曲线y=f(x)，y=g(x)在x=1处有相同的切线，即切点为(1，0)，切线斜率k=1，所以解得所以a＋b=2．
不共切点的公切线
例2 (1) 若直线y=kx＋b是曲线y=ln x＋2的切线，也是曲线y=ln(x＋1)的切线，则实数b=__1－ln 2__．
【解析】 方法一：设直线y=kx＋b与曲线y=ln x＋2的切点为(x0，ln x0＋2)，y′==k，则切线方程为y=x＋ln x0＋1．对于函数y=ln(x＋1)，y′=，因为==k，所以切点坐标为(x0－1，ln x0)，将其代入y=x＋ln x0＋1，得 x0=，所以b=ln x0＋1=ln＋1=1－ln 2．
方法二：y′=(ln x＋2)′==k，x=，代入切线方程得y=b＋1，将代入y=ln x＋2，得b=1－ln k，同理由y=ln(x＋1)得1－k＋b=－ln k，得k=2，所以b=1－ln 2．
方法三(影子函数法)：如果一个函数通过平移可得到另一个函数，那么称这两个函数互为影子函数．y=ln x＋2向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度可得到y=ln(x＋1)，y=kx＋b向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度可得到y=k(x＋1)＋b－2．因为是公切线，所以y=kx＋b与y=k(x＋1)＋b－2重合，则k＋b－2=b，即k=2，所以=2，从而切点为，代入直线y=kx＋b，得b=1－ln 2．
(2) (2025·广州二模节选)已知函数f(x)=e2x，g(x)=(a∈R，且a≠0)．若a＞0，直线l：y=2x＋m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，则a的值为__8__．
【解析】 方法一：设直线l：y=2x＋m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(x0，y0)．由于f′(x)=2e2x，则f′(x0)=2=2，解得x0=0，y0==1，则切点坐标为(0，1)，故直线l：y－1=2x，即y=2x＋1．由得4x2＋(4－a)x＋1=0，由Δ=(4－a)2－16=0，解得a=8或a=0(舍去)．当a=8时，得x=，符合题意，所以a=8．
方法二：设直线l：y=2x＋m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(x0，y0)．由于f′(x)=2e2x，则f′(x0)=2=2，解得x0=0，y0==1，则切点坐标为(0，1)，故直线l：y－1=2x，即y=2x＋1．当a＞0时，函数g(x)=的定义域为［0，＋∞)．设直线l与曲线y=g(x)=的切点坐标为(x1，y1)．由g′(x)=，得g′(x1)==2，得a=16x1，故l：y－=2(x－x1)，即y=2x－2x1＋，则－2x1＋=1，解得x1=，a=8．
求不共切点的公切线的一般思路
(1) 分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；
(2) 分别求两曲线的切线方程y1=h1(x)，y2=h2(x)；
(3) 由公切线知两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．
变式2 已知函数f(x)=ax2(a＞0)，g(x)=ex，直线l：y=kx＋b是曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线，若直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(1，f(1))，则实数b=__－__．
【解析】 因为f′(x)=2ax，f′(1)=2a，f(1)=a，所以切线l的方程为y－a=2a(x－1)，即y=2ax－a．设直线l与曲线y=g(x)相切的切点坐标为(x1，y1)，g′(x)=ex，所以切线方程为y－y1= (x－x1)，即y=x＋ (1－x1)，所以解得所以b＝－a＝．
公切线数量问题
例3 已知函数f(x)=ln x＋1，g(x)=ax2(a＞0)．若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在两条公切线，则实数a的取值范围为____．
【解析】 设曲线y=f(x)上切点为A(x0，y0)，f′(x)=，x＞0，则切线斜率为k=，切线方程为y－y0=(x－x0)，即y=x＋ln x0．依题意，切线y=x＋ln x0与曲线y=ax2相切，于是方程ax2=x＋ln x0有两个相等的正实根，而a＞0，则Δ=＋4aln x0=0，且ln x0＜0，即－=ln x0．由公切线有两条，得关于x0的方程－=ln x0有两个不同的实数解．令φ(x)=x2ln x，则y=－与y=x2ln x的图象有两个交点．φ′(x)=2xln x＋x=x(2ln x＋1)，由φ′(x)=0，得x=，当x∈时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，当x∈时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，因此φ(x)min=φ=－，φ(1)=0，作出函数y=φ(x)的图象如图所示．观察图象知，当－＜－＜0，即a＞时，直线y=－与函数y=x2ln x的图象有两个交点，所以a的取值范围是．
两曲线公切线条数的判断方法
(1) 由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f′(x1)=g′(x2)=；
(2) 解上述方程组，若无解，则两曲线不存在公切线；若有一解，则公切线只有一条；若有两个不同的解，则公切线有两条．
变式3 已知函数f(x)=x2，g(x)=aln x，其中a≠0，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线有两条，则实数a的取值范围为( C )
A．(－∞，0) B．(－∞，－1)
C．(0，2e) D．
(变式3答)
【解析】 设曲线f(x)=x2的切点为(s，s2)，又f′(x)=2x，所以过该切点的切线斜率为f′(s)=2s，因此过该切点的切线方程为y－s2=2s(x－s)，即y=2sx－s2．设曲线y=g(x)的切点为(t，aln t)，又g′(x)=，所以过该切点的切线斜率为g′(t)=，因此过该切点的切线方程为y－aln t=(x－t)，即y=x－a＋aln t，则可得a=4t2(1－ln t)．构造函数h(t)=4t2(1－ln t)(t＞0)，则h′(t)=4t(1－2ln t)．当t＞时，h′(t)＜0，h(t)单调递减，当0＜t＜时，h′(t)＞0，h(t)单调递增，所以函数h(t)的最大值为h()=2e，当t＞e时，h(t)＜0，当0＜t＜e时，h(t)＞0，作出函数y=h(t)的大致图象如图所示．若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线有两条，则直线y=a与y=h(t)的图象有两个交点，由图可知0＜a＜2e．
配套热练
1．已知函数f(x)=xex与g(x)=x2＋ax(a∈R)的图象在点A(0，0)处有相同的切线，则a=( C )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
【解析】 由题知点A(0，0)在两函数图象上，f′(x)=(1＋x)ex，g′(x)=2x＋a，根据题意可得f′(0)=g′(0)，即a=1．
2．已知函数f(x)=ex－ax＋b，g(x)=x2－x．若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1，0)处有相同的切线，则a，b的值分别为( A )
A．e－1，－1 B．－1，e－1
C．e，－1 D．－1，e
【解析】 因为g′(x)=2x－1，所以g′(1)=1．又f′(x)=ex－a，所以解得
3．已知函数f(x)=ex，g(x)=ln x＋2．若直线y=ax＋b(a∈R，b＞0)是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则a＋b=( D )
A．e＋2 B．3
C．e＋1 D．2
【解析】 设(t，et)是f(x)图象上的一点，f′(x)=ex，所以y=f(x)在点(t，et)处的切线方程为y－et=et(x－t)，即y=etx＋(1－t)et①．令g′(x)==et，解得x=e－t，g(e－t)=ln e－t＋2=2－t，所以=et，1－t=(1－t)et，所以t=0或t=1(此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去)，所以t=0，此时①可化为y－1=1×(x－0)，即y=x＋1，所以a＋b=1＋1=2．
4．(2025·运城期末)若两曲线y=ln x与y=ax2＋1存在公切线，则正实数a的取值范围为( C )
A． B．(0，2e］
C． D．［2e，＋∞)
【解析】 设公切线与曲线y=ln x，y=ax2＋1的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，a＋1)，其中x1＞0．对于y=ln x，求导得y′=，则与y=ln x相切的切线方程为y－ln x1=(x－x1)，即y=·x＋ln x1－1．对于y=ax2＋1，求导得y′=2ax，则与y=ax2＋1相切的切线方程为y－(a＋1)=2ax2(x－x2)，即y=2ax2x－a＋1．由公切线，得=2ax2，ln x1－1=－a＋1，则有－=ln x1－2，=2－ln x1(x1＞0)．令g(x)=2x2－x2ln x(x＞0)，则g′(x)=3x－2xln x=x(3－2ln x)，令g′(x)=0，得x=，当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max=g()=e3，故≤e3，又a＞0，所以a≥e－3．
5．(2025·保定二模)已知直线y=x＋m(m＞0)是圆C：(x＋1)2＋y2=2与曲线y=ln(2x－1)＋a的公切线，则a＋m=__7__．
【解析】 因为直线y=x＋m(m＞0)与圆C：(x＋1)2＋y2=2相切，所以=，解得m=3(负根舍去)．设函数f(x)=ln(2x－1)＋a，则由f′(x)==1，得x=1，则f(1)=ln(2－1)＋a=1＋3，解得a=4，故a＋m=7．
6．(2025·漳州二模)若曲线y=ln x在x=1处的切线也是曲线y=x2＋3x－2＋a的切线，则实数a=__2__．
【解析】 令y=f(x)=ln x，则f(1)=0，故切点为(1，0)，设切线斜率为k，而f′(x)=，则k=f′(1)=1，则曲线在x=1处的切线方程为y=x－1．由题意得y=x－1也是曲线y=x2＋3x－2＋a的切线，联立得x2＋2x－1＋a=0，则Δ=4－4(a－1)=0，解得a=2．
7．(2025·滁州二模改编)已知函数f(x)=ex－x－1，g(x)=ln x－x＋1，则f(x)和g(x)的图象有且只有__2__条公切线．
【解析】 设直线y=kx＋m为函数f(x)和g(x)的图象的公切线，直线y=kx＋m与函数f(x)切于点(x1，－x1－1)，与函数g(x)切于点(x2，ln x2－x2＋1)．因为f(x)=ex－x－1，则f′(x)=ex－1，所以k=f′(x1)=－1，切线方程为y－(－x1－1)=(－1)(x－x1)，即y=(－1)x＋(1－x1)－1．因为g(x)=ln x－x＋1，则g′(x)=－1，所以k=g′(x2)=－1，切线方程为y－(ln x2－x2＋1)=(x－x2)，即y=x＋ln x2，所以消去x2可得(x1－1)(－1)=0，解得或所以f(x)和g(x)的图象有且只有两条公切线．
8．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y=x3－3x2＋2x和y=x2＋a都相切，则实数a的值为__1或__．
【解析】 易知点O(0，0)在曲线y=x3－3x2＋2x上．当O(0，0)是切点时，由y′=3x2－6x＋2，得y′|x=0=2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y=2x．由得x2－2x＋a=0，依题意，Δ=4－4a=0，得a=1．当O(0，0)不是切点时，设直线l与曲线y=x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0=－3＋2x0，k=y′|x=x0=3－6x0＋2①，又k==－3x0＋2②．联立①②，得x0=(x0=0舍去)，所以k=－，故直线l的方程为y=－x．由得x2＋x＋a=0，依题意，Δ=－4a=0，得a=．综上，a=1或a=．
9．(2025·德州期初)已知函数f(x)=ln x，g(x)=aex(a∈R)．若直线y=kx(k为常数)与曲线y=f(x)，曲线y=g(x)均相切，则a=____．
【解析】 因为f(x)=ln x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)=．设直线y=kx与曲线y=f(x)切于点(x1，ln x1)，则切线方程为y－ln x1=(x－x1)，即y=x＋ln x1－1．又因为y=kx，所以解得x1=e，k=，所以切线方程为y=x．因为g(x)=aex，所以g′(x)=aex，设直线y=x与曲线y=g(x)切于点(x0，a)，所以g′(x0)=a=①，又因为切点(x0，a)在直线y=x上，所以a=x0②，由①和②可得x0=1，所以ae=，解得a=．
10．(2025·赣州期末)若曲线y=(x＞0)与曲线y=2ln x存在公切线，则实数a的取值范围为____．
【解析】 由y=(x＞0)，得y′=′=－．设切点为，切线斜率为－，所以切线方程为y－=－(x－m)，即y=－＋．由y=2ln x(x＞0)，得y′=(2ln x)′=，设切点为(n，2ln n)，切线斜率为，所以切线方程为y－2ln n=(x－n)，即y=＋2ln n－2．根据题设，由公切线有即又m，n＞0，即a＜0且ln n－1＜0，即0＜n＜e，由上述关系式消去m并整理得2a=－n(ln n－1)2在n∈(0，e)上有解．令f(n)=－n(ln n－1)2，则f′(n)=1－ln2n．当f′(n)＞0时，－1＜ln n＜1，即＜n＜e，此时f(n)单调递增；当f′(n)＜0时，ln n＜－1或ln n＞1，即0＜n＜或n＞e，此时f(n)单调递减．又f=－2=－，f(e)=－e(ln e－1)2=0，所以2a∈，即a∈．
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基础打底
1．(2025·湛江二模)已知函数f(x)=ex＋2x，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y=2x＋1 B．y=3x＋1
C．y=2x D．y=3x
2．(2025·安庆三模)曲线y=e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．1
3．已知函数f(x)=若对于任意的x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈(－∞，0］，使得f(x)的图象上点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))处的切线平行，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
强技提能
共切点的公切线
例1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)=x2－m，h(x)=6ln x－4x，设两曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同，则实数m=____．
求共切点的公切线的一般思路
(1) 设两曲线的公共切点P0(x0，y0)；
(2) 列关系式
(3) 求公共切点P0的横坐标x0，再代入y=f(x)或y=h(x)，求y0；
(4) 写出公切线方程y－y0=f′(x0)(x－x0)或y－y0=h′(x0)(x－x0)．
变式1 已知函数f(x)=，g(x)=ex－a－b．若曲线y=f(x)，y=g(x)在x=1处有相同的切线，则a＋b=( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
不共切点的公切线
例2 (1) 若直线y=kx＋b是曲线y=ln x＋2的切线，也是曲线y=ln(x＋1)的切线，则实数b=____．
(2) (2025·广州二模节选)已知函数f(x)=e2x，g(x)=(a∈R，且a≠0)．若a＞0，直线l：y=2x＋m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，则a的值为____．
求不共切点的公切线的一般思路
(1) 分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；
(2) 分别求两曲线的切线方程y1=h1(x)，y2=h2(x)；
(3) 由公切线知两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．
变式2 已知函数f(x)=ax2(a＞0)，g(x)=ex，直线l：y=kx＋b是曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线，若直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(1，f(1))，则实数b=____．
公切线数量问题
例3 已知函数f(x)=ln x＋1，g(x)=ax2(a＞0)．若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在两条公切线，则实数a的取值范围为____．
两曲线公切线条数的判断方法
(1) 由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f′(x1)=g′(x2)=；
(2) 解上述方程组，若无解，则两曲线不存在公切线；若有一解，则公切线只有一条；若有两个不同的解，则公切线有两条．
变式3 已知函数f(x)=x2，g(x)=aln x，其中a≠0，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线有两条，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－1)
C．(0，2e) D．
配套热练
1．已知函数f(x)=xex与g(x)=x2＋ax(a∈R)的图象在点A(0，0)处有相同的切线，则a=( )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
2．已知函数f(x)=ex－ax＋b，g(x)=x2－x．若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1，0)处有相同的切线，则a，b的值分别为( )
A．e－1，－1 B．－1，e－1
C．e，－1 D．－1，e
3．已知函数f(x)=ex，g(x)=ln x＋2．若直线y=ax＋b(a∈R，b＞0)是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则a＋b=( )
A．e＋2 B．3
C．e＋1 D．2
4．(2025·运城期末)若两曲线y=ln x与y=ax2＋1存在公切线，则正实数a的取值范围为( )
A． B．(0，2e］
C． D．［2e，＋∞)
5．(2025·保定二模)已知直线y=x＋m(m＞0)是圆C：(x＋1)2＋y2=2与曲线y=ln(2x－1)＋a的公切线，则a＋m=____．
6．(2025·漳州二模)若曲线y=ln x在x=1处的切线也是曲线y=x2＋3x－2＋a的切线，则实数a=____．
7．(2025·滁州二模改编)已知函数f(x)=ex－x－1，g(x)=ln x－x＋1，则f(x)和g(x)的图象有且只有____条公切线．
8．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y=x3－3x2＋2x和y=x2＋a都相切，则实数a的值为____．
9．(2025·德州期初)已知函数f(x)=ln x，g(x)=aex(a∈R)．若直线y=kx(k为常数)与曲线y=f(x)，曲线y=g(x)均相切，则a=____．
10．(2025·赣州期末)若曲线y=(x＞0)与曲线y=2ln x存在公切线，则实数a的取值范围为____．
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专题七
3 曲线的公切线问题
函数与导数
基础打底
1．(2025·湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 ( )
A．y＝2x＋1 B．y＝3x＋1
C．y＝2x D．y＝3x
【解析】
由f(x)＝ex＋2x，得f′(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1．
B
【解析】
A
【解析】
【答案】B
强技提能
目标
1
共切点的公切线
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2 m，h(x)＝6ln x 4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则实数m＝_____．
1
【解析】
5
【解析】
D
目标
2
不共切点的公切线
(1) 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则实数b＝__________．
2
【解析】
【答案】 1 ln 2
【解析】
2
【答案】 8
求不共切点的公切线的一般思路
(1) 分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；
(2) 分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)；
(3) 由公切线知两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．
变式2 已知函数f(x)＝ax2(a＞0)，g(x)＝ex，直线l：y＝kx＋b是曲线y＝f(x)与y＝
g(x)的公切线，若直线l与曲线y＝f(x)的切点坐标为(1，f(1))，则实数b＝_______．
【解析】
目标
3
公切线数量问题
已知函数f(x)＝ln x＋1，g(x)＝ax2(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在两条公切线，则实数a的取值范围为______．
3
【解析】
【解析】
若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)的公切线有两条，则直线y＝a与y＝h(t)的图象有两个交点，由图可知0＜a＜2e．
【答案】 C
热练
1．已知函数f(x)＝xex与g(x)＝x2＋ax(a∈R)的图象在点A(0，0)处有相同的切线，则a＝ ( )
A．0 B． 1
C．1 D． 1或1
【解析】
由题知点A(0，0)在两函数图象上，f′(x)＝(1＋x)ex，g′(x)＝2x＋a，根据题意可得f′(0)＝g′(0)，即a＝1．
C
2．已知函数f(x)＝ex ax＋b，g(x)＝x2 x．若曲线y＝f(x)和y＝g(x)在公共点A(1，0)处有相同的切线，则a，b的值分别为 ( )
A．e 1， 1 B． 1，e 1
C．e， 1 D． 1，e
【解析】
A
3．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2．若直线y＝ax＋b(a∈R，b＞0)是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，则a＋b＝ ( )
A．e＋2 B．3 C．e＋1 D．2
【解析】
D
【解析】
【答案】 C
【解析】
7
6．(2025·漳州二模)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x 2＋a的切线，则实数a＝_____．
【解析】
2
7．(2025·滁州二模改编)已知函数f(x)＝ex x 1，g(x)＝ln x x＋1，则f(x)和g(x)的图象有且只有_____条公切线．
【解析】
【答案】 2
8．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3 3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则实数a的值为_________．
【解析】
9．(2025·德州期初)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝aex(a∈R)．若直线y＝kx(k为常数)与曲线y＝f(x)，曲线y＝g(x)均相切，则a＝______．
【解析】
【解析】
