第三十章 二次函数
1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.
2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.
3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.
4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.
1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知识与技能.
3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.
5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.
二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.
【重点】
了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.
1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力.
2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.
3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识.
4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.
30.1二次函数
1课时
30.2二次函数的图像和性质
3课时
30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
1课时
30.4二次函数的应用
3课时
30.5二次函数与一元二次方程的关系
1课时
回顾与反思
1课时
30.1 二次函数
1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.
2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.
1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.
2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.
2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.
3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.
【难点】
经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P26~27.
导入一:
出示投篮图片:
【导入语】 如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.
[设计意图] 通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.
导入二:
思考:
1.什么是一次函数、反比例函数?
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?
3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?
[设计意图] 通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.
[过渡语] 我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.
一起探究
(课件展示)
1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.
思路一
教师引导学生思考并回答:
(1)设灰色瓷砖的总数为y块.
①用含n的代数式表示y,则y= .?
②y与n具有怎样的函数关系?
(2)设白色瓷砖的总数为z块.
①用含n的代数式表示z,则z= .?
②z是n的函数吗?说说理由.
【师生活动】 学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.
(板书)
(1)y=4n+6,一次函数.
(2)z=n2+n-6,z是n的函数.
思路二
思考:
(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?
(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?
(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?
(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.
(板书)
(3)y=4n+6,一次函数.
(4)z=n2+n-6,z是n的函数.
(课件展示)
2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.
思路一
教师引导分析:
(1)设第二季度的产值为y万元,则y= .设第三季度的产值为z万元,则z= .?
(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
思路二
思考:
(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?
(2)y,z都分别是x的函数吗?
【师生活动】 学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
[设计意图] 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
形成概念
观察下面两个函数:
z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,
思考:
(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?
(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?
(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?
(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
【师生活动】 学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.
(课件展示)
一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
思考:
(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?
(2)如何判断一个函数是不是二次函数?
(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?
(4)函数y=x2+2x+,y=-x2+x+5,y=3x2,y=-x2+6是不是二次函数?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:
(课件展示)
(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
[设计意图] 通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.
大家谈谈
(课件展示)
1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.
[设计意图] 通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.
例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题..
(课件展示)
例1 (补充)若y=(m+1)是二次函数,则m的值为 .?
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.
解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.
【易错点】 常忽略二次项系数不为0.
做一做
新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.
(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.
(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?
教师引导分析:
全班共有 人,每个人要与 人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手 次,则y与m的函数关系式为 .?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.
[设计意图] 通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.
[知识拓展] 1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:
(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.
2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.
3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.
4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.
5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.
6.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.
4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.
1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+2 D.y=ax(a≠0)
解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.1,-3,5 B.1,3,5
C.5,3,1 D.5,-3,1
解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.
3.若y=(m+2) 是二次函数,则m的值为 .?
解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.
4.若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为 .?
解析:把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.
5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.
解:(1)S=6a2,二次函数.
(2)y=π=,二次函数.
(3)y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.
(4)y=30(1+x%)2,二次函数.
30.1 二次函数
一起探究
形成概念
大家谈谈
例题讲解
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第27页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第28页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数是二次函数的是 ( )
A.y=2x2+9 B.y=mx2+2x-1
C.y=2x2++1 D.y=
2.若y=(m2+m)-1是关于x的二次函数,则 ( )
A.m=-1或m=3 B.m≠-1且m≠0
C.m=-1 D.m=3
3.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为 ( )
A.1 B.-2 C.7 D.-6
4.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.
5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .?
6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是 .?
7.菱形的两条对角线长度的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为 .?
8.若 y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,求m的值.
9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为 x cm,长方体铁皮箱的底面积为 y cm2.
(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2) 写出自变量 x 的取值范围;
(3)当 x=5 cm时,求铁皮箱的底面积.
【能力提升】
10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是 ( )
A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?
【拓展探究】
12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第n个图形中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示);?
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中 的n的函数关系式;
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.
【答案与解析】
1.A(解析:B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选A.)
2.D(解析:由题意,得m2-2m-1=2且m2+m≠0,解得m=3.故选D.)
3.B(解析:∵二次项系数为2,常数项为-4,∴2+(-4)=-2.故选B.)
4.C(解析:由题意有4x2+1=5,解得x=±1.故选C.)
5.2 -2 0(解析:化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)
6.a≠1(解析:因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.)
7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.)
8.解:∵ y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,∴m+1≠0且m2+1=2,∴m=1.
9.解:(1)根据题意,有y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500. (2)根据实际意义2x<30,即x<15.又x>0,所以自变量的取值范围是0
10.C(解析:设矩形周长为a,其中一边长为x,则另一边长为-x,则面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选C.)
11.解:由题意可知,该商品每件的利润为(x-30)元.则依题意,得 y=(162-3x )(x-30),即y=-3x2+252x-4860 ,由此可知y是x的二次函数.
12.解:(1)(n+3) (n+2) (2)由题意有,y=(n+3)(n+2),整理得y=n2+5n+6. (3)由题意,得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,∴n的值为20.
本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景——建立数学模型——归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.
本节课经历从实际问题中建立函数模型,形成二次函数的概念,由于前面的学习经历了一次函数、反比例函数概念的形成过程,误认为学生类比前面的探究思路,通过自主学习会掌握二次函数的有关概念,所以在一起探究二次函数的知识形成时,过于急躁,造成概念中的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏了学习数学知识的严谨性.所以课堂上要重视探究知识的过程,淡化某个问题的结论.
二次函数是一种常见的函数,许多实际问题往往可以建立二次函数的模型加以研究. 在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程,让学生在探究过程中亲自去“做”,在“做”中感悟这类函数的特征,从而掌握二次函数的概念.在探究过程中给学生交流的时间和空间,培养学生与他人合作的精神,提高分析问题、解决问题的能力.例题的讲解教师要放手让学生思考、交流、展示,让学生成为课堂的主人.
练习(教材第27页)
1.解:(1)a=-5,b=3,c=1. (2)因为y=(x+1)2-1=x2+2x,所以a=1,b=2,c=0. (3)a=-1,b=0,c=6.
2.解:y=x(x-2)=x2-2x,y是x的二次函数,且a=1,b=-2,c=0.
习题(教材第27页)
A组
1.解:(1)(2)(5)(6)是二次函数.
2.解:y=x2,y是x的二次函数.
3.y=120(1-x)2=120x2-240x+120.
B组
1.解:如下表所示:
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2+2x+3
18
11
6
3
2
3
6
11
18
y=-2x2
-4x+9
-21
-7
3
9
11
9
3
-7
-21
2.解:当x=4或x=-6时,y的值是27.
建立数学模型,类比归纳概念
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数,不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系,而且对培养学生理解“数形结合”的数学思想具有重要作用.而二次函数的概念是以后学习二次函数的基础,在整个教材体系中起着承上启下的作用.本节课要学习的内容是二次函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成二次函数的初步认识,本节课的重点是经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.对于九年级的学生来说,前边已经学习了一次函数和反比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,所以引导学生用类比的方法探究二次函数的有关概念.本节课依据教材实例引导学生分析、思考,通过自主探索与合作交流,得到相关的函数表达式,分析所得到的关系式存在的共同特点,由学生归纳,得到二次函数的概念和一般形式,这样很自然地突破了本节课的难点,学生经历知识的形成过程,培养创新意识和实践能力,提高数学的应用意识.
已知y=(m2+m)+2x-1.
(1)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数?
(2)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是一次函数?
解:(1)由m2+m≠0,得m≠0且m≠-1.
由m2-2m-1=2,得m=3或m=-1.
所以当m=3时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数.
(2)由m2+m=0,得m=0或m=-1.
由m2-2m-1=1且m2+m≠-2,得m=1±.
由m2-2m-1=0,得m=1±.
所以m=0,-1,1±,1±时,y=(m2+m)·+2x-1是一次函数.
30.2 二次函数的图像和性质
1.知道二次函数的图像是一条抛物线,会用描点法画二次函数的图像.
2.能根据二次函数的图像理解和掌握二次函数的性质.
3.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4.能应用二次函数的图像和性质解决有关问题.
1.通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法,经历体验二次函数性质的探究过程,渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法.
2.通过二次函数的图像探究二次函数的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.经历探究抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的图像的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.
4.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,进一步感悟函数思想,增强对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
5.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.通过观察二次函数的图像,归纳其性质,培养学生观察、分析、抽象、概括的能力.
2.经历观察、推理、交流等过程,获得研间究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
3.通过学生的合作交流探究二次函数的图像和性质的过程,提高学生的合作意识,感受与领悟数学发现的成功感.
4.通过动手画图,观察不同函数图像的区别和联系,感受这些图像如何互相转化,提高学习数学的兴趣.
5.通过探究二次函数的性质及应用,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
【重点】
用描点法画二次函数的图像;探究二次函数图像的特点和性质;二次函数图像之间的平移;应用二次函数的图像和性质解决有关问题.
【难点】
探究二次函数图像的特点和性质的过程;二次函数图像之间的平移;应用二次函数的图像和性质解决有关问题.
第课时
1.会用描点法画出函数y=ax2的图像,知道二次函数的图像是一条抛物线.
2.能根据二次函数y=ax2的图像理解和掌握二次函数y=ax2的性质.
1.经历探索和发现二次函数y=ax2的图像的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.经历探究二次函数y=ax2的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的解决问题的方式,进一步感悟函数思想.
3.通过函数y=ax2的图像探究函数y=ax2的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
1.通过观察二次函数y=ax2的图像,归纳其性质,培养学生观察、分析、抽象、概括的能力.
2.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
3.在数学学习过程中,感受解决数学问题的成功感,激发学习的乐趣.
【重点】
用描点法画二次函数y=ax2的图像;探索二次函数y=ax2的图像的特点和性质.
【难点】
探究二次函数的图像的特点和性质的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 三个平面直角坐标系、预习教材P29~31.
导入一:
(欣赏图片)
【导入语】 图中的拱桥是什么曲线?投出的篮球在空中划过的路线是什么形状?这些曲线有什么特点?通过本节课的学习,大家一定会解决这些问题.
[设计意图] 以石拱桥的图片导入新课,让学生感受数学与生活息息相关,激发学生学习本节课的兴趣.
导入二:
复习提问:
1.一次函数、反比例函数的图像分别是什么形状?
(一条直线、双曲线.)
2.画函数图像的基本步骤是什么?
(列表、描点、连线.)
3.探究一次函数、反比例函数的性质的基本思路是怎样的?
(先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.)
4.类比探究一次函数、反比例函数性质的思路来研究二次函数的性质,所以我们应该先探究什么内容?
(先画出二次函数的图像.)
[设计意图] 通过复习探究一次函数、反比例函数的基本思路,启发学生用类比的思想探究新知识,降低本节课的学习难度.
[过渡语] 像研究一次函数和反比例函数的性质那样,我们应该先画二次函数的图像,再借助此图像来探究二次函数的性质.
一起探究
思路一
已知二次函数y=x2,我们可按下列步骤画出它的图像.
(课件展示)
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)描点:如图(1)所示,在直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线:如图(2)所示,用平滑曲线顺次连接各点,得到二次函数y=x2的图像.
【师生活动】 教师放课件的同时帮助学生回忆画函数图像时的注意事项,学生观察画y=x2的图像的过程.
思路二
动手操作:
在准备的平面直角坐标系中,画出函数y=x2的图像.
(课件展示)
思考:
(1)自变量x的取值范围是什么?
(2)若选7个点画图,你准备怎样选?
【师生活动】 学生思考回答问题后,独立完成画图,小组内交流答案,教师在巡视过程中及时发现学生画图时出现的错误,并及时帮助学生改正,归纳总结学生画图过程中的常见错误.
(课件展示)
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)描点:在直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线:用平滑曲线顺次连接各点,得到二次函数y=x2的图像.
[设计意图] 通过课件演示或动手操作画函数图像的过程,掌握画二次函数图像时选点的技巧,进一步了解用描点的方法画图像的基本步骤,为后面画其他函数的图像奠定基础.
观察与思考
(课件展示)
观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题:
(1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(2)y=x2的图像有最低点吗?如果有,那么最低点的坐标是什么?
【师生活动】 先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考问题,交流中教师及时帮助有困难的学生.
做一做
1.在如图(1)所示的直角坐标系中,已画出了y=x2的图像,请再画出函数y=-x2的图像.
(1) (2)
2.在如图(2)所示的直角坐标系中,已画出了y=2x2的图像,请再画出函数y=-2x2的图像.
【师生活动】 学生先独立完成,然后小组内交流答案,教师在巡视中及时发现并纠正学生出现的错误,并课件展示画图结果.
[设计意图] 通过独立完成画图,进一步熟悉描点法画函数图像的一般步骤,在同一坐标系下画出两个函数的图像,为探究二次函数y=ax2的性质做好铺垫.
大家谈谈
思路一
思考:
对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,类比探究一次函数、反比例函数的性质的方法,你能得到二次函数的哪些性质?
【师生活动】 学生小组内合作交流,共同归纳有关性质,小组代表展示,教师鼓励学生发表自己的意见,并归纳有关概念和性质.
(课件展示)
二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
二次函数y=ax2的图像和性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的变
化情况
最大(或
最小)值
y=ax2
(a>0)
向上
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0
y=ax2
(a<0)
向下
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0
思路二
对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下问题:
(1)你能描述图像的形状吗?
(2)图像与x轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么?
(3)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系?
(5)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况.
【师生活动】 先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题,交流中教师及时帮助有困难的学生,小组代表展示后,教师归纳有关概念及性质.
(课件展示)
同思路一.
注意
为方便起见,我们把y轴记为直线x=0,把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a;把x轴记为直线y=0,把过点(0,b)且垂直于y轴的直线记为直线y=b.二次函数y=ax2也称为抛物线y=ax2.
[设计意图] 将探究函数的性质设计成开放性探究(思路一)或问题串的形式(思路二),使学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数图像中的应用,培养学生归纳总结能力,提高分析问题的能力.
[知识拓展] 1.画函数图像时,一般情况是选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析.
2.抛物线是向两方无限延伸的.
3.由于二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.
4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a≠0,如抛物线y=(m-1)x2中m≠1.
5.抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当|a|越大时,抛物线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大.
二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,它的性质可以从开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值、增减性等方面进行分类总结(如下表).
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大
(最小)值
y=ax2
(a>0)
向上
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0
y=ax2
(a<0)
向下
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0
1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.都有最高点 D.y随x的增大而增大
解析:y=2x2,y=x2的图像开口向上,对称轴是y轴,有最低点,当x>0时,y随x的增大而增大;y=-2x2的图像开口向下,对称轴是y轴,有最高点,当x<0时,y随x的增大而增大.所以三条抛物线共有的性质是对称轴是y轴.故选B.
2.函数y=-6x2图像的顶点坐标是 ,对称轴是 ,开口向 ,当x= 时,有最 值,是 .?
解析:根据抛物线y=ax2的性质可得顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下,当x=0时,有最大值,是0.
答案:(0,0) y轴 下 0 大 0
3.二次函数y=(m-3)x2的图像开口向下,则m的取值范围是 .?
解析:根据抛物线y=ax2中,当a<0时二次函数的图像开口向下,得m-3<0,即m<3.故填m<3.
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2和y=-2x2的图像,并根据图像说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:先列表:
x
…
-1.5
-1
0
1
1.5
…
y=x2
…
1.125
0.5
0
0.5
1.125
…
y=-2x2
…
-4.5
-2
0
-2
-4.5
…
然后描点、画图,得函数y=x2和y=-2x2的图像,如图所示.
抛物线y=x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);抛物线y=-2x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).
第1课时
一起探究
观察与思考
做一做
大家谈谈
一、教材作业
【必做题】
教材第31页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第31页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各点中,二次函数y=3x2的图像一定经过的是 ( )
A.(1,2) B.(1,1) C.(1,3) D.(1,0)
2.下列说法中错误的是 ( )
A.在函数y=-x2中,当x=0时y有最大值0
B.在函数y=2x2中,当x>0时y随x的增大而增大
C.抛物线y=2x2,y=-x2,y=-x2中,抛物线y=2x2的开口最小,抛物线y=-x2的开口最大
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
3.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图像可能是 ( )
A
B
C
D
4.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图像上,则 ( )
A.y1C.y35.一般地,二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条 ,对称轴是 ,它的顶点坐标是 .开口方向由a的符号决定:当a>0时,开口向 ;当a<0时,开口向 .开口大小是由a的绝对值决定的:a的绝对值越大,抛物线的开口越 ;a的绝对值越小,抛物线的开口越 .?
6.已知二次函数y=(k-1)的图像开口向上,则k= .?
7.函数y=-x2,对于一切x的值,总有函数y 0;当x 时,y有最 值,是 .?
8.二次函数y=(k+1)x2的图像如图所示,则k的取值范围是 .?
(第8题图)
(第9题图)
9.在如图所示的网格内建立恰当的直角坐标系后,画出函数y=2x2和y=-x2的图像,并根据图像回答下列问题(设小方格的边长为1):
(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)抛物线y=2x2,当x 时,抛物线上的点都在x轴的上方,它的顶点是图像的最 点.?
【能力提升】
10.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图像大致是 ( )
A
B
C
D
11.已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m取什么值时,此函数图像的顶点为最低点?
(3)当m取什么值时,此函数图像的顶点为最高点?
12.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
【拓展探究】
13.抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点A(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交点B,C的坐标(B点在C点右侧);
(3)求△OBC的面积.
【答案与解析】
1.C(解析:把各点的坐标分别代入函数表达式,得点(1,3)满足函数表达式.故选C.)
2.C(解析:二次函数y=ax2中,|a|越大,开口越小,所以抛物线y=2x2,y=-x2,y=-x2中,抛物线y=-x2的开口最大,所以C错误.)
3.C(解析:根据一次函数、二次函数的图像和性质可得,选项B和D中a的符号不同,所以B,D错误;直线和抛物线的交点为2个,所以C正确.)
4.C(解析:当a<-1时,有a-1y2>y3.故选C.)
5.抛物线 y轴 (0,0) 上 下 小 大
6.3(解析:由k2-3k+2=2且k-1>0,解得k=3.故填3.)
7.≤ =0 大 0(解析:根据二次函数y=ax2的图像和性质,得抛物线y=-x2的开口向下,所以总有y≤0,当x=0时,y有最大值,是0.)
8.k>-1(解析:观察函数图像,得k+1>0,解得k>-1.)
9.解:图略.(1)根据二次函数的图像和性质可得:抛物线y=2x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标
为(0,0);y=-x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0). (2)≠0 低
10.D(解析:因为ab>0,所以a,b同号,根据一次函数的图像和性质,知D正确.)
11.解:(1)根据二次函数的定义知m2+2m-6=2,且m+2≠0, 解得m=2或m=-4. (2)当m=2时,抛物线的开口向上,有最小值,此时函数图像的顶点为最低点. (3)当m=-4时,抛物线的开口向下,有最大值,此时函数图像的顶点为最高点.
12.解:(1)∵抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),∴4a=-8,解得a=-2.∴这个抛物线的表达式为y=-2x2. (2)当x=-1时,y=-2, ∴点B(-1,-4)不在此抛物线上. (3)当y=-6时,即-2x2=-6,解得x=±.∴抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为(,-6)和(-,-6).
13.解:(1)∵点A是抛物线y=ax2与直线y=2x-3的交点,∴把点A(1,b)的坐标代入y=2x-3,得b=-1,∴点A的坐标为(1,-1).把(1,-1)代入y=ax2,得a=-1.∴a=-1,b=-1. (2)把y=-2代入y=-x2,解得x=±,∴点B,C的坐标分别为(,-2),(-,-2). (3)由(2)得BC=2,△OBC的边BC上的高为2,∴S△OBC=×2×2=2.
本节课的重点是二次函数y=ax2的图像和性质,首先复习用描点法画函数图像,激活学生原有的知识体系,然后通过所画的几个函数图像,让学生从“形”直观观察函数图像,最终从“数”归纳y=ax2的图像和性质.在经历知识产生、形成的过程中,体会类比、数形结合、分类讨论的思想,体验观察、感受、讨论、探究、总结的学习方法,实现学生自己动手、主动探索、合作交流的学习方式,提升自己观察问题、分析问题、解决问题的能力.在课堂上学生思维活跃,发言积极,真正成为课堂的主人.
本节课的重点是学生经历观察、操作、再观察、归纳等数学活动,归纳总结二次函数y=ax2的性质. 观察函数图像讨论性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图像之间的比较,表达式之间的比较,建立函数图像和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解.在本节课的小组活动中,给学生交流的时间较短,教师放不开手脚,总想替学生说出答案.
本节课探究二次函数y=ax2的图像和性质,让学生先画函数y=x2的图像,再观察图像的基本特征,加深对二次函数图像的认识,然后让学生用描点的方法画出其他二次函数的图像.学生通过动手操作、观察、分析、交流、总结出y=ax2 的性质,使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的产生、形成过程,逐步达到培养学生的抽象概括能力和激发求知欲望,同时体会类比、数形结合及分类讨论的思想.
练习(教材第31页)
1.解:二次函数y=-9x2的图像开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),最高点为(0,0).
2.解:抛物线y=-x2的开口向下,对称轴为y
轴,顶点坐标为(0,0).其图像如图所示.
习题(教材第31页)
A组
1.解:如下表所示:
表达式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=6x2
向上
直线x=0
(0,0)
y=-4x2
向下
直线x=0
(0,0)
y=x2
向上
直线x=0
(0,0)
y=-x2
向下
直线x=0
(0,0)
2.解:如下表所示:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的变化情况
y=3x2
向上
直线
x=0
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
y=-3x2
向下
直线
x=0
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
图像如图所示.
B组
1.解:两条抛物线的开口都向上,抛物线y=x2的开口大于抛物线y=2x2的开口;两个函数中,y随x变化而变化的情况相同,但函数y=x2的变化速度小于函数y=2x2的变化速度.
2.解:因为点M(2,5)在第一象限,所以该抛物线的开口向上,因为点M(2,5)在抛物线上,所以5=a·22,解得a=.
重视过程教学,注重数学思想的渗透
y=ax2(a≠0)是二次函数中最简单的函数表达式,它是探索二次函数一般式的基础,为下一个课时做准备.本节课经历观察、操作、分析、交流、归纳等数学活动,探究二次函数的图像和性质,感受从特殊到一般的数学探究方法,体会数形结合思想、分类思想在数学探究活动中的应用,进一步感悟函数思想,让学生在教学活动中亲身经历知识的形成过程,逐步达到培养学生的抽象概括能力和激发求知欲望,让学生在轻松愉悦中突破难点,强化重点.
本节课在教学设计上要注重让学生动手、动脑,学生先观察图像,感受二次函数图像的基本特征,然后尝试画出函数图像,在经历中逐步完善描点法画函数图像的步骤,为探究二次函数一般式的图像做好铺垫.教师通过引导学生观察所画出的不同的函数图像,以小组合作交流的方式,给学生足够的时间和空间思考、交流,鼓励学生用自己的语言描述观察到的函数图像的性质,增强学生在活动过程中的参与意识,提高表达能力,最大限度地突出学生的主体地位,使数学教学成为一种“过程”教学,让学生在“数学活动”中获得数学的“思想、方法”,同时培养对数学的情感.
如图(1)所示,有一城门洞呈抛物线形,拱高4 m(最高点到地面的距离),把它放在平面直角坐标系中,其表达式为y=-x2.
(1)求城门洞最宽处AB的长度;
(2)现在有一辆高2.6 m,宽2.2 m的小型货车,则它能否安全通过此城门?
(1)
(2)
解:(1)∵点O到AB的距离为4 m,
∴A,B两点的纵坐标都为-4.
∴-4=-x2,解得x=±2.
∴A(-2,-4),B(2,-4).
∴AB=4.
即城门洞最宽处AB的长为4 m.
(2)如图(2)所示,当小型货车行驶到城门洞正中时,用矩形CDEF表示小型货车的横截面,则E,F到AB的距离均为2.6 m,F点的横坐标为1.1,设CF的延长线交抛物线于G, G点的横坐标为1.1,纵坐标为-1.12=-1.21,G到AB的距离为4-|-1.21|=2.79>2.6,所以小型货车能安全通过此城门.
第课时
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像,了解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质.
2.了解抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同抛物线y=ax2的位置关系.
3.建立二次函数表达式与图像之间的关系.
1.通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法,经历二次函数性质的探究过程,渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法.
2.经历探究抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的图像的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.
3.通过函数图像探究函数的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题的方法与合作交流的经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过学生的合作交流探究二次函数图像和性质的过程,提高学生的合作交流能力.
3.通过动手画图,观察不同函数图像的区别和联系,感受这些图像间可以互相转化,提高学习数学的兴趣.
【重点】
二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像与性质、二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的位置关系.
【难点】
理解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像与二次函数y=ax2的图像之间的平移关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P32~34.
导入一:
(课件展示)
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处与池中心的水平距离为3 m,水管应多长?
【导入语】 要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将能解决这类和实际问题有关的抛物线形问题.
[设计意图] 通过实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生的学习兴趣.
导入二:
复习提问:
1.二次函数y=ax2的图像与性质是什么?
2.抛物线y=-x2的开口向 ,顶点坐标为 ?,顶点是抛物线的最 ?点,当x= 时,函数有最 值.?
3.抛物线y=x2的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,当x=-2时,y= ,当y=3时,x= ,当x<0时,y随x的增大而 ,当x>0时,y随x的增大而 .?
4.探究二次函数y=ax2的图像和性质的基本思路是什么?
【师生活动】 学生思考回答问题,教师点评.
[设计意图] 通过复习上节课知识,为用类比法探究新知识做好铺垫.
[过渡语] 上节课我们通过画形如y=ax2的函数图像,观察、归纳出形如y=ax2的函数的性质,这节课我们用同样的方法探究形如y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的二次函数的图像和性质.
观察与思考
(课件展示)
小颖在同一个直角坐标系中,对二次函数y=x2,y=(x-3)2和y=(x+2)2采用如下列表、描点、连线的方式,画出了它们的图像.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
0
1
2
3
4
5
6
…
y=
(x-3)2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
…
y=
(x+2)2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
思考:
1.将下表补充完整:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
y=(x-3)2
y=(x+2)2
【师生活动】 学生观察图像填写表格,教师对学生的回答点评.
2.从形状上看,二次函数y=(x-3)2,y=(x+2)2的图像与二次函数y=x2的图像的形状和位置有什么关系?
(形状相同,位置不同.)
3.y=(x-3)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
(沿x轴向右平移3个单位长度得到.)
4.y=(x+2)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
(沿x轴向左平移2个单位长度得到.)
5.以上三个函数写成y=a(x-h)2的形式,你能类比函数y=ax2的性质归纳这类函数的性质吗?
6.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
【师生活动】 学生先思考,然后小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示成果,学生之间互相补充,教师点评,师生共同归纳二次函数y=a(x-h)2的性质及由y=ax2的图像作怎样的平移得到.
(课件展示)
1.一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的变
化情况
最值
y=a(x-h)2
(a>0)
向上
x=h
(h,0)
当xh时,y随x的增大而增大
有最低点(h,0).当x=h时,y最小=0
y=a(x-h)2
(a<0)
向下
x=h
(h,0)
当xh时,y随x的增大而减小
有最高点(h,0).当x=h时,y最大=0
2.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.
[设计意图] 通过观察、思考,用类比的方法得到函数y=a(x-h)2 的性质,降低了学习新知识的难度,学生从中体验了成功的快乐,激发了学生学习数学的兴趣,并且培养了学生的归纳总结能力.
做一做
由函数y=-2x2的图像,分别经过怎样的平移可以得到下列函数的图像?
(1)y=-2(x+1)2;(2)y=-2(x-4)2;(3)y=-2.
【师生活动】 学生思考后,回答问题,教师点评.
一起探究
[过渡语] 我们通过画函数图像,探究了函数y=ax2与y=a(x-h)2的性质,让我们用同样的方法一起探究函数y=a(x-h)2+k的图像和性质.
(课件展示)
在如图所示的直角坐标系中,已经画出了二次函数y=(x-3)2的图像.
思路一
动手操作:
(1)请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像.
(2)请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标.
(3)类比前边探究函数图像的方法,函数y=a(x-h)2+k有哪些性质?
(4)试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到?
(5)归纳函数y=a(x-h)2+k的图像可以由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到?
【师生活动】 学生独立完成画图,思考问题后,给出足够的小组内交流时间,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示作出点评,课件展示师生共同归纳的结论.
思路二
动手操作:
(课件展示)
1.请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师课件展示正确答案.
(课件展示)
2.试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表发言,教师点评.
3.请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标.
【师生活动】 学生观察图像后抢答,教师点评.
(课件展示)
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=a(x-h)2
+k(a>0)
向上
x=h
(h,k)
当xh时,y随x的增大而增大
有最低点(h,k).当x=h时,y最小=k
y=a(x-h)2
+k(a<0)
向下
x=h
(h,k)
当xh时,y随x的增大而减小
有最低点(h,k).当x=h时,y最大=k
2.二次函数y=a(x-h)2+k的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.当k>0时,向上平移k个单位长度;当k<0时,向下平移|k|个单位长度.
大家谈谈
(课件展示)
(1)请说出将二次函数y=-2x2的图像,分别经过怎样的平移,可以得到函数y=-2(x-4)2+6和y=-2-4的图像.
(2)指出函数y=-2(x-4)2+6和y=-2-4的图像的对称轴与顶点坐标,并说明是如何确定的.
【师生活动】 学生根据归纳总结的结论抢答,对学生的回答,师进行点评.
归纳结论:
(课件展示)
1.归纳函数y=a(x-h)2+k的图像是由函数y=x2的图像怎样平移得到的?
2.完成下列表格:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=a(x-
h)2+k
(a>0)
y=a(x-
h)2+k
(a<0)
【师生活动】 学生独立思考后,给出足够的时间小组内合作交流,教师帮助有困难的学生,小组代表展示结果,教师点评,师生共同归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图像可以由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到.
[设计意图] 通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结等数学活动,让学生经历由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想、类比思想在数学中的应用,提高学生的合作意识及分析问题和解决问题的能力,培养了学生的数学思维和归纳总结能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第34页例1)(1)求函数y=-(x+5)2-2的最大(或最小)值.
(2)先将函数y=-x2的图像向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,请写出平移后得到的图像的函数表达式.
【师生活动】 学生独立思考问题后回答,教师进行点评,强调如何应用归纳的结论解决问题.
(课件展示)
解:(1)由-<0,知该函数有最大值.
当x=-5时,函数取得最大值,y最大=-2.
(2)平移后得到的图像的函数表达式为y=-(x+2)2-3.
[设计意图] 通过例题,进一步巩固函数y=a(x-h)2+k的图像是由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到的,提高学生的应用意识.
[知识拓展] 1.二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图像和性质综合列表如下:
函数表
达式
a的
符号
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
增减性
最值
y=a(x
-h)2
a>0
向上
x=h
(h,0)
当x>h时,y随x的增大而增大;当x当x=h时,y最小值=0
a<0
向下
x=h
(h,0)
当x>h时,y随x的增大而减小;当x当x=h时,y最大值=0
y=a(x
-h)2+k
a>0
向上
x=h
(h,k)
当x>h时,y随x的增大而增大;当x当x=h时,y最小值=k
a<0
向下
x=h
(h,k)
当x>h时,y随x的增大而减小;当x当x=h时,y最大值=k
2.二次函数y=a(x-h)2+k的形式叫做二次函数的顶点式,其图像的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.
3.把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2+k的图像,一般依据“左加右减、上加下减”的原则.
1.二次函数y=a(x-h)2的性质:
a决定函数图像的开口方向、顶点坐标为(h,0)、对称轴为直线x=h.
(1)a>0,当x>h时,y随x的增大而增大;当x(2)a<0,当x>h时,y随x的增大而减小;当x2.二次函数y=a(x-h)2与二次函数y=ax2的图像之间的关系:
把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2的图像.
3.二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
a决定函数图像的开口方向、顶点坐标为(h,k)、对称轴为直线x=h.
(1)a>0,当x>h时,y随x的增大而增大;当x(2)a<0,当x>h时,y随x的增大而减小;当x4.二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图像之间的关系.
把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2+k的图像,一般依据“左加右减、上加下减”的原则.
5.数学思想与方法:从特殊到一般、数形结合、类比.
1.对于二次函数y=(x-2)2+3的图像,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(2,3) D.与x轴有两个交点
解析:二次函数的图像开口向上,所以A错误;对称轴为直线x=2,所以B错误;顶点坐标为(2,3),所以C正确;根据函数图像可得,抛物线与x轴没有交点,所以D错误.故选C.
2.将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图像的函数表达式是 ( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2
解析:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),将该点向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得点的坐标为(1,2),所以所得图像的函数表达式为y=(x-1)2+2.故选A.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数表达式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的
是 ( )
A.h>0,k>0
B.h<0,k>0
C.h<0,k<0
D.h>0,k<0
解析:抛物线y=-2(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),观察图像得顶点在第一象限,所以h>0,k>0.故选A.
4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 ,对称轴是 .?
解析:∵a=-3<0,∴抛物线的开口向下.∵抛物线y=a(x-h)2的对称轴是x=h,∴对称轴是直线x=2.
答案:下 x=2
5.抛物线y=-3x2向左平移3个单位长度后的表达式为 ,它们的形状 ,当x= 时,y有最 值,是 .?
解析:根据平移的规律可得平移后抛物线的解析为y=-3(x+3)2,平移前后的图像形状相同,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,0),所以当x=-3时,y有最大值,是0.
答案:y=-3(x+3)2 相同 -3 大 0
第2课时
观察与思考
做一做
一起探究
大家谈谈
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第35页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第35页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=3(x-1)2不经过的象限是 ( )
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第二、三象限
2.抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是 ( )
A.y轴 B.直线x=-1
C.直线x=1 D.直线x=-3
3.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是 ( )
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(2,-1) D.(-2,-1)
4.在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x2的图像向上平移2个单位长度,所得图像的函数表达式为 ( )
A.y=2x2+2 B.y=2x2-2
C.y=2(x+2)2 D.y=2(x-2)2
5.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6.已知二次函数y=3(x-1)2+k的图像上有三点A,B(2,y2),C(-1,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
7.写出顶点坐标是(5,0),形状、开口方向与y=-2x2的图像都相同的函数表达式 .?
8.函数y=-2 (x+1)2-1的图像开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是直线 ,当x= 时,有最 值,是 .?
9.已知二次函数的图像的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求此二次函数的表达式.
10.如图所示,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求梯形COBD的面积.
【能力提升】
11.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图像的顶点都在 ( )
A.直线y=x上 B.直线y=-x上
C.x轴上 D.y轴上
12.二次函数y=a(x+m)2+n的图像的顶点在第四象限,则一次函数y=mx+n的图像经过第 象限.?
13.抛物线y=-x2+2与x轴交于A,B两点,其中点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上.
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标;
(2)在抛物线上是否存在一点M,使得△MAC≌△OAC,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【拓展探究】
14.如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h=2.6时,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
【答案与解析】
1.C(解析:抛物线y=3(x-1)2的顶点坐标为(1,0),开口向上,可知函数图像不经过第三、四象限.故选C.)
2.C(解析:抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是x=h,所以抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1.故选C.)
3.B(解析:因为抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),所以抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是(-2,1).故选B.)
4.A(解析:将二次函数y=2x2的图像向上平移2个单位长度,所得图像的函数表达式为y=2x2+2.)
5.A(解析:函数y=(x-1)2+2的图像的顶点坐标为(1,2),又a=1>0,所以当x=1时,y有最小值,是2.故选A.)
6.D(解析:函数y=3(x-1)2+k的图像的对称轴是直线x=1,点B(2,y2)关于直线x=1的对称点的坐标为(0,y2),在对称轴左侧y随x的增大而减小,因为-1<0<,所以y3>y2>y1.故选D.)
7.y=-2(x-5)2(解析:由形状、开口方向与y=-2x2的图像相同,知a=-2,所以满足题意的二次函数的表达式为y=-2(x-5)2.)
8.下 (-1,-1) x=-1 -1 大 -1(解析:因为a=-2<0,所以函数图像的开口向下,顶点坐标是(-1,-1),对称轴是直线x=-1,当x=-1时,y有最大值,是-1.)
9.解:∵二次函数的图像的顶点坐标为(-2,-3),∴设此二次函数的表达式为y=a(x+2)2-3.又∵图像过点(-3,-2),∴a(-3+2)2-3=-2,∴a=1,∴此二次函数的表达式为y=-(x+2)2-3.
10.解:(1)由抛物线y=a(x-1)2+4过点A(-1,0),得0=4a+4,解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4. (2)在y=-(x-1)2+4中,令x=0,得y=3,即OC=3.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴CD=1.∵A(-1,0),∴B(3,0),即OB=3,∴=(1+3)×3=6.
11.B(解析:函数y=a(x+k)2+k图像的顶点坐标为(-k,k),该顶点在直线y=-x上.)
12.二、三、四(解析:函数y=a(x+m)2+n的图像的顶点坐标为(-m,n),因为该点在第四象限,所以-m>0,n<0,即m<0,n<0,所以直线y=mx+n的图像经过第二、三、四象限.)
13.解:(1)抛物线y=-x2+2的对称轴是y轴,顶点C的坐标是(0,2). (2)不存在.理由如下:令y=0,得-x2+2=0,解得x=±2,所以A,B两点的坐标分别为A(2,0),B(-2,0),所以△OAC是等腰直角三角形.假设存在一点M,使△MAC≌△OAC.∵AC为公共边,OA=OC,∴点M与点O关于直线AC对称.∴四边形OAMC是正方形,∴M点的坐标为(2,2).当x=2时,y=-×22+2=0≠2,∴点M(2,2)不在此抛物线上,即不存在点M,使得△MAC≌△OAC.
14.解:(1)把x=0,y=2,h=2.6代入到y=a(x-
6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6, ∴a=-.∴y=- (x-6)2+2.6. (2)当h=2.6时,y=- (x-6)2+2.6.当x=9时,y=- (9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网.当x=18时,y=- (18-6)2+2.6=0.2>0,∴球会过界. (3)把x=0,y=2代入到y=a(x-6)2+h,得a=.当x=9时,y= (9-6)2+h=>2.43.① 当x=18时,y= (18-6)2+h=8-3h≤0.② 由①②,得h≥.
本节课通过复习二次函数y=ax2的图像和性质及探究方法和思路,为类比学习新知识做好铺垫.在探究活动中,类比上节课的探究思路和方法,通过观察画出的函数图像,小组合作交流共同探究出函数y=a(x-h)2的性质及图像之间的平移规律,师生共同归纳总结后,通过做一做进一步巩固函数y=ax2与y=a(x-h)2的图像的平移规律.师生共同填写表格,让学生亲身经历由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又让学生体验学习中的快乐.
本节课的内容是探究二次函数 y=ax2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,本课时内容多,教学设计中学生通过观察、思考、讨论、归纳等数学活动得到二次函数的性质,学生经历知识的形成过程需要时间较长.同时二次函数图像之间的平移,由于涉及左右、上下平移,学生容易混淆,这部分需要给学生更多的思考、交流时间,所以再教过程中,将本课时的学习分为两个课时进行探究,同时在课堂上加强练习,从而达到巩固本课时的重难点.
本课时是学习两类函数y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,再教设计时应分为两个课时分别探究.在教学设计中,通过学生动手操作,在同一坐标系下画同一类函数的图像,然后根据所画的函数图像,通过小组内合作交流、共同探究,得出二次函数的性质.可以将画函数图像的环节设计到课前预习,把探究二次函数的性质及图像之间的平移规律作为课堂教学的重点,给学生足够的时间进行交流,体验由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.
练习(教材第34页)
解:y=-(x-2)2+,开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为.当x<2时,y随x的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小,y最大=;y=(x+3)2-3,开口向上,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-3).当x<-3时,y随x的增大而减小,当x>-3时,y随x的增大而增大,y最小=-3;y=-(x+1)2+5,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,5),当x<-1时,y随x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,y最大=5.
习题(教材第35页)
A组
1.解:同意小明或小惠的说法.因为函数y=2x2的图像的顶点坐标是(0,0),函数y=2(x-6)2+7的图像的顶点坐标是(6,7),根据函数图像的顶点的平移情况,可以得到函数图像的平移情况,所以小明的说法正确;又因为小惠的平移方法与小明的平移方法只是顺序不同,所以小惠的说法也正确.
2.解:(1)y=0.6x2,开口向上,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最小=0.y=0.6(x-2)2,开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0),y最小=0.y=0.6(x-2)2+4,开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,4),y最小=4. (2)y=-x2,开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最大=0.y=-(x+4)2,开口向下,对称轴是直线x=-4,顶点坐标是(-4,0),y最大=0.y=-(x+4)2-4,开口向下,对称轴是直线x=-4,顶点坐标是(-4,-4),y最大=-4. (3)y=-6x2,开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最大=0.y=-6,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是,y最大=0.y=-6+8,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是,y最大=8.
B组
1.解:新图像的函数表达式为y=-8(x+3)2-2.
2.解:(1)把函数y=3x2的图像绕原点旋转180°(或沿x轴翻折),则得到函数y=-3x2的图像. (2)把函数y=3(x+2)2的图像向右平移4个单位长度,则得到函数y=3(x-2)2的图像. (3)把函数y=-2(x+1)2+2的图像向下平移4个单位长度,则得到函数y=-2(x+1)2-2的图像. (4)把函数y=(x-2)2+1的图像先向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,则得到函数y=(x+2)2-1的图像.
重视教学活动,突出学生主体地位
1.二次函数的图像与性质在教材中起着承上启下的作用,本节课的重点是探究二次函数y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,是上节课学习的y=ax2的图像和性质的延续,也是下节课学习二次函数一般式的图像和性质的基础.类比上节课学习的方法,让学生经历操作、观察、交流、归纳等数学活动,在探究活动中去经历、体验、内化知识,通过充分的探究过程,学生借助直观图像的性质而得到二次函数的性质,类比思想和数形结合思想的应用降低了本节课学习的难度.在教学设计中,通过各个教学活动,给学生更大的探究空间,更多的时间思考和交流,在课堂上让学生亲身经历知识的形成过程,突出学生的主体地位.
2.本节课的难点是函数图像的平移,学生在教师的引导下,通过合作交流共同归纳出结论.数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的,其实学生也是课程资源的开发者,教师要使学生在课堂学习中占主体地位,把激发学生学习热情和获得学习方法放在教学首位,为学生提供展示自己聪明才智的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.
(2015·新疆中考)抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(-1,-2)
C.(1,-2) D.(1,2)
解析:因为抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),所以抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是(1,2).故选D.
(2015·攀枝花中考)将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为 ( )
A.y=-2(x+1)2
B.y=-2(x+1)2+2
C.y=-2(x-1)2+2
D.y=-2(x-1)2+1
解析:根据图像平移规律“左加右减、上加下减”的原则,将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为y=-2(x-1)2+1+1=-2(x-1)2+2.故选C.
(2015·泰安中考)在同一坐标系下,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图像可能是 ( )
A
B
C
D
解析:A中由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,n2<0,所以A错误;B中由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,-m>0,所以B错误;C中由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,-m<0,所以C错误;D中由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,-m>0,所以D正确.故选D.
(2015·河南中考)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图像上,则y1,y2,y3的大小关系是 .?
解析:将A,B,C三点的坐标代入函数表达式中可得,y1=3,y2=5-4,y3=15,所以y3>y1>y2.故填y3>y1>y2.
第课时
1.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.会用描点法画函数y=ax2+bx+c的图像,并能应用函数的图像和性质解决有关问题.
3.能用顶点式求二次函数的表达式.
1.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
2.让学生经历从特殊到一般的探索过程,体会数形结合思想、分类讨论思想,学会合情推理.
3.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.通过探究函数性质,培养学生的探索精神,增强自主学习的信心,享受成功的快乐.
2.通过小组讨论,合作交流,共同归纳结论,培养学生合作意识和团队精神,同时培养学生的数学思维能力.
3.通过探究二次函数的性质及应用,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
【重点】
探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质的过程;确定二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标、对称轴,并画出函数图像;运用顶点式求函数表达式.
【难点】
用配方法推导二次函数的顶点式;运用二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质解决有关问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P35~37.
导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛物线y=a(x-h)2+k的性质:
(1)当a>0时,开口向 ;当a<0时,开口向 ;?
(2)对称轴是直线 ;?
(3)顶点坐标是 ;?
(4)若a>0,当x=h时,有最小值,最小值是 ;若a<0,当x=h时,有最大值,最大值是 ;?
(5)若a>0,当xh时,y随x的增大而 ;若a<0,当xh时,y随x的增大而 .?
2.函数y=-2 (x+1)2-1的图像开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是直线 ,当x= 时,有最 值,是 .?
3.函数y=ax2的图像怎样平移得到函数y=(x-h)2+k的图像?
【师生活动】 教师课件展示问题,学生思考回答,教师进行点评.
导入二:
复习提问:
1.完全平方公式是什么?
2.如何用待定系数法求函数的表达式?
3.将下列代数式配成完全平方式:
(1)x2+2x+ =(x )2;?
(2)x2-x+ =(x )2;?
(3)2x2-4x+ =( )2.?
【师生活动】 学生思考后回答,师生共同回忆配成完全平方式的方法,对(3)产生的错误,学生讨论自纠,教师点评.
导入三:
在一场足球比赛中,一名球员从球门正前方10米处起脚射门,当球飞行的水平距离为6米时达到最高点,此时球距地面的高度为3米.
(1)如图所示,建立直角坐标系,当球飞行的路线为抛物线时,求此抛物线的表达式;
(2)已知球门高为2.44米,则此球能否射中球门(不计其他情况).
[设计意图] 通过对配方法及函数y=a(x-h)2+k的图像与性质的复习,让学生巩固旧知识的同时,为本节课研究二次函数一般式的图像和性质做好铺垫.
[过渡语] 通过复习我们知道了二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图像和性质,每个二次函数y=ax2+bx+c都可以通过配方化成顶点式,让我们一起探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质吧.
共同探究
思路一
【思考1】
(1)你能说出函数y=(x-1)2-2的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?
(2)函数y=(x-1)2-2的图像与函数y=x2的图像有什么关系?
(3)你能将二次函数y=x2-2x-1化成顶点式吗?
(4)不画二次函数的图像,你能直接说出函数y=x2-2x-1的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,教师在巡视过程中对问题(3)有困难的学生给予帮助,小组代表展示,教师点评.
【思考2】
(1)对于二次函数y=2x2-4x+6,你能化成顶点式吗?
(2)用同样的方法,将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表板书,学生观察板书中是否存在错误,教师强调易错点并点评.
(板书)
y=ax2+bx+c
=a+c
=a-a·+c
=a+
其中,h=-,k=.
思路二
教师引导思考:
(1)如何把一个二次三项式配方?
(当二次项系数是1时,加上一次项系数一半的平方,再减去这个一次项系数一半的平方;当二次项系数不为1时,先提二次项系数,再进行配方.)
(2)你能将函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方化成y=a(x-h)2+k的形式吗?
【师生活动】 学生独立完成后小组合作交流,在互相纠错的过程中完成对二次函数一般式的变形,小组代表板书,教师点评归纳并强调易错点.
(板书)
同思路一.
[设计意图] 师生共同经历由特殊到一般的探究过程,让学生通过配方将二次函数的一般式化成顶点式,让学生体会转化思想在数学中的应用.通过小组合作交流,培养学生之间的合作精神,并提高学生分析问题的能力.
做一做
【思考1】
你能说出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标和最值吗?
【师生活动】 学生小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示成果,教师点评.
(课件展示)
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线,它的对称轴是x=-.
若a>0 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是.
当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大;当x=-时,y取得最小值,且y最小=;
若a<0 ,则抛物线开口向下,顶点坐标是.
当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小;当x=-时,y取得最大值,且y最大=.
【思考2】
填写下列表格:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=ax2
+bx+c
(a>0)
y=ax2
+bx+c
(a<0)
【师生活动】 学生独立完成,教师课件展示结果.
为方便起见,我们把二次函数y=ax2+bx+c也称为抛物线y=ax2+bx+c.
[设计意图] 通过动手操作、合作交流、归纳二次函数y=ax2+bx+c的性质,加深利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式的理解,培养学生的归纳总结能力,提升学生数学思维.
例题讲解
(课件展示)
(教材第37页例2)求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像.
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,学生板书解答过程,教师点评,鼓励学生用不同的方法求解.
(板书)
解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2.
∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2).
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y=x2+2x-1
…
2
-1
-2
-1
2
…
(2)在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图所示.
(教材第37页例3)根据下列条件,确定抛物线的表达式.
(1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5).
(2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6).
教师引导:
(1)抛物线y=-2x2+px+q配方化成顶点式为 ,根据顶点坐标为(-3,5)可列方程 ,解得p= ,q= ,代入表达式可得 .?
(2)由点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式可得 ,解得a= ,b= ,代入表达式可得 .?
【师生活动】 学生在教师的引导下分析回答,然后独立完成解答过程,学生板书,教师点评.
(板书)
解:(1)∵y=-2x2+px+q=-2+,
∴=-3,=5,
∴p=-12,q=-13.
故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
(2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式,即
解得
故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
[设计意图] 通过例题,既复习描点法画函数图像,又进一步巩固二次函数y=ax2+bx+c的性质及用待定系数法求函数的表达式,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.由于抛物线是轴对称图形,且对称轴经过抛物线的顶点,所以抛物线上对称点连线的垂直平分线是对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
2.在求一般形式的二次函数的图像的对称轴及顶点坐标时,通常有两种方法:一是先将其配方,化y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式,;二是直接利用公式求顶点坐标.
3.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点,特别是在画抛物线的草图时,应注意以下五点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
4.平移法,其步骤如下:
(1)利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点坐标为(h,k);
(2)画出函数y=ax2的图像;
(3)将函数y=ax2的图像平移,使其顶点平移到(h,k)的位置.
1.利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式:
二次函数y=ax2+bx+c配方,得y=a+.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法:配方法找到对称轴后对称取点,描点,连线.
3.二次函数y=ax2+bx+c的性质:
表达式
y=ax2+bx+c
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a<0)
开口方向
向上
向下
对称轴
x=-
x=-
顶点坐标
y随x的变
化情况
当x>-时,y随x的增大而增大;当x<-时,y随x的增大而减小
当x>-时,y随x的增大而减小;当x<-时,y随x的增大而增大
最值
当x=-时, y最小值=
当x=-时,y最大值=
4.待定系数法求函数的表达式.
1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 ( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2
解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.故选D.
2.抛物线y=-x2+4x-4 的最值是 ( )
A.当x=-2时,y有最大值0
B.当x=2时,y有最大值0
C.当x=-2时,y有最小值0
D.当x=2时,y有最小值0
解析:因为y=-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2,所以顶点坐标为(2,0),又a=-1<0,所以当x=2时,y有最大值0.故选B.
3.函数y=-x2-4x-3的图像的顶点坐标是 .?
解析:因为y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4-4)-3=-(x+2)2+1,所以顶点坐标为(-2,1).故填(-2,1).
4.二次函数y=x2+bx+3的图像的对称轴是x=2,则 b= .?
解析:由二次函数的图像的对称轴是x=-=-=2,解得b=-4.故填-4.
5.已知二次函数y=-x2+x+4.
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
解:∵(1)y=-x2+x+4=-(x-1)2+,
∴抛物线的开口向下,顶点坐标为,对称轴是x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小.
第3课时
共同探究
做一做
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第38页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第38页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为 ( )
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4) D.(-3,4)
2.抛物线y=3x2-5x-12的对称轴是 ( )
A.直线x= B.直线x=-
C.直线y= D.直线x=
3.(2016·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c0,其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2016·甘肃中考)点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y2>y2>y1 B.y3>y1=y2
C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3
5.(2016·甘肃中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,对称轴是直线 x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac2.其中正确的结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a(x-h)2+k的形式是 .?
7.把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线y=x2-2x-2,那么a= ,b= ,c= .?
8.把下列二次函数的表达式通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其图像的顶点坐标与对称轴.
(1)y=x2+6x+10;
(2)y=-2x2-5x+7.
【能力提升】
9.抛物线y=x2-(b-2)x+3b的顶点在y轴上,则b的值为 .?
10.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减小;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值是 .?
11.如图所示,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于A,B两点,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;
(2)请你设计一种平移方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.
【拓展探究】
12.如图所示,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上的A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的表达式,并指出平移了多少个单位长度?
【答案与解析】
1.A(解析:因为y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以顶点坐标为(3,-4).故选A.)
2.A(解析:抛物线的对称轴为x=-=-=.故选A.)
3.C(解析:抛物线开口向下,所以a<0,又因为对称轴x=->0,所以b>0,故①错误;抛物线与y轴交于正半轴上,所以c>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c<0,所以a+c0,故④正确.故选C.)
4.D(解析:二次函数图像的对称轴为x=1,当x>1时,y随x的增大而减小,所以y2>y3,由抛物线的对称性可得,P1与P2关于x=1对称,所以y1= y2,故选D.)
5.C(解析:由题意得a<0,b<0,c>0,故①正确;抛物线与 x 轴有两个交点,故②正确;由对称轴为x=-1化简得 2a-b=0,故③错误;由图像知当x=-1时所对应的y值>2,故④正确.故选C.)
6.y=2-(解析:-=-,=-,所以抛物线的顶点坐标为,所以y=2-.)
7.1 2 3(解析:y=x2-2x-2=(x-1)2-3,顶点坐标为(1,-3),该点先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度得点的坐标为(-1,2),所以原抛物线为y=(x+1)2+2,即y=x2+2x+3,所以a=1,b=2,c=3.)
8.解:(1)y=(x+3)2+1,顶点坐标为(-3,1),对称轴是直线x=-3. (2)y=-2+,顶点坐标为,对称轴是直线x=-.
9.2(解析:∵顶点在y轴上,∴=0,∴b=2.)
10.25(解析:由函数的增减性知抛物线的对称轴为直线x=-2.又x=-=-=-2,解得m=-16,所以二次函数的表达式为y=4x2+16x+5,故当x=1时,y=25.)
11.解:(1)由C(5,4)满足y=ax2-5ax+4a的表达式,得a=1.∴y=x2-5x+4=-.∴顶点P的坐标为. (2)(答案不唯一)如将抛物线先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线的表达式为y=x2+x+2.
12.解:(1)过C点作x轴的垂线,垂足为E,如图所示,由抛物线的对称性可知AE=BE.在Rt△AOD和Rt△BEC中,∴Rt△AOD≌Rt△BEC.∴OA=EB=EA.设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,m2+()2=(2m)2,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,). (2)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+,由A点坐标满足抛物线的表达式可得a=-.∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+. (3)设抛物线的表达式为y=-(x-2)2+k,由抛物线经过D(0,),可得k=5.所以平移后抛物线的表达式为y=-(x-2)2+5.平移了(5-=4)个单位长度.
本节课通过对配方法及函数y=a(x-h)2+k的图像与性质的复习,让学生巩固旧知识的同时,为本节课研究二次函数一般式的图像和性质做好铺垫.教师引导学生思考如何将二次三项式配方,然后让学生通过动手操作、小组合作交流等活动,共同将二次函数的一般式化成顶点式,从而师生共同归纳总结出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质.通过例题讲解,让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的方法,并能够画出函数图像,同时进一步掌握利用待定系数法求函数表达式.在教学设计中注重培养学生的数形结合思想、转化思想、类比思想等,在整个探究过程中,学生发挥着主体作用,教师只是引导者的角色,学生思维活跃,参与意识强,课堂教学效果较好.
本节课重点是用配方法将二次函数的一般式化成顶点式,并由此确定二次函数的图像和性质.在探究用配方法将二次函数的一般式化成顶点式的过程中,学生对配方法的理解有一定难度,给学生交流的时间短,可以设计几个练习进行针对性训练.同时在探究二次函数的性质及例题讲解中,教师没有放开手脚,给学生思考、交流的时间短.在以后的教学中,注重数学思想的渗透,让学生多参与活动,真正成为课堂的主人.
本节课通过复习对二次三项式的配方,为探究将二次函数的一般式化成顶点式做好铺垫,在教学中要设计针对性练习,让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的基本方法.探究二次函数y=ax2+bx+c的有关性质时,要给学生足够的时间进行思考、交流,体会数形结合思想的应用.例题讲解的设计以学生活动为主,教师点评精讲,对题型的解题思路进行归纳总结,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生学习数学的兴趣.
练习(教材第37页)
1.解:(1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2),开口向上. (2)对称轴为直线x=-,顶点坐标为,开口向下.
2.解:函数图像如图所示.当x=-2时,y=14;当x=-1时,y=7.所以x=-2的对应的函数值较大.
习题(教材第38页)
A组
1.解:(1)∵y=x2-2x+8=(x-1)2+7,∴抛物线y=x2-2x+8的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,7),开口向上. (2)对于y=-5x2+3x-2,∵x=-=,y==-,∴抛物线y=-5x2+3x-2的对称轴为直线x=,顶点坐标为,开口向下.
2.解:(1)直线x=1 (1,3) (2)画出的函数图像如图所示. (3)y13.解:(1)y=-2x2-5x+9=-2+,当x=-时,函数有最大值. (2)y=2x2+3x=2-,当x=-时,函数有最小值-. (3)y=x2-4x+1=-,当x=时,函数有最小值-. (4)y=-x2+x-2=-(x-3)2+,当x=3时,函数有最大值.
B组
1.解:(1)y=(x-2)2+3=x2-4x+7. (2)由点A(-1,0),B(2,-9)满足y=ax2-2x+c的表达式,解得a=-1,c=-1,∴y=-x2-2x-1.
2.解:因为y=x2-2px+16=(x-p)2-p2+16,所以抛物线y=x2-2px+16的顶点坐标为(p,16-p2),当抛物线的顶点在x轴上时,16-p2=0,解得p=±4;当抛物线的顶点在y轴上时,p=0.综上所述,当抛物线y=x2-2px+16的顶点在坐标轴上时,p=±4或p=0.
注重数学思想和方法的渗透
1.本节课是通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k,从而探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质.本课时是在学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质后,教师引导学生思考、交流,利用转化思想、类比思想、数形结合思想探究二次函数的性质,它是本章的重点,也是本章的难点.在课堂上给学生充分的思考时间,类比配方法解一元二次方程,探究将二次函数的一般式转化为顶点式的一般步骤,然后用二次函数顶点式的知识完成本节课的学习,突破了重点和难点.
2.本节课在探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质后,通过例题讲解画二次函数的图像及用待定系数法求函数表达式,解决的关键是用配方法把二次函数的一般式化成顶点式,根据抛物线的对称性选取自变量,画出函数图像;根据抛物线的顶点式和顶点坐标,列方程组求待定系数,从而求出函数表达式.在整个教学过程中,数形结合思想贯穿函数讨论的始终,学生动手动脑,合作交流,体验知识的形成过程,真正发挥学生的主体作用,激发学生学习数学的兴趣.
(2015·甘孜中考)二次函数y=x2+4x-5的图像的对称轴是 ( )
A.x=4 B.x=-4
C.x=2 D.x=-2
解析:因为y=x2+4x-5=(x+2)2-9,所以抛物线的对称轴为x=-2.故选D.
(2015·莱芜中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则一次函数y=bx+a的图像
不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由函数图像的开口向上,得a>0.由对称轴x=-<0,得b>0,所以一次函数y=bx+a的图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
(2015·益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 ( )
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-1解析:抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),因为顶点在第?