1.2一元二次方程的解法（例题精讲与针对性训练）（含解析）-数学九年级上册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2一元二次方程的解法（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
4．将方程转化成的形式，则的值是（　　）
A． B．3 C．5 D．7
5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程，不适合用因式分解法求解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．关于的方程：的解是
B．关于的方程：的解是
C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解
D．方程：的解只有两个
8．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
二、填空题
9．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
10．已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ．
11．若分式的值为，则的值为 ；若，则 ．
12．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为 ．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．如果实数满足，则的值是 ．
15．用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式： ．
16．若点的纵坐标x满足方程，则y轴上与A点距离为1的B点坐标为 ．
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)
(2)．
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值．
19．先化简，再求值：，其中是方程的一个根．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
(2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围．
21．阅读材料．
对式子可以变化如下：
原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．
请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：
(1)请用配方法求出的最小值
(2)请用配方法求出代数式的最小值
(3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B C C D D
1．D
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
∴当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意；
当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意；
∴周长为，
故选：．
2．B
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴．
故选B．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据一元二次方程根的判别式判断即可求解，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．B
【分析】本题考查配方法，利用配方法的步骤，进行求解即可．
【详解】解：移项，得，
配方，得，即，
∴，
∴．
故选B．
5．C
【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
6．C
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
根据因式分解解方程的方法进行判断．
【详解】解：A、可以提取公因式，利用因式分解法求解，故此选项不符合题意；
B、方程整理为，再提取公因式，可以因式分解法求解，此选项不符合题意；
C、不能用因式分解法求解，此选项符合题意；
D、可以提取公因式，利用因式分解法求解，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查一元方程，根据一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式逐个判断即可．
【详解】解：A. 关于的方程：当时，的解是，故原命题不正确；
B. 关于的方程：的解是，故原命题不正确；
C. 关于的二项方程：当，为偶数时，（是正整数）没有实数解，故原命题不正确；
D. 由于方程：的解为，只有两个，故命题正确；
故选D．
8．D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
9．
【分析】本题考查的是根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
10．7或6
【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当或时，即，
∴方程为，
解得：，
此时该方程为，
解得：，，
此时三角形的三边为，符合题意；
当时，即，
解得：，
此时该方程为，
解得：，
此时三角形的三边为，符合题意，
综上所述，的值等于或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键．
11． 1 或
【分析】根据分式值为的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案．
本题考查分式值为的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【详解】解：由分式值为的条件可得且，
解得：；
，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：或；
故答案为：；或．
12．0或4/4或0
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，
整理，得：，
∴，
∴；
故答案为：0或4．
13．且
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
14．36
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，将看作一个整体是解答本题的关键．将原式变形为，求出，代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
故答案为：36．
15．
【分析】此题考查了换元法解方程，根据题意将直接换掉即可得到答案
【详解】解：设，则可将原方程变形为,
化为一般形式为
故答案为
16．或或
【分析】本题考查解一元二次方程，坐标轴上两点的距离，熟练掌握求解一元二次方程得到点A坐标是解题的关键．
先解一元二次方程，求出其解，从而得到点A坐标，再根据求解即可．
【详解】解：，
，
或，
∴，
∵点的纵坐标x满足方程，
∴点或，
设点，
∵
∴当时，则，
解得：，；
∴或，
当时，则，
解得：，；
∴或，
综上，点B的坐标为或或．
故答案为：或或．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18．(1)见详解
(2)，另一个根为1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键．
（1）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）将代入求出k，得到原方程，再解方程即可．
【详解】（1）证明：由已知，
，
，
，
∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：依题意得，，
解得，
则原方程为，
解得，
∴另一根为．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作差，再将除法化为乘法化简，再利用因式分解法解方程，结合分式有意义的条件，确定的值，再代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，，
，
，原式．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围．
【详解】（1）证明：
，
是非负数，
．
无论取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5，
则有 ，
解得，
即的取值范围是．
21．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握配方法是解此题的关键．
（1）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（2）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（3）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：
，
∵，，
∴，
∴、取任何实数时，代数式的值总大于8．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)