(共29张PPT)
专题七
7 指、对、幂函数与三角函数结合问题的处理策略
函数与导数
强技提能
策略
1
分段讨论
(2025·唐山一模节选)已知函数f(x)＝ax2 x＋sin x，当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
1
【解答】
策略
2
三角放缩
2
【解答】
2
【解答】
【解答】
策略
3
分离参数
3
【解答】
3
【解答】
对于一些较为复杂的含参函数问题，当直接构造一个函数很难或无法解决时，可以通过等价转化，并进行适当的变形，将参数分离或转化为两个函数来处理．
【解答】
热练
1．(2025·鹰潭一模)已知函数f(x)＝exsin x(e是自然对数的底数)，g(x)为f(x)的导函数．
(1) 当x∈［0，2π］时，求不等式g(x)≥0的解集；
【解答】
【解答】
2．(2025·太原一模)已知函数f(x)＝x aln x，a∈R．
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
【解答】
2．(2025·太原一模)已知函数f(x)＝x aln x，a∈R．
(2) 当x∈(0，＋∞)时，若f(x)≥cos(x 1)恒成立，求a的值．
【解答】
【解答】
【解答】
4．已知函数f(x)＝sin x x aex，其中a为实数，e是自然对数的底数．
(1) 若a＝ 1，证明：f(x)≥0；
【解答】
若a＝ 1，则f(x)＝sin x x＋ex，令g(x)＝ex x，则g′(x)＝ex 1．
当x＜0时，g′(x)＜0，g(x)在( ∞，0)上为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)在(0， ＋∞)上为增函数．
所以函数g(x)的极小值也是最小值，为g(0)＝1，所以g(x)≥g(0)＝1，而 sin x≤1，所以ex x≥ sin x，即f(x)≥0．
4．已知函数f(x)＝sin x x aex，其中a为实数，e是自然对数的底数．
(2) 若f(x)在(0，π)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．
【解答】7 指、对、幂函数与三角函数结合问题的处理策略
强技提能
分段讨论
例1 (2025·唐山一模节选)已知函数f(x)=ax2－x＋sin x，当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
与三角函数相关的分段讨论
(1) 以－，0，，π，…为端点分区间讨论；
(2) 以三角函数的最值点为端点分段讨论．
三角放缩
例2 已知函数g(x)=ln x＋(a为常数)．
(1) 若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点，求实数a的值；
(2) 当a=1时，求证：g(x)＋cos x＜．
常见的三角函数放缩
(1) 正弦函数：当x＞0时，x＞sin x＞x－x2．
(2) 余弦函数：cos x≥1－x2．
(3) 正切函数：当x∈时，sin x＜x＜tan x．
(4) 值域：sin x∈［－1，1］，cos x∈［－1，1］．
变式2 (2025·焦作三模节选)已知函数f(x)=tan x－ax，当x∈时，f(x)＜0，求实数a的取值范围．
分离参数
例3 (2025·黄山二模节选)已知函数f(x)=aex－2x－3cos x＋1，其中e为自然对数的底数．
(1) 当a=2时，判断函数f(x)在区间上的单调性；
(2) 令g(x)=f′(x)，若函数g(x)在区间上存在极值，求实数a的取值范围．
对于一些较为复杂的含参函数问题，当直接构造一个函数很难或无法解决时，可以通过等价转化，并进行适当的变形，将参数分离或转化为两个函数来处理．
变式3 (2025·潍坊模拟节选)已知函数f(x)=x＋asin x－xcos x，若f(x)在区间上有零点，求实数a的取值范围．
配套热练
1．(2025·鹰潭一模)已知函数f(x)=exsin x(e是自然对数的底数)，g(x)为f(x)的导函数．
(1) 当x∈［0，2π］时，求不等式g(x)≥0的解集；
(2) 若函数h(x)=f(x)－g(x)，求函数h(x)在上的极值．
2．(2025·太原一模)已知函数f(x)=x－aln x，a∈R．
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 当x∈(0，＋∞)时，若f(x)≥cos(x－1)恒成立，求a的值．
3．已知函数f(x)=xsin x＋cos x－1，g(x)=x2－f(x)．
(1) 求f(x)在区间(0，2π)上的极值点；
(2) 证明：g(x)恰有3个零点．
4．已知函数f(x)=sin x－x－aex，其中a为实数，e是自然对数的底数．
(1) 若a=－1，证明：f(x)≥0；
(2) 若f(x)在(0，π)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)7 指、对、幂函数与三角函数结合问题的处理策略
强技提能
分段讨论
例1 (2025·唐山一模节选)已知函数f(x)=ax2－x＋sin x，当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【解答】 当x=0时，符合题意．当x＞0时，由f(x)=ax2－x＋sin x≥0，得a≥．当x∈(0，π］时，令t(x)=，t′(x)=，令h(x)=－xcos x－x＋2sin x，则h′(x)=cos x＋xsin x－1，令z(x)=h′(x)，则z′(x)=xcos x，当x∈时，z′(x)＞0，h′(x)单调递增，当x∈时，z′(x)＜0，h′(x)单调递减．因为h′(0)=0，h′=－1＞0，h′(π)=－2，所以存在x0∈，使得h′(x0)=0，且在(0，x0)上h′(x)＞0，在(x0，π］上h′(x)＜0，则h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π］上单调递减．又因为h(0)=0，h(π)=0，即当x∈(0，π)时，t′(x)＞0，t(x)单调递增，所以当x∈(0，π］时，t(x)≤t(π)=．下面证明：当x∈(π，＋∞)时，恒有＜．当x∈(π，＋∞)时，令M(x)=x2－x＋sin x，M′(x)=x－1＋cos x＞×π－1＋cos π=0，则M(x)在(π，＋∞)上单调递增，此时M(x)＞M(π)=0，故当x∈(π，＋∞)时，＜．综上，的最大值为，所以a的取值范围为．
与三角函数相关的分段讨论
(1) 以－，0，，π，…为端点分区间讨论；
(2) 以三角函数的最值点为端点分段讨论．
三角放缩
例2 已知函数g(x)=ln x＋(a为常数)．
(1) 若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点，求实数a的值；
【解答】 因为g(x)=ln x＋，所以g′(x)=－=，所以g′(1)=1－a，又因为g(1)=ln 1＋=a，所以g(x)在x=1处的切线方程为y=(1－a)(x－1)＋a．将点O(0，0)代入切线方程可得a=．
(2) 当a=1时，求证：g(x)＋cos x＜．
【解答】 即证ln x＋＜－cos x(x＞0)，因为cos x∈［－1，1］，所以－cos x≥－1，只需证ln x＋＜－1．令k(x)=ln x＋－＋1(x＞0)，只需证明k(x)＜0，而k′(x)=－－=．因为x＞0，所以1－ex＜0，令k′(x)＞0，得0＜x＜1，令k′(x)＜0，得x＞1，所以k(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，所以k(x)max=k(1)=2－e＜0，故k(x)＜0在x∈(0，＋∞)上恒成立，结论得证．
常见的三角函数放缩
(1) 正弦函数：当x＞0时，x＞sin x＞x－x2．
(2) 余弦函数：cos x≥1－x2．
(3) 正切函数：当x∈时，sin x＜x＜tan x．
(4) 值域：sin x∈［－1，1］，cos x∈［－1，1］．
变式2 (2025·焦作三模节选)已知函数f(x)=tan x－ax，当x∈时，f(x)＜0，求实数a的取值范围．
【解答】 当x∈时，f(x)＜0，即a＞对任意x∈恒成立．设g(x)==，则g′(x)==，当x∈时，2x∈，则2x＞sin 2x，所以g′(x)＞0，g(x)在上单调递增，g(x)max=g=，所以a＞，即a的取值范围是．
分离参数
例3 (2025·黄山二模节选)已知函数f(x)=aex－2x－3cos x＋1，其中e为自然对数的底数．
(1) 当a=2时，判断函数f(x)在区间上的单调性；
【解答】 当a=2时，f(x)=2ex－2x－3cos x＋1，则f′(x)=2ex－2＋3sin x，当x∈时，2(ex－1)＜0，3sin x＜0，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间上单调递减．
(2) 令g(x)=f′(x)，若函数g(x)在区间上存在极值，求实数a的取值范围．
【解答】 由题知g(x)=f′(x)=aex－2＋3sin x，则g′(x)=aex＋3cos x，所以 x0∈，g′(x0)=0，即a=－在x∈上有解．令h(x)=－，x∈，则h′(x)==＞0，所以h(x)在上单调递增，故－3＜h(x)＜0，即实数a的取值范围是(－3，0)．
对于一些较为复杂的含参函数问题，当直接构造一个函数很难或无法解决时，可以通过等价转化，并进行适当的变形，将参数分离或转化为两个函数来处理．
变式3 (2025·潍坊模拟节选)已知函数f(x)=x＋asin x－xcos x，若f(x)在区间上有零点，求实数a的取值范围．
【解答】 因为f(x)在区间上有零点，所以x＋asin x－xcos x=0，即a=在上有解．设g(x)=，x∈，则g′(x)==，因为x∈，所以g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减．又因为g(x)==·(cos x－1)＜0，当x→0时，g(x)→0，当x→时，g(x)→－，所以g(x)∈，所以实数a的取值范围是．
配套热练
1．(2025·鹰潭一模)已知函数f(x)=exsin x(e是自然对数的底数)，g(x)为f(x)的导函数．
(1) 当x∈［0，2π］时，求不等式g(x)≥0的解集；
【解答】 g(x)=f′(x)=ex(sin x＋cos x)=exsin ．令g(x)≥0，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．又x∈［0，2π］，所以g(x)≥0的解集为 ．
(2) 若函数h(x)=f(x)－g(x)，求函数h(x)在上的极值．
【解答】 由题知h′(x)=f′(x)－g(x)－g′(x)=－2·ex·cos x．当x∈ 时，h′(x)＞0，当x∈时，h′(x)＜0，所以函数h(x)在和上单调递增，在上单调递减，所以函数h(x)的极大值为h=f=，极小值为h=f－g=．
2．(2025·太原一模)已知函数f(x)=x－aln x，a∈R．
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
【解答】 函数f(x)=x－aln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)=1－．当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞0时，由f′(x)＜0，得0＜x＜a，由f′(x)＞0，得x＞a，则函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2) 当x∈(0，＋∞)时，若f(x)≥cos(x－1)恒成立，求a的值．
【解答】 令g(x)=f(x)－cos(x－1)=x－aln x－cos(x－1)，x＞0，求导得g′(x)=1－＋sin(x－1)．由当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥cos(x－1)恒成立，得 x∈(0，＋∞)，g(x)≥0恒成立，而g(1)=0，因此g(1)是函数g(x)的最小值．又g(x)在(0，＋∞)可导，则1是g(x)的极小值点，g′(1)=1－a=0，解得a=1．当a=1时，g(x)=x－ln x－cos(x－1)，x＞0．令h(x)=x－1－ln x，x＞0，求导得h′(x)=1－，由h′(x)＜0，得0＜x＜1，由h′(x)＞0，得x＞1，则函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则h(x)≥h(1)=0，即x－ln x≥1，因此g(x)=x－ln x－cos(x－1)≥1－cos(x－1)≥0，当且仅当x=1时取等号，所以a=1．
3．已知函数f(x)=xsin x＋cos x－1，g(x)=x2－f(x)．
(1) 求f(x)在区间(0，2π)上的极值点；
【解答】 (1) f′(x)=xcos x，当x∈(0，2π)时，令f′(x)=0，得x=或x=．当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x=是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点．综上所述，f(x)在区间(0，2π)上的极大值点为x=，极小值点为x=．
(2) 证明：g(x)恰有3个零点．
【解答】 g(x)=x2－f(x)=x2＋1－xsin x－cos x(x∈R)，因为g(0)=0，所以x=0是g(x)的一个零点．因为g(－x)=＋1－(－x)sin(－x)－cos(－x)=x2＋1－xsin x－cos x=g(x)，所以g(x)为偶函数．要确定g(x)在R上的零点个数，只需确定x＞0时，g(x)的零点个数即可．当x＞0时，g′(x)=x－xcos x=x(1－2cos x)．令g′(x)=0，得cos x=，x=＋2kπ或x=＋2kπ(k∈N)．当x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，又g(0)=0，所以g＜0；当x∈时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，且g=π2＋π＋＞0，所以g(x)在区间内有唯一零点．当x≥π时，因为sin x≤1，cos x≤1，所以g(x)=x2＋1－xsin x－cos x≥x2＋1－x－1=x2－x=t(x)．而t(x)在区间内单调递增，t(x)≥t＞0，所以g(x)＞0恒成立，故g(x)在区间内无零点，所以g(x)在区间(0，＋∞)内有一个零点．因为g(x)是偶函数，所以g(x)在区间(－∞，0)内有一个零点，又g(0)=0，所以g(x)恰有3个零点．
4．已知函数f(x)=sin x－x－aex，其中a为实数，e是自然对数的底数．
(1) 若a=－1，证明：f(x)≥0；
【解答】 若a=－1，则f(x)=sin x－x＋ex，令g(x)=ex－x，则g′(x)=ex－1．当x＜0时，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，0)上为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以函数g(x)的极小值也是最小值，为g(0)=1，所以g(x)≥g(0)=1，而－sin x≤1，所以ex－x≥－sin x，即f(x)≥0．
(2) 若f(x)在(0，π)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．
【解答】 f(x)在(0，π)上有唯一的极值点等价于f′(x)=cos x－1－aex在(0，π)上有唯一的变号零点，f′(x)=0等价于a=．设h(x)=，x∈(0，π)，则h′(x)==，因为x∈(0，π)，所以x＋∈，当0＜x＜时，x＋∈，sin ＞，h′(x)＜0，则h(x)在上为减函数，当＜x＜π时，x＋∈，sin ＜，则h′(x)＞0，h(x)在上为增函数，所以函数h(x)的极小值也是最小值，为h=－．又h(0)=0，h(π)=－，所以当－≤a＜0时，f′(x)在(0，π)上有唯一的变号零点，所以a的取值范围是．
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