(共48张PPT)
专题七
2 数形结合视角下函数的零点问题
函数与导数
基础打底
【解析】
B
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】A
【解析】
强技提能
目标
1
分段函数的零点
1
【解析】
【答案】B
【解析】
根据题意，函数g(x)＝f(x) ax＋a存在零点，即方程f(x) ax＋a＝0存在实数根，也就是函数y＝f(x)与y＝a(x 1)的图象有交点．
目标
2
等高线问题
2
【解析】
【答案】BCD
【解析】
目标
3
嵌套函数的零点
3
【解析】
方程[f(x)]2＋(a 1)f(x) a＝0，即[f(x) 1][f(x)＋a]＝0，由图象可知，f(x) 1＝0在[0，＋∞)上有3个实数解，由于y＝f(x)为偶函数，故f(x) 1＝0在R上有6个实数解，所以只需要f(x)＋a＝0在R上有4个不同的实数解，可得a＝2ln 2 2或 2＜a＜ 1．
【答案】B
3
【解析】
B
【解析】
3
图(1)
由图可知，当0＜m＜1时，直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，故0＜m＜1．在方程g(f(x))＝m中，设t＝f(x)∈(0，＋∞)，即g(t)＝m，则转化为函数y＝g(t)的图象与直线y＝m∈(0，1)的交点问题．
【答案】(0，1) 4
图(2)
1．形如a[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0的根的问题，若可以进行因式分解，则可以转化为方程f(x)＝m1，f(x)＝m2，即水平线y＝m与y＝f(x)图象的交点问题；若无法因式分解，则设t＝f(x)∈A，转化为at2＋bt＋c＝0在集合A上的根的分布问题．
2．形如y＝f(f(x))，y＝f(g(x))的零点问题，可以设t＝f(x)或t＝g(x)转化为函数y＝f(t)的零点问题，一般需要构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义．
【解析】
【答案】C
4
共零点问题
新视角
【解析】
【答案】C
变式4 设a∈R，若x＞0时，[(a 1)x 1](x2 ax 1) ≥0恒成立，则a＝_____．
【解析】
热练
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】C
【解析】
C
【解析】
作出函数f(x)的图象如图所示，设f(x)＝t，则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a＝0，解得t＝ 1或t＝ a．
由图可知当t＝ 1，即f(x)＝ 1时有2个根．因为原方程有4个不同的实数根，则当t＝ a，即f(x)＝ a时有
2个根，所以 a＝ 4或 3＜ a＜ 1或 a＞ 1，解得a＝4或1＜a＜3或a＜1，则实数a的取值范围为( ∞，1) (1，3) {4}．
【答案】D
【解析】
【答案】C
【解析】
对于B，因为关于x的方程f(x)＝a有三个不等实根，即y＝f(x)与y＝a的图象有三个不同交点，所以a∈(0，2]，故B不正确；
对于C，由题意可知 2＜x1≤0， log2x2＝log2x3，所以x2x3＝1，所以x1x2x3＝x1∈( 2，0]，故C正确；
对于D，令f(x)＝t，则有y＝f(t)，令y＝0，则有t＝ 2或t＝1，当t＝ 2，即f(x)＝ 2时，x＋2＝ 2，解得x＝ 4；当t＝1，即f(x)＝1
【答案】ACD
【解析】
作出函数f(x)的图象如图所示．若函数f(x) ax＝0恰有3个零点，则函数y＝f(x)与y＝ax的图象恰有3个交点．
10．已知函数f(x)＝(|x|＋a2 1)ln|x＋a|满足f(x) ≥0在定义域上恒成立，则实数a的值为_____．
【解析】
0
【解析】
10
【解析】
(15，22)2 数形结合视角下函数的零点问题
基础打底
1．已知函数f(x)=若函数y=f(x)－a恰有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)－m恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A． B．(－∞，1)
C． D．(1，＋∞)
3．已知函数f(x)=若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则的取值范围是( )
A．(0，12) B．(0，16)
C．(9，21) D．(15，25)
4．已知函数f(x)=则方程f(f(x))=2的所有根之积为___．
强技提能
分段函数的零点
例1 已知函数f(x)=函数g(x)=x－a，其中a∈R，若函数y=f(x)－g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
变式1 设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为___．
等高线问题
例2 (多选)已知函数f(x)=若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2=－1 B．x3x4=1
C．0＜x1＋x2＋x3＋x4＜ D．0＜x1x2x3x4＜1
变式2 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f(x)=若函数y=f(x)－a(0＜a＜1)有六个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6的取值范围是____．
嵌套函数的零点
例3 (1) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)=若关于x的方程［f(x)］2＋(a－1)f(x)－a=0有10个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－2，－1) {2ln 2－2}
C．(－2，2ln 2－2) D．(－2，2ln 2－2］
(2) 已知函数f(x)=则方程f(f(x))=2的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(3) 已知函数f(x)=|2－x－1|，g(x)=且方程f(x)=m有两个不同的解，则实数m的取值范围为____，关于x的方程g(f(x))=m的解的个数为____．
1．形如a［f(x)］2＋bf(x)＋c=0的根的问题，若可以进行因式分解，则可以转化为方程f(x)=m1，f(x)=m2，即水平线y=m与y=f(x)图象的交点问题；若无法因式分解，则设t=f(x)∈A，转化为at2＋bt＋c=0在集合A上的根的分布问题．
2．形如y=f(f(x))，y=f(g(x))的零点问题，可以设t=f(x)或t=g(x)转化为函数y=f(t)的零点问题，一般需要构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义．
变式3 (2025·宁波期末)已知函数f(x)=(a＞0且a≠1)在R上为单调函数．若方程［f(x)］2－4|f(x)|＋3=0有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
共零点问题
例4 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为( )
A． B．
C． D．1
变式4 设a∈R，若x＞0时，［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0恒成立，则a=____．
配套热练
1．已知函数f(x)=有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(0，1) D．(－∞，1)
2．已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个不同实数解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为( )
A． B．
C．［－2，＋∞) D．(－2，＋∞)
3．已知函数f(x)=若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则=( )
A．18π B．18
C．9π D．9
4．已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知函数f(x)=则方程12［f(x)］2－7f(x)＋1=0的实根个数为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
6．已知函数f(x)=若关于x的方程［f(x)］2＋(a＋1)f(x)＋a=0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－∞，5)
C．(－∞，3) D．(－∞，1) (1，3)
7．已知函数f(x)=若方程f(x)=t有四个不同的实数根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则a＋b＋＋的取值范围为( )
A．(－∞，1］ B．［1，2 026)
C．(－∞，1) D．(1，2 026)
8．(多选)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则( )
A．f(x)的单调递增区间为(－∞，0］，［1，＋∞)
B．a的取值范围是(0，2)
C．x1x2x3的取值范围是(－2，0］
D．函数g(x)=f(f(x))有4个零点
9．已知函数f(x)=若函数f(x)－ax=0恰有3个零点，则实数a的取值范围为____．
10．已知函数f(x)=(|x|＋a2－1)ln|x＋a|满足f(x)≥0在定义域上恒成立，则实数a的值为____．
11．已知函数f(x)=g(x)=则函数h(x)=g(f(x))－1的零点有____个．
12．已知函数f(x)=若y=f(x)的图象与y=m的图象有A，B，C，D四个不同的交点，交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，则2x1＋2x2＋2(x3－3)(x4－3)的取值范围是____．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2 数形结合视角下函数的零点问题
基础打底
1．已知函数f(x)=若函数y=f(x)－a恰有3个零点，则实数a的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可得函数f(x)的图象和直线y=a有3个交点，作出f(x)的大致图象，如图所示，由图可知＜a＜．
2．已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)－m恰有3个零点，则实数m的取值范围是( D )
A． B．(－∞，1)
C． D．(1，＋∞)
【解析】 g(x)有3个零点，即直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点．当x＞0时，f(x)=2x－m单调递增，至多有一个交点；当x≤0时，f(x)=－x2－2mx是二次函数，至多有两个交点．因此直线y=m与函数y=f(x)的图象在x＞0时有一个交点，此时2m=2x＞1，得m＞；在x≤0时有两个交点，即y=x2＋2mx＋m有两个零点，所以即解得m＞1．综上，实数m的取值范围为(1，＋∞)．
3．已知函数f(x)=若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则的取值范围是( A )
A．(0，12) B．(0，16)
C．(9，21) D．(15，25)
【解析】 如图，作出函数f(x)=的图象，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则可得－log2x1=log2x2，即x1x2=1，且x3＋x4=2×6=12，即x4=12－x3，2＜x3＜4，则=(x3－2)(10－x3)=－(x3－6)2＋16，又y=－(x3－6)2＋16在x3∈(2，4)上单调递增，故的取值范围为(0，12)．
4．已知函数f(x)=则方程f(f(x))=2的所有根之积为____．
【解析】 令t=f(x)，由f(f(x))=2可得f(t)=2．当t≤0时，由f(t)=－t2－2t=2，得t2＋2t＋2=0，则Δ=4－4×2＜0，即t2＋2t＋2=0无解；当t＞0时，由f(t)=|log2t|=2，可得t=或t=4．若t=，当x≤0时，由f(x)=－x2－2x=可得x2＋2x＋=0，解得x1=，x2=；当x＞0时，由f(x)=|log2x|=可得x3=，x4=．若t=4，当x≤0时，由f(x)=－x2－2x=4可得x2＋2x＋4=0，Δ=4－4×4＜0，方程x2＋2x＋4=0无解；当x＞0时，由f(x)=|log2x|=4可得x5=24，x6=2－4．因此方程f(f(x))=2的所有根之积为x1x2x3x4x5x6=．
强技提能
分段函数的零点
例1 已知函数f(x)=函数g(x)=x－a，其中a∈R，若函数y=f(x)－g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 由y=f(x)－g(x)=0得f(x)=g(x)，作出函数f(x)和g(x)的图象如图所示，则A．当g(x)的图象经过点A时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，此时g(1)=－a=，a=1；当g(x)与f(x)在x＞1时的图象相切时，f(x)与g(x)有2个交点，此时由－x2＋4x－=x－a，即x2－x＋－a=0，由判别式Δ=0得2－4=0，解得a=．要使f(x)与g(x)的图象有3个交点，则g(x)的图象应位于这两条直线之间，则实数a的取值范围为．
变式1 设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为__ ［e2，＋∞)__．
【解析】 根据题意，函数g(x)=f(x)－ax＋a存在零点，即方程f(x)－ax＋a=0存在实数根，也就是函数y=f(x)与y=a(x－1)的图象有交点．作出函数f(x)=的图象如图所示，而直线y=a(x－1)恒过定点(1，0)，过点(－2，1)与(1，0)的直线的斜率k==－．设直线y=a(x－1)与y=ex的图象相切于点(m，em)，则过切点的直线方程为y－em=em(x－m)，由切线过点(1，0)，得－em=em(1－m)，解得m=2，此时切线的斜率k=e2．由图可知，要使函数g(x)=f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为 ［e2，＋∞)．
等高线问题
例2 (多选)已知函数f(x)=若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则下列结论正确的是( BCD )
A．x1＋x2=－1 B．x3x4=1
C．0＜x1＋x2＋x3＋x4＜ D．0＜x1x2x3x4＜1
【解析】 作出函数f(x)=的图象如图所示，则x1＋x2=－2，故A错误；由f(x3)=f(x4)得|log2x3|=|log2x4|，所以－log2x3=log2x4，则log2(x3x4)=0，所以x3x4=1，故B正确；因为x1＋x2＋x3＋x4=－2＋x3＋x4=x3＋－2，由log2x=－1得x=，则＜x3＜1，所以x1＋x2＋x3＋x4=x3＋－2∈，故C正确；又x1x2x3x4=x1x2=x1(－2－x1)=－－2x1，因为x1∈(－2，－1)，所以x1x2x3x4=－－2x1∈(0，1)，故D正确．
变式2 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f(x)=若函数y=f(x)－a(0＜a＜1)有六个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6的取值范围是____．
【解析】 由函数f(x)为奇函数，根据解析式作出函数f(x)在R上的图象如图所示，由图可知x1＋x2=－8，x5＋x6=8，且－log2x3=log2x4，即log2(x3x4)=0，所以x3x4=1．由0＜－log2x3＜1，得x3∈，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6=x3＋x4=x3＋．根据对勾函数y=x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6=x3＋x4=x3＋∈．
嵌套函数的零点
例3 (1) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)=若关于x的方程［f(x)］2＋(a－1)f(x)－a=0有10个不同的实数解，则实数a的取值范围是( B )
A．(1，2) B．(－2，－1) {2ln 2－2}
C．(－2，2ln 2－2) D．(－2，2ln 2－2］
【解析】 当x≥1时，f(x)=x－2ln x，f′(x)=1－，当1≤x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以f(x)在［1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=2－2ln 2，且f(1)=1，当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当0≤x＜1时，f(x)=－x2＋3x单调递增，且此时0≤f(x)＜2．作出函数y=f(x)在［0，＋∞)上的图象，如图所示．方程［f(x)］2＋(a－1)f(x)－a=0，即［f(x)－1］［f(x)＋a］=0，由图象可知，f(x)－1=0在［0，＋∞)上有3个实数解，由于y=f(x)为偶函数，故f(x)－1=0在R上有6个实数解，所以只需要f(x)＋a=0在R上有4个不同的实数解，可得a=2ln 2－2或－2＜a＜－1．
(2) 已知函数f(x)=则方程f(f(x))=2的根的个数是( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 设f(x)=t，可得方程f(t)=2．当0＜t＜2时，2sin t=2 t=1．再由f(x)=1，若0＜x＜2，则2sin x=1 x=或x=；若x＞2，则|log3(x－2)|=1 x=或x=5．当t＞2时，|log3(t－2)|=2 t=或t=11．再由f(x)=，若0＜x＜2，则2sin x=，无解；若x＞2，则|log3(x－2)|= x=2＋3或x=2＋3－．由f(x)=11，若0＜x＜2，则2sin x=11，无解；若x＞2，则|log3(x－2)|=11 x=2＋311或x=2＋3－11．综上可知，方程f(f(x))=2有8个根．
(3) 已知函数f(x)=|2－x－1|，g(x)=且方程f(x)=m有两个不同的解，则实数m的取值范围为__(0，1)__，关于x的方程g(f(x))=m的解的个数为__4__．
【解析】 f(x)=|2－x－1|=由题意可知，直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象如图(1)所示．由图可知，当0＜m＜1时，直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点，故0＜m＜1．在方程g(f(x))=m中，设t=f(x)∈(0，＋∞)，即g(t)=m，则转化为函数y=g(t)的图象与直线y=m∈(0，1)的交点问题．作出函数g(t)=的图象如图(2)所示．因为0＜m＜1，则函数y=g(t)的图象与直线y=m有3个交点，即关于t的方程g(t)=m有三个根t1，t2，t3，其中t1∈(0，1)，t2∈(1，2)，t3∈(2，3)，再结合y=f(x)的图象可知，方程t1=f(x)有2个不同的根，方程t2=f(x)有1个根，方程t3=f(x)有1个根．综上所述，方程g(f(x))=m有4个不同的根．
图(1)
图(2)
1．形如a［f(x)］2＋bf(x)＋c=0的根的问题，若可以进行因式分解，则可以转化为方程f(x)=m1，f(x)=m2，即水平线y=m与y=f(x)图象的交点问题；若无法因式分解，则设t=f(x)∈A，转化为at2＋bt＋c=0在集合A上的根的分布问题．
2．形如y=f(f(x))，y=f(g(x))的零点问题，可以设t=f(x)或t=g(x)转化为函数y=f(t)的零点问题，一般需要构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义．
变式3 (2025·宁波期末)已知函数f(x)=(a＞0且a≠1)在R上为单调函数．若方程［f(x)］2－4|f(x)|＋3=0有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可知，f(x)为单调函数，当x＞2时，f(x)单调递减，故当x≤2时，f(x)也单调递减，故0＜a＜1．要确保f(x)在R上单调递减，则－(2－2)2＋4a=4a≤f(2)=2，解得a≤，所以满足f(x)在R上单调递减时，实数a的取值范围为．当x≤2时，f(x)=ax－2＋1，又f(x)在(－∞，2］上单调递减，0＜a≤，所以f(x)=ax－2＋1≥f(2)=2，即f(x)在(－∞，2］上的值域为［2，＋∞)．令［f(x)］2－4|f(x)|＋3=0，则|f(x)|=1或3，即f(x)=±1或±3，要使得［f(x)］2－4|f(x)|＋3=0有4个不同的实数解，则－(2－2)2＋4a=4a＞1，解得a＞．综上，实数a的取值范围为．
共零点问题
例4 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为( C )
A． B．
C． D．1
【解析】 由题知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a=0，解得x=－a；令ln(x＋b)=0，解得x=1－b，则当x∈(－b，1－b)时，ln(x＋b)＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈(1－b，＋∞)时，ln(x＋b)＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a=0，即b=a＋1，则a2＋b2=a2＋(a＋1)2=22＋≥，当且仅当a=－，b=时等号成立，所以a2＋b2的最小值为．
变式4 设a∈R，若x＞0时，［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0恒成立，则a=____．
【解析】 设f(x)=(a－1)x－1，g(x)=x2－ax－1，则有x＞0时，f(x)·g(x)≥0恒成立．注意到f(x)，g(x)都过定点(0，－1)，如图所示，分析易知x＞0时，函数f(x)，g(x)有相同的零点，则g=0且a＞1，即2－－1=0，整理得a(3－2a)=0，解得a=．
配套热练
1．已知函数f(x)=有3个零点，则实数a的取值范围是( A )
A． B．
C．(0，1) D．(－∞，1)
【解析】 由题意知f(x)在(－2，0］上有2个零点，在(0，＋∞)上有1个零点，且f(0)=1＞0，所以解得＜a＜1．
2．已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个不同实数解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为( B )
A． B．
C．［－2，＋∞) D．(－2，＋∞)
【解析】 如图，作出y=f(x)与y=a的大致图象，由图可知x1＋x2=－4，x3x4=1，0＜log2x4≤2，即1＜x4≤4，所以x3＋x4=x4＋∈，故－2＜x1＋x2＋x3＋x4≤．
3．已知函数f(x)=若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则=( B )
A．18π B．18
C．9π D．9
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜x4，且x3，x4关于直线x=9对称．因为f(x1)=f(x2)，所以－log3x1=log3x2，所以log3(x1x2)=0，所以x1x2=1．因为f(x3)=f(x4)，所以x3＋x4=18，则=18．
4．已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 对于f(f(x))=0，令f(x)=t，由f(t)=0，得或解得t=或t=－1，所以f(x)=或f(x)=－1．当f(x)=时，或解得x=1或x=－．当f(x)=－1时，或解得x=－(舍去)或x=－e－1．所以函数y=f(f(x))的零点个数为3．
5．已知函数f(x)=则方程12［f(x)］2－7f(x)＋1=0的实根个数为( C )
A．9 B．10
C．11 D．12
【解析】 作出函数f(x)的部分图象如图所示．由方程12［f(x)］2－7f(x)＋1=0，解得f(x)=或f(x)=．当f(x)=时，有5个实根，当f(x)=时，有6个实根，故方程12［f(x)］2－7f(x)＋1=0的实根个数为11．
6．已知函数f(x)=若关于x的方程［f(x)］2＋(a＋1)f(x)＋a=0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为( D )
A．(－3，＋∞) B．(－∞，5)
C．(－∞，3) D．(－∞，1) (1，3)
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，设f(x)=t，则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a=0，解得t=－1或t=－a．由图可知当t=－1，即f(x)=－1时有2个根．因为原方程有4个不同的实数根，则当t=－a，即f(x)=－a时有2个根，所以－a=－4或－3＜－a＜－1或－a＞－1，解得a=4或1＜a＜3或a＜1，则实数a的取值范围为(－∞，1) (1，3) {4}．
7．已知函数f(x)=若方程f(x)=t有四个不同的实数根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则a＋b＋＋的取值范围为( C )
A．(－∞，1］ B．［1，2 026)
C．(－∞，1) D．(1，2 026)
【解析】 如图，作出函数f(x)的大致图象．若方程f(x)=t有四个不同的实数根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，可得1－2a=2b－1=－log2 026(c－1)=log2 026(d－1)=t(0＜t＜1)，即有2a=1－t，2b=1＋t，a＋b=log2(1－t)＋log2(1＋t)=log2(1－t2)＜0，c－1=2 026－tt，d－1=2 026t，＋=＋==1，则a＋b＋＋＜1．
8．(多选)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则( ACD )
A．f(x)的单调递增区间为(－∞，0］，［1，＋∞)
B．a的取值范围是(0，2)
C．x1x2x3的取值范围是(－2，0］
D．函数g(x)=f(f(x))有4个零点
【解析】 作出函数f(x)=的图象如图所示．对于A，由图象可得y=f(x)的单调递增区间为(－∞，0］，［1，＋∞)，故A正确；对于B，因为关于x的方程f(x)=a有三个不等实根，即y=f(x)与y=a的图象有三个不同交点，所以a∈(0，2］，故B不正确；对于C，由题意可知－2＜x1≤0，－log2x2= log2x3，所以x2x3=1，所以x1x2x3=x1∈(－2，0］，故C正确；对于D，令f(x)=t，则有y=f(t)，令y=0，则有t=－2或t=1，当t=－2，即f(x)=－2时，x＋2=－2，解得x=－4；当t=1，即f(x)=1时，x＋2=1或|log2x|=1，解得x=－1或x=或x=2，所以g(x)=f(f(x))有4个零点，故D正确．
9．已知函数f(x)=若函数f(x)－ax=0恰有3个零点，则实数a的取值范围为____．
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示．若函数f(x)－ax=0恰有3个零点，则函数y=f(x)与y=ax的图象恰有3个交点．当a=时，直线y=x和y=f(x)的图象有3个交点；当直线y=ax和y=f(x)相切时，设切点为(m，ln m)，由(ln x)′=，得a=，故ln m=am=1，解得m=e，故a=，所以直线y=x和y=f(x)相切时，y=f(x)的图象与直线y=ax有2个交点．综上，a∈．
10．已知函数f(x)=(|x|＋a2－1)ln|x＋a|满足f(x)≥0在定义域上恒成立，则实数a的值为__0__．
【解析】 令ln|x＋a|=0，解得x=1－a或x=－1－a，依题意，函数h(x)=|x|＋a2－1的零点也为x=1－a或x=－1－a(函数y=ln|x＋a|的值域为R，若函数h(x)=|x|＋a2－1的零点不为x=1－a或x=－1－a，则f(x)＜0必有解，则与题设矛盾)，即解得a=0．经检验，a=0符合题意．
11．已知函数f(x)=g(x)=则函数h(x)=g(f(x))－1的零点有__10__个．
【解析】 令h(x)=g(f(x))－1=0，得g(f(x))=1，令g(x)=1，得或解得x=0或x=e或x=，所以f(x)=0或f(x)=e或f(x)=．作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知方程f(x)=0有4个解，方程f(x)=e有2个解，方程f(x)=有4个解，所以函数h(x)共有10个零点．
12．已知函数f(x)=若y=f(x)的图象与y=m的图象有A，B，C，D四个不同的交点，交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，则2x1＋2x2＋2(x3－3)(x4－3)的取值范围是__ (15，22)__．
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，根据图象可得＝－7，即＝14，3＜x3＜4，x3＋x4＝10，所以＋2(x3－3)(x4－3)＝14＋2(x3－3)(7－x3)＝14＋2－(x3－5)2＋4，x3∈(3，4)，所以0＜－(x3－5)2＋4＜3，所以1＜2－(x3－5)2＋4＜8，所以＋2(x3－3)(x4－3)＜22．
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