2025新北师大版八年级数学上册期末综合测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025新北师大版八年级数学上册期末综合测试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 988.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
2025新北师大版八年级数学上册期末综合测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．0.3 C．5，6，8 D．8，15，17
2．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
3．下列数据能确定物体具体位置的是（ ）
A．东偏南方向 B．电影院第2排
C．学校距离小秦家 D．东经，北纬
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．无理数包括正无理数，0，负无理数 B．同位角相等，两直线平行
C．所有的实数都可用数轴上的点表示 D．两点之间，线段最短
6．若，则的平方根是（ ）
A．7 B． C． D．
7．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为
8．古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
9．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
10．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论：
①点P在直线上；
②若设的面积为S，当时，；
③的最小值为；
④的周长最小值为；
⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
12．已知点和关于轴对称，则 ．
13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺．
14．若是关于和的二元一次方程的一组解，则的值为 ．
15．若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为 ，方差为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程组；；
（2）计算：．
18．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ；
(3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值．
20．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且．
(1)求的度数；
(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由．
21．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况．
信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27．
信息2：
信息3：技术统计表
队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差
甲 26 32 m 9
乙 n 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）；
(2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？
(3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？
22．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①；
②；
③；
④；
…
(1)计算：______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
23．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米．
(1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示．
(3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题：
(1)点的“相关点”的坐标为___________；
(2)若点的相关点的坐标为，求的面积；
(3)点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标．
25．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．
（1）①如图1，若，则__________；
②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标．
【拓展探究】
（2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C A C D D C D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．
12．
13．
14．2017
15． ；
16．或或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】解：（1）①，得．③
②③，得．
．
将代入①，得．
所以原方程组的解是...................3分
（2）原式．...................6分
18．
【详解】（1）证明：∵D为中点，
∴.
在和中，
∴，
∴，
∴；...................3分
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得....................6分
19．
【详解】（1）解：的面积为；...................2分
（2）解：∵与关于 x 轴对称，，
∴；
如图所示，为所求：
...................4分
（3）解：如上图，作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P，
∵点B和点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值为．...................6分
20．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，，
∵，，
在中，有，
∴是直角三角形，
∴，
∴．...................3分
（2）这辆车不能被摄像头监控到，理由如下：
过点D作，交的延长线于M，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
即点M为摄像头能监控的最远位置，
在中，，
∵车到点B离为，，
∴车到点A离为，
∵，
∴这辆车不能被摄像头监控到．...................6分
21．
【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32，
∴中位数；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27，
∴；
，
，
∴，
故答案为：29，28，；...................3分
（2）解：甲：，
乙：，
∵，
∴甲队员表现更好．...................5分
（3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好．
（①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．）...................8分
22．
【详解】（1）解：；
故答案为8；12；...................2分
（2）解：∵①；
②；
③；
④；
……
∴；
故答案为；...................5分
（3）解：由（2）可得：
原式．...................8分
23．
【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得，
解得
∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米；..................3分
（2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，
整理得；...................5分
（3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，
，
∴当取最小值时，的值最小，
又∵取正整数，
∴当时，，的值最小为（万元），
∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元．...................8分
24．
【详解】（1）解：符合，
∴，
∴的坐标为．
答：的坐标为．...................3分
（2）解：设，
当时，将代入方程得到方程组，
，
用代入消元法解得到，符合的设定，
得到，
设直线的解析方程式为，将代入上式，
，
用加减消元法解得，
∴直线的方程式为，
∴直线与轴的交点为，
∴此时轴将分割成两个三角形和，
∴；
当时，将代入方程得到方程组，
，
用代入消元法解得到，符合的设定，
得到，
设直线的方程式为，将代入方程式，
，
用加减消元法解得，
∴直线的方程式为，
∴直线与轴的交点为，
∴此时轴将分割成两个三角形和，
∴．
∴的面积为．
答：的面积为．...................8分
（3）解：∵点在第二象限，
∴，
∴的坐标为，
∵的纵坐标为，
∴，即，
∴的坐标为，的坐标为
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
答：点的坐标为．...................12分
25．
【详解】（1）解：①∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：8；...................2分
②如图2，
过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；...................6分
（2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，
设，则，，
同理可得，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
当在点的位置时，，
综上所述，或．...................12分
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．0.3 C．5，6，8 D．8，15，17
2．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
3．下列数据能确定物体具体位置的是（ ）
A．东偏南方向 B．电影院第2排
C．学校距离小秦家 D．东经，北纬
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．无理数包括正无理数，0，负无理数 B．同位角相等，两直线平行
C．所有的实数都可用数轴上的点表示 D．两点之间，线段最短
6．若，则的平方根是（ ）
A．7 B． C． D．
7．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为
8．古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
9．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
10．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论：
①点P在直线上；
②若设的面积为S，当时，；
③的最小值为；
④的周长最小值为；
⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
12．已知点和关于轴对称，则 ．
13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺．
14．若是关于和的二元一次方程的一组解，则的值为 ．
15．若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为 ，方差为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程组；；
（2）计算：．
18．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ；
(3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值．
20．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且．
(1)求的度数；
(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由．
21．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况．
信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27．
信息2：
信息3：技术统计表
队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差
甲 26 32 m 9
乙 n 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）；
(2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？
(3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？
22．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①；
②；
③；
④；
…
(1)计算：______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
23．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米．
(1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示．
(3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题：
(1)点的“相关点”的坐标为___________；
(2)若点的相关点的坐标为，求的面积；
(3)点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标．
25．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．
（1）①如图1，若，则__________；
②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标．
【拓展探究】
（2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C A C D D C D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．
12．
13．
14．2017
15． ；
16．或或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】解：（1）①，得．③
②③，得．
．
将代入①，得．
所以原方程组的解是...................3分
（2）原式．...................6分
18．
【详解】（1）证明：∵D为中点，
∴.
在和中，
∴，
∴，
∴；...................3分
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得....................6分
19．
【详解】（1）解：的面积为；...................2分
（2）解：∵与关于 x 轴对称，，
∴；
如图所示，为所求：
...................4分
（3）解：如上图，作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P，
∵点B和点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值为．...................6分
20．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，，
∵，，
在中，有，
∴是直角三角形，
∴，
∴．...................3分
（2）这辆车不能被摄像头监控到，理由如下：
过点D作，交的延长线于M，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
即点M为摄像头能监控的最远位置，
在中，，
∵车到点B离为，，
∴车到点A离为，
∵，
∴这辆车不能被摄像头监控到．...................6分
21．
【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32，
∴中位数；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27，
∴；
，
，
∴，
故答案为：29，28，；...................3分
（2）解：甲：，
乙：，
∵，
∴甲队员表现更好．...................5分
（3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好．
（①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．）...................8分
22．
【详解】（1）解：；
故答案为8；12；...................2分
（2）解：∵①；
②；
③；
④；
……
∴；
故答案为；...................5分
（3）解：由（2）可得：
原式．...................8分
23．
【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得，
解得
∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米；..................3分
（2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，
整理得；...................5分
（3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，
，
∴当取最小值时，的值最小，
又∵取正整数，
∴当时，，的值最小为（万元），
∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元．...................8分
24．
【详解】（1）解：符合，
∴，
∴的坐标为．
答：的坐标为．...................3分
（2）解：设，
当时，将代入方程得到方程组，
，
用代入消元法解得到，符合的设定，
得到，
设直线的解析方程式为，将代入上式，
，
用加减消元法解得，
∴直线的方程式为，
∴直线与轴的交点为，
∴此时轴将分割成两个三角形和，
∴；
当时，将代入方程得到方程组，
，
用代入消元法解得到，符合的设定，
得到，
设直线的方程式为，将代入方程式，
，
用加减消元法解得，
∴直线的方程式为，
∴直线与轴的交点为，
∴此时轴将分割成两个三角形和，
∴．
∴的面积为．
答：的面积为．...................8分
（3）解：∵点在第二象限，
∴，
∴的坐标为，
∵的纵坐标为，
∴，即，
∴的坐标为，的坐标为
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
答：点的坐标为．...................12分
25．
【详解】（1）解：①∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：8；...................2分
②如图2，
过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；...................6分
（2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，
设，则，，
同理可得，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
当在点的位置时，，
综上所述，或．...................12分
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