(共54张PPT)
专题七
1 函数的图象与性质
函数与导数
基础打底
1．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
【解析】
D
【解析】
A
3．(2025·景德镇模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，若f(1)＝2，则f(2 027)的值为 ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】
因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，用x＋2替换x得f(－x)＝ －f(x＋4)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(1)＝2，所以f(2 027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2．
D
【解析】
【答案】C
A B C D
【解析】
【答案】D
强技提能
目标
1
具体函数的性质研究
(1) (2025·保定二模)若函数f(x)＝|2x－m|在[1，2]上单调，则实数m的取值范围是 ( )
A．(0，2] B．(－∞，2] [4，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(0，2] [4，＋∞)
1
【解析】
当x∈[1，2]时，根据指数函数y＝2x在R上单调递增，可知2x∈[2，4]．
当m∈(－∞，2]时，2x－m≥0，所以f(x)＝|2x－m|＝2x－m，f(x)在[1，2]上单调递增；
【答案】B
1
【解析】
【答案】B
研究函数的性质，主要是考查单调性、奇偶性的综合运用，如：解不等式、比大小等．研究策略是先求函数的定义域，再从式子结构入手判断函数性质，其中单调性主要是研究不等关系，奇偶性和对称性主要是研究两个变量之间的相等关系．
【解析】
【解析】
B
【解析】
【答案】A
目标
2
抽象函数的性质研究
2
【解析】
【答案】BC
(2) (2025·福州一模)(多选)已知函数f(x)，g(x)均为定义在R上的非常值函数，且g(x)为f(x)的导函数．对任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)且f(1)＝0，则 ( )
A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数
C．g(x)＋g(2 024－x)＝0 D．[f(x)]2＋[f(1－x)]2＝1
2
【解析】
由题得任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(1)＝0．
对于A，令x＝y＝0，得2f(0)＝2f(0)f(0)，所以f(0)＝0或f(0)＝1．若f(0)＝0，令y＝0，得2f(x)＝2f(x)f(0)＝0，则f(x)＝0，与题设不符，所以f(0)＝1，故A错误；
对于B，由A中分析知f(0)＝1，令x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)．又f(x)的定义域为R，故B正确；
对于C，令x＝1，得f(1＋y)＋f(1－y)＝2f(1)f(y)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，即f(1＋x)＋f(1－x)＝0，所以f′(1＋x)－f′(1－x)＝0．又由B中分析知，f(－x)＝ f(x)，则－f′(－x)＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)，所以g(x)为奇函数．令1－x＝t，由 f′(1＋x)－f′(1－x)＝0，得g(2－t)＝g(t)，则有g(2＋t)＝g(－t)＝－g(t)，所以g(4＋t)＝－g(2＋t)＝g(t)，即g(x)是周期为4的周期函数，所以g(x)＋g(2 024－x)＝g(x)＋g(4× 506－x)＝g(x)＋g(－x)＝0，故C正确；
对于D，令x＝y，得f(2x)＋f(0)＝2[f(x)]2①，用1－x代替x，y得f(2－2x)＋f(0)＝2[f(1－x)]2②，由①＋②得2[f(x)]2＋2[f(1－x)]2＝2f(0)＋f(2－2x)＋f(2x)＝2＋f(2－2x)＋f(2x)，由C中分析知f(2－2x)＋f(2x)＝0，所以[f(x)]2＋[f(1－x)]2＝1，故D正确．
【答案】BCD
对于抽象函数性质的研究方法：
1．根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，赋值法是解决该题的通性通法；
2．根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【解析】
由f(－x＋1)＋g(x＋1)＝1可得f(－x＋2)＋g(x)＝1．又f(x＋2)－g(x)＝1，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，即f(x)图象的对称中心为(2，1)．
由f′(x＋1)＋f′(－x＋1)＝0可得[f(x＋1)－f(－x＋1)]′＝0，即f(x＋1)－f(－x＋1)＝c(常数)．令x＝0，则c＝f(1)－f(1)＝0，所以f(x＋1)－f(－x＋1)＝0，即f(x)图象的对称轴为x＝ 1，所以f(－x)＋f(x＋4)＝2，f(x＋2)＝f(－x)，故f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，f(x)＋ f(x＋2)＝2，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的周期T＝4．
【答案】D
变式2 (2) (2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝ ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】
因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，可得f(1)＝ －f(1)，可得f(1)＝0．
在f(x)－g(x－2)＝2－x中，令x＝1，得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1；令x＝3，得f(3)－g(1)＝－1，所以f(3)＝g(1)－1＝g(－1)－1＝－2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝f(－2＋1)＝－f(2＋1)＝－f(3)＝2．
D
热练
【解析】
D
【解析】
A
【解析】
C
4．(2025·沈阳一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝ ( )
A．－3 B．－1
C．0 D．1
【解析】
由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝ －g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．
由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1．又f(x)为R上的偶函数且关于直线 x＝2对称，可得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1．
B
【解析】
【答案】D
【解析】
由f(x)＝f(4－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，由f(x)为奇函数知f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，从而f(x)是周期为8的周期函数．
【答案】D
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【答案】BCD
【解析】
对于A，令x＝y＝0，得2f(0)＝[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝2．若f(0)＝0，令y＝0，得2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，故f(0)＝2，故A错误；
对于B，令x＝0，得f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确；
【解析】
【答案】[0，＋∞)
13．(2025·绍兴模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，则f(x)的值域为____________．
【解析】
令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，解得f(0)＝0；令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，又f(x)为偶函数，所以2f(x)－2x2＝0，解得f(x)＝x2，易知其值域为[0，＋∞)．
[0，＋∞)
【解析】
因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f′(－1－x)＝f′(－1＋x)，故 f(－1－x)＋f(－1＋x)＝C(C为常数)．令x＝0，得C＝2f(－1)＝2，所以f(－1－x)＋ f(－1＋x)＝2，故f(x)＋f(－2－x)＝2．
【答案】－1 225专题七 函数与导数
1 函数的图象与性质
基础打底
1．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－2］ B．［－2，0)
C．(0，2］ D．［2，＋∞)
【解析】 令t=x(x－a)，要使f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则需要t=x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是［2，＋∞)．
2．(2025·杭州期末)已知函数f(x)=2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是( A )
A．f(1)＜f(2) B．f(1)＞f(2)
C．f(2)=2f(1) D．f(2)=＋f(1)
【解析】 因为f(x)=2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，定义域为R，所以f(0)=1＋m=0，所以m=－1，所以f(x)=2x－2－x，f(－x)=2－x－2x=－f(x)，满足题意，则f(1)=2－=，f(2)=4－=，故A正确，B，C，D错误．
3．(2025·景德镇模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，若f(1)=2，则f(2 027)的值为( D )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)=－f(x＋2)，用x＋2替换x得f(－x)=－f(x＋4)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)=－f(x)=－f(x＋4)，所以f(x)=f(x＋4)，则f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(1)=2，所以f(2 027)=f(4×507－1)=f(－1)=－f(1)=－2．
4．已知函数f(x)=－，则( C )
A．f(x)在(－∞，2)上单调递增 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D．y=f(x)的图象关于点(1，0)对称
【解析】 因为f(－2)=－=－，f(－1)=－1－=－，所以f(－2)＞f(－1)，故A错误；因为f(3)=－1=－，f(4)=－=－，所以f(3)＜f(4)，故B错误；因为f(2－x)=－=＋=－=f(x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确；在f(x)=－的图象上取一点，则其关于点(1，0)的对称点为，因为f(4)=－≠，所以点不在函数f(x)的图象上，故y=f(x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误．
5．(2025·天津二模)函数f(x)=x的部分图象大致为( D )
A B C D
【解析】 f(x)=x的定义域为{x|x≠0}，则f(－x)==－x=－f(x)，所以f(x)=x为奇函数，故排除B，C．令f(x)=x=0，则x－=0或x=0，则x2=4或x=＋kπ，k∈Z，解得x=±2或x=1＋2k，k∈Z，所以当x＞0时，满足f(x)=0的最小x的值为1，且f=＜0，故A错误，D正确．
强技提能
具体函数的性质研究
例1 (1) (2025·保定二模)若函数f(x)=|2x－m|在［1，2］上单调，则实数m的取值范围是( B )
A．(0，2］ B．(－∞，2］ ［4，＋∞)
C．［4，＋∞) D．(0，2］ ［4，＋∞)
【解析】 当x∈［1，2］时，根据指数函数y=2x在R上单调递增，可知2x∈［2，4］．当m∈(－∞，2］时，2x－m≥0，所以f(x)=|2x－m|=2x－m，f(x)在［1，2］上单调递增；当m∈(2，4)时，f(x)=|2x－m|=f(x)在［1，2］上不单调；当m∈［4，＋∞)时，2x－m≤0，所以f(x)=|2x－m|=m－2x，f(x)在［1，2］上单调递减．综上，m∈(－∞，2］ ［4，＋∞)．
(2) (2025·邢台一模)设函数f(x)=ln(1＋x4)－，则不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为( B )
A． B． (1，＋∞)
C． D．
【解析】 函数f(x)=ln(1＋x4)－的定义域为R，且f(－x)=ln(1＋x4)－=f(x)，即f(x)为偶函数．当x＞0时，y=1＋x4与y=ln x，y=－与y=1＋3x均在(0，＋∞)上单调递增，所以y=ln(1＋x4)与y=－均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x)＞f(x＋1)等价于|2x|＞|x＋1|，即(2x)2＞(x＋1)2，解得x＞1或x＜－，即不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为 (1，＋∞)．
研究函数的性质，主要是考查单调性、奇偶性的综合运用，如：解不等式、比大小等．研究策略是先求函数的定义域，再从式子结构入手判断函数性质，其中单调性主要是研究不等关系，奇偶性和对称性主要是研究两个变量之间的相等关系．
变式1 (1) (2025·杭州期末)设a＞0，且a≠1，函数f(x)=的值域为［2，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1，］__．
【解析】 当x∈(－∞，2］时，易得f(x)∈［2，＋∞)，根据题意，当x∈(2，＋∞)时，logax≥2，所以a＞1且loga2≥2，解得1＜a≤．
(2) (2025·泉州一检)若函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是( B )
A．(0，1) B．(1，4］
C．(1，8］ D．(1，16］
【解析】 由指数函数的底数要求得a＞0且a≠1．当x≥4时，f(x)=x＋－1单调递增，因为对勾函数f(x)=x＋－1在(0，)上单调递减，在［，＋∞)上单调递增，所以≤4，故0＜a≤16．又当x＜4时，f(x)=ax－3单调递增，故a＞1．再由a1≤4＋－1，得a≤4．综上，1＜a≤4．
(3) (2025·威海期末)已知函数f(x)=2ax2－2x－1＋x，若对任意x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜1，则( A )
A．a≤ B．a≤0
C．a≥－3 D．a≥1
【解析】 由题设，任意x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜0，所以f(x)－x=2ax2－2x－1在(1，3)上单调递减，则y=ax2－2x－1在(1，3)上单调递减．当a=0时，y=－2x－1满足题设；当a≠0时，解得0＜a≤或解得a＜0．综上，a≤．
抽象函数的性质研究
例2 (1) (2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f，g(2＋x)均为偶函数，则( BC )
A．f(0)=0 B．g=0
C．f(－1)=f(4) D．g(－1)=g(2)
【解析】 方法一(对称性和周期性的关系研究)：对于f(x)，因为f为偶函数，所以f=f，即f=f (*)，所以f(3－x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=对称，则f(－1)=f(4)，故C正确；对于g(x)，因为g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)=g(2－x)，g(4－x)=g(x)，所以g(x)的图象关于直线x=2对称，由(*)式两边求导和g(x)=f′(x)，得－f′=f′ －g=g，所以g(3－x)＋g(x)=0，所以g(x)的图象关于点对称．因为g(x)的定义域为R，所以g=0，结合g(x)的图象关于直线x=2对称，从而可得g(x)的周期T=4×=2，所以g=g=0，g(－1)=g(1)=－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．
方法二(特殊值，构造函数法)：由方法一知g(x)的周期为2，且图象关于直线x=2对称，故可设g(x)=cos πx，则f(x)= πx＋C(C为常数)，显然A，D错误，B，C正确．
(2) (2025·福州一模)(多选)已知函数f(x)，g(x)均为定义在R上的非常值函数，且g(x)为f(x)的导函数．对任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)f(y)且f(1)=0，则( BCD )
A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数
C．g(x)＋g(2 024－x)=0 D．［f(x)］2＋［f(1－x)］2=1
【解析】 由题得任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(1)=0．对于A，令x=y=0，得2f(0)=2f(0)f(0)，所以f(0)=0或f(0)=1．若f(0)=0，令y=0，得2f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，与题设不符，所以f(0)=1，故A错误；对于B，由A中分析知f(0)=1，令x=0，得f(y)＋f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y)，即f(－y)=f(y)．又f(x)的定义域为R，故B正确；对于C，令x=1，得f(1＋y)＋f(1－y)=2f(1)f(y)=0，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，即f(1＋x)＋f(1－x)=0，所以f′(1＋x)－f′(1－x)=0．又由B中分析知，f(－x)=f(x)，则－f′(－x)=f′(x)，即f′(－x)=－f′(x)，所以g(x)为奇函数．令1－x=t，由f′(1＋x)－f′(1－x)=0，得g(2－t)=g(t)，则有g(2＋t)=g(－t)=－g(t)，所以g(4＋t)=－g(2＋t)=g(t)，即g(x)是周期为4的周期函数，所以g(x)＋g(2 024－x)=g(x)＋g(4×506－x)=g(x)＋g(－x)=0，故C正确；对于D，令x=y，得f(2x)＋f(0)=2［f(x)］2①，用1－x代替x，y得f(2－2x)＋f(0)=2［f(1－x)］2 ②，由①＋②得2［f(x)］2＋2［f(1－x)］2=2f(0)＋f(2－2x)＋f(2x)=2＋f(2－2x)＋f(2x)，由C中分析知f(2－2x)＋f(2x)=0，所以［f(x)］2＋［f(1－x)］2=1，故D正确．
对于抽象函数性质的研究方法：
1．根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，赋值法是解决该题的通性通法；
2．根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
变式2 (1) (2025·宜昌模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，f(－x＋1)＋g(x＋1)=f(x＋2)－g(x)=1，且f(x)满足f′(x＋1)＋f′(－x＋1)=0，g(1)=－1，则∑2 025k=1f(k)=( D )
A．－1 B．1
C．2 025 D．2 026
【解析】 由f(－x＋1)＋g(x＋1)=1可得f(－x＋2)＋g(x)=1．又f(x＋2)－g(x)=1，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)=2，即f(x)图象的对称中心为(2，1)．由f′(x＋1)＋f′(－x＋1)=0可得［f(x＋1)－f(－x＋1)］′=0，即f(x＋1)－f(－x＋1)=c(常数)．令x=0，则c=f(1)－f(1)=0，所以f(x＋1)－f(－x＋1)=0，即f(x)图象的对称轴为x=1，所以f(－x)＋f(x＋4)=2，f(x＋2)=f(－x)，故f(x＋2)＋f(x＋4)=2，f(x)＋f(x＋2)=2，所以f(x)=f(x＋4)，f(x)的周期T=4．因为f(x＋2)=g(x)＋1，所以f(3)=g(1)＋1=0．因为f(－x＋2)＋f(x＋2)=2，令x=0，所以f(2)=1．根据对称性可知f(1)=2，f(2)=f(0)=1，f(3)=0，f(4)=1，所以f(k)=506［f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)］＋f(1)=506×4＋2=2 026．
(2) (2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)=2－x，则f(g(－1))=( D )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)=－f(x＋1)，令x=0，可得f(1)=－f(1)，可得f(1)=0．在f(x)－g(x－2)=2－x中，令x=1，得f(1)－g(－1)=1，所以g(－1)=－1；令x=3，得f(3)－g(1)=－1，所以f(3)=g(1)－1=g(－1)－1=－2，所以f(g(－1))=f(－1)=f(－2＋1)=－f(2＋1)=－f(3)=2．
配套热练
1．(2025·石家庄一质)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=ex，则f(ln 3)=( D )
A． B．3
C．－3 D．－
【解析】 由题知ln 3＞0，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 3)=－f=－eln =－．
2．(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5－2x，则f=( A )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题知f(x)=f(－x)，f(x＋2)=f(x)对一切x∈R恒成立，于是f=f=f=5－2×=－．
3．(2025·焦作三模)若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为f(x)=( C )
A．＋1 B．＋1
C． D．
【解析】 因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，排除B；又f=0，排除A；当＜x＜时，f(x)＞0，而＜0，排除D．
4．(2025·沈阳一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)=(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)=3，则f(3)=( B )
A．－3 B．－1
C．0 D．1
【解析】 由函数g(x)=(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)=－g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)=－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)=f(2＋x)，因此函数f(x)的图象关于直线x=2对称．由g(－1)=(－1－2)f(－1)=3，可得f(－1)=－1．又f(x)为R上的偶函数且关于直线x=2对称，可得f(3)=f(1)=f(－1)=－1．
5．(2025·龙岩3月质检)设函数f(x)=且a≠1)，则下列说法正确的是( D )
A．f(x)为R上的奇函数 B．若a=2，则f(log23)=log23－2
C．若f(0)=－2，则a=3 D．若f(x)为R上的增函数，则1＜a＜3
【解析】 对于函数f(x)=其定义域为R，但f(0)=(3－a)×0－2=－2≠0，所以f(x)不是R上的奇函数，故A错误．若a=2，因为log23＞1，代入f(x)=ax－1中，可得f(log23)=2log23－1=3－1=2≠log23－2，故B错误．若f(0)=－2，因为0＜1，代入f(x)=(3－a)x－2中，可得(3－a)×0－2=－2，此式恒成立，a可以取任意大于0且不等于1的值，并不一定a=3，故C错误．若f(x)为R上的增函数，则当x≤1时，有3－a＞0，即a＜3；当x＞1时，有a＞1．在分段点x=1处，需满足(3－a)×1－2≤a1－1，解得a≥1．综上，可得1＜a＜3，故D正确．
6．(2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4－x)，且f(x)在［－2，2］上单调递增．设a=f，b=f，c=f(－13)，则( D )
A．a＜b＜c B．C＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解析】 由f(x)=f(4－x)知f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)为奇函数知f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，从而f(x)是周期为8的周期函数．因为f(x)在［－2，2］上单调递增，所以f(x)在［2，6］上单调递减，作出f(x)的大致图象如图所示．又f=f，f=f，f(－13)=f(3)，且2＜＜3＜＜6，所以f＜f(－13)＜f，即b＜c＜a．
7．(2025·新余二模)已知函数f(x)=ln＋sin x，则关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)＜0的解集是( A )
A．(，2) B．(－3，2)
C．(1，2) D．(，)
【解析】 由＞0，解得－1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(－1，1)．又f(－x)=ln＋sin(－x)=－ln－sin x=－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．故关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)＜0，即f(a－2)＜－f(a2－4)=f(4－a2)．因为函数y=ln ，y=sin x在定义域(－1，1)上单调递增，所以函数f(x)在其定义域上单调递增，可得解得＜a＜2．
8．(2025·青岛期末)已知函数f(x)=存在最小值，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－1］ B．(－∞，0］
C．(－∞，－1］ D．(－∞，－1］
【解析】 当x＜a时，f(x)=2x＋a为增函数，则有a＜f(x)＜2a＋a；当x≥a时，f(x)=x2＋2ax=(x＋a)2－a2，若a＜－a，即a＜0，则f(x)min=f(－a)=－a2，若a≥－a，即a≥0，则f(x)在［a，＋∞)上为增函数，此时f(x)min=f(a)=3a2．因为f(x)存在最小值，所以或解得a≤－1或0≤a≤，故实数a的取值范围是(－∞，－1］ ．
9．(2025·杭州期末)(多选)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，y，有f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋4xy，且f(1)=2，f′(0)=0，则( BCD )
A．f(0)=－2 B．f(－2)=8
C．f′(1)=4 D．f′(i)=840
【解析】 对于A，令x=y=0，得f(0)=0，故A错误；对于B，令x=1，y=－1，得f(0)=f(1)＋f(－1)－4，解得f(－1)=2．令x=－1，y=－1，得f(－2)=2f(－1)＋4=8，故B正确；对于C，令y=1，则f(x＋1)=f(x)＋2＋4x，所以f′(x＋1)=f′(x)＋4，令x=0，得f′(1)=f′(0)＋4=4，故C正确；对于D，由C中分析知{f′(n)}构成以4为首项，4为公差的等差数列，故f′(i)=4×20＋×4=80＋760=840，故D正确．
10．(2025·茂名一模)(多选)已知函数f(x)=，则( ACD )
A．当a＞0时，f(x)是增函数
B．当a＜0时，f(x)的值域为(2，＋∞)
C．当a=1时，曲线y=f(x)关于点(0，1)对称
D．当a=4时， x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)＜2，则－2＜k＜2
【解析】 对于A，当a＞0时，f(x)==2＋的定义域为R，因为y=2x＋a在定义域R上单调递增，且y=2x＋a＞a＞0，y=在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在定义域R上单调递增，故A正确；对于B，当a=－2时，f(0)=－2，但是－2 (2，＋∞)，故B错误；对于C，当a=1时，f(x)=，则f(x)＋f(－x)=＋=＋=2，所以曲线y=f(x)关于点(0，1)对称，故C正确；对于D，当a=4时，f(x)==的图象是由y=的图象向右平移2个单位长度得到的，所以f(x)的图象的对称中心为点(2，1)，且在定义域R上单调递增，所以由 x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)＜2，可得 x∈R，2－f(4－kx－1)＋f(2－x2)＜2，即 x∈R，f(2－x2)＜f(4－kx－1)，从而得 x∈R，2－x2＜3－kx，即x2－kx＋1＞0恒成立，所以Δ=k2－4＜0，解得－2＜k＜2，故D正确．
11．(2025·南昌一模)(多选)已知f(x)是R上的连续函数，满足 x，y∈R有f(x＋y)＋f(x－y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，则下列说法正确的是( BCD )
A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数
C．f(x)的一个周期为6 D．是f(x)图象的一个对称中心
【解析】 对于A，令x=y=0，得2f(0)=［f(0)］2，解得f(0)=0或f(0)=2．若f(0)=0，令y=0，得2f(x)=f(x)f(0)=0，这与f(1)=1矛盾，故f(0)=2，故A错误；对于B，令x=0，得f(y)＋f(－y)=f(0)f(y)=2f(y)，即f(－y)=f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确；对于D，因为f(0)=2，f(1)=1，当x=1，y=1时，f(2)＋f(0)=f(1)f(1)，故f(2)=－1，当x=2，y=1时，f(3)＋f(1)=f(2)f(1)，故f(3)=－2，当x=y=时，f(3)＋f(0)=2，故f=0．当x=时，f＋f=ff(y)=0，所以是f(x)图象的一个对称中心，故D正确；对于C，因为f＋f=0，即f=－f，即f=－f，则f(x＋3)=－f(－x)=－f(x)，所以f(x＋6)=－f(x＋3)=f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，故C正确．
12．(2026·南通期初)已知函数f(x)=若f(f(a))=－1，则a=__或－1或__．
【解析】 设t=f(a)，则f(f(a))=f(t)=－1，当t＞0时，f(t)=log3t，由log3t=－1，可得t=3－13=；当t≤0时，f(t)=t3，由t3=－1，两边同时立方可得t=(－1)3=－1；当f(a)=时：若a＞0，f(a)=log3a=，根据对数的定义可得a=33=；若a≤0，f(a)=a3，由a3=，两边同时立方得a=3=，但＞0，不满足a≤0这个条件，舍去； 当f(a)=－1时：若a＞0，f(a)=log3a=－1，根据对数定义可得a=3－13=；若a≤0，f(a)=a3=－1，两边同时立方得a=(－1)3=－1．综上，a=或a=－1或a=．
13．(2025·绍兴模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋2xy，则f(x)的值域为__［0，＋∞)__．
【解析】 令x=y=0，得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0；令y=－x，得f(0)=f(x)＋f(－x)－2x2，又f(x)为偶函数，所以2f(x)－2x2=0，解得f(x)=x2，易知其值域为［0，＋∞)．
14．(2025·滁州二模)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R．若f(－1－2x)＋f(3＋2x)=0，f(－1)=1，且f′(x)的图象关于直线x=－1对称，则∑50k=1f(2k－1)=__－1 225__．
【解析】 因为f′(x)的图象关于直线x=－1对称，所以f′(－1－x)=f′(－1＋x)，故f(－1－x)＋f(－1＋x)=C(C为常数)．令x=0，得C=2f(－1)=2，所以f(－1－x)＋f(－1＋x)=2，故f(x)＋f(－2－x)=2．而f(－1－2x)＋f(3＋2x)=0，故f(x)＋f(2－x)=0，所以2－f(－2－x)＋f(2－x)=0，所以f(2－x)=f(－2－x)－2，所以f(x＋4)=f(x)－2，故f(3)=f(－1)－2=－1．在f(x)＋f(2－x)=0中，令x=1，得f(1)=0，故∑50k=1f(2k－1)=［f(1)＋f(5)＋…＋f(97)］＋［f(3)＋f(7)＋…＋f(99)］=0×25＋×(－2)＋(－1)×25＋×(－2)=－1 225．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题七 函数与导数
1 函数的图象与性质
基础打底
1．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2］ B．［－2，0)
C．(0，2］ D．［2，＋∞)
2．(2025·杭州期末)已知函数f(x)=2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是( )
A．f(1)＜f(2) B．f(1)＞f(2)
C．f(2)=2f(1) D．f(2)=＋f(1)
3．(2025·景德镇模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，若f(1)=2，则f(2 027)的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．已知函数f(x)=－，则( )
A．f(x)在(－∞，2)上单调递增 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D．y=f(x)的图象关于点(1，0)对称
5．(2025·天津二模)函数f(x)=x的部分图象大致为( )
A B C D
强技提能
具体函数的性质研究
例1 (1) (2025·保定二模)若函数f(x)=|2x－m|在［1，2］上单调，则实数m的取值范围是( )
A．(0，2］ B．(－∞，2］ ［4，＋∞)
C．［4，＋∞) D．(0，2］ ［4，＋∞)
(2) (2025·邢台一模)设函数f(x)=ln(1＋x4)－，则不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为( )
A． B． (1，＋∞)
C． D．
研究函数的性质，主要是考查单调性、奇偶性的综合运用，如：解不等式、比大小等．研究策略是先求函数的定义域，再从式子结构入手判断函数性质，其中单调性主要是研究不等关系，奇偶性和对称性主要是研究两个变量之间的相等关系．
变式1 (1) (2025·杭州期末)设a＞0，且a≠1，函数f(x)=的值域为［2，＋∞)，则实数a的取值范围是____．
(2) (2025·泉州一检)若函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，4］
C．(1，8］ D．(1，16］
(3) (2025·威海期末)已知函数f(x)=2ax2－2x－1＋x，若对任意x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜1，则( )
A．a≤ B．a≤0
C．a≥－3 D．a≥1
抽象函数的性质研究
例2 (1) (2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)=0 B．g=0
C．f(－1)=f(4) D．g(－1)=g(2)
(2) (2025·福州一模)(多选)已知函数f(x)，g(x)均为定义在R上的非常值函数，且g(x)为f(x)的导函数．对任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)f(y)且f(1)=0，则( )
A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数
C．g(x)＋g(2 024－x)=0 D．［f(x)］2＋［f(1－x)］2=1
对于抽象函数性质的研究方法：
1．根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，赋值法是解决该题的通性通法；
2．根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
变式2 (1) (2025·宜昌模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，f(－x＋1)＋g(x＋1)=f(x＋2)－g(x)=1，且f(x)满足f′(x＋1)＋f′(－x＋1)=0，g(1)=－1，则∑2 025k=1f(k)=( )
A．－1 B．1
C．2 025 D．2 026
(2) (2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)=2－x，则f(g(－1))=( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
配套热练
1．(2025·石家庄一质)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=ex，则f(ln 3)=( )
A． B．3
C．－3 D．－
2．(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5－2x，则f=( )
A．－ B．－
C． D．
3．(2025·焦作三模)若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为f(x)=( )
A．＋1 B．＋1
C． D．
4．(2025·沈阳一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)=(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)=3，则f(3)=( )
A．－3 B．－1
C．0 D．1
5．(2025·龙岩3月质检)设函数f(x)=且a≠1)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为R上的奇函数 B．若a=2，则f(log23)=log23－2
C．若f(0)=－2，则a=3 D．若f(x)为R上的增函数，则1＜a＜3
6．(2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4－x)，且f(x)在［－2，2］上单调递增．设a=f，b=f，c=f(－13)，则( )
A．a＜b＜c B．C＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．(2025·新余二模)已知函数f(x)=ln＋sin x，则关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)＜0的解集是( )
A．(，2) B．(－3，2)
C．(1，2) D．(，)
8．(2025·青岛期末)已知函数f(x)=存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1］ B．(－∞，0］
C．(－∞，－1］ D．(－∞，－1］
9．(2025·杭州期末)(多选)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，y，有f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋4xy，且f(1)=2，f′(0)=0，则( )
A．f(0)=－2 B．f(－2)=8
C．f′(1)=4 D．f′(i)=840
10．(2025·茂名一模)(多选)已知函数f(x)=，则( )
A．当a＞0时，f(x)是增函数
B．当a＜0时，f(x)的值域为(2，＋∞)
C．当a=1时，曲线y=f(x)关于点(0，1)对称
D．当a=4时， x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)＜2，则－2＜k＜2
11．(2025·南昌一模)(多选)已知f(x)是R上的连续函数，满足 x，y∈R有f(x＋y)＋f(x－y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，则下列说法正确的是( )
A．f(0)=0 B．f(x)为偶函数
C．f(x)的一个周期为6 D．是f(x)图象的一个对称中心
12．(2026·南通期初)已知函数f(x)=若f(f(a))=－1，则a=___．
13．(2025·绍兴模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋2xy，则f(x)的值域为____．
14．(2025·滁州二模)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R．若f(－1－2x)＋f(3＋2x)=0，f(－1)=1，且f′(x)的图象关于直线x=－1对称，则∑50k=1f(2k－1)=____．
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