1.2一元二次方程的解法典例精讲与强化训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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1.2一元二次方程的解法典例精讲与强化训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．以下一元二次方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程有两个不相等实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
4．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实根 D．没有实数根
5．方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
7．如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
11．关于的一元二次方程有一根为，则 ．
12．将方程化为的形式，其中，是常数，则 ．
13．代数式的最小值是 ．
14．已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ．
15．若的两个实数根为和，那么关于x的一元二次方程的解为 ．
16．据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为 ．
三、解答题
17．按要求解方程：
(1)（公式法）；
(2)（配方法）．
18．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，试求三角形的周长．
19．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
(2)求原方程的两个根（用含m的式子表示）；
(3)若原方程的两个实数根均大于3，求m的取值范围．
21．阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．
仿照上述换元法解下列方程．
(1)
(2)．
(3)
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B C D A B
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，
∴该方程无实数根，故A选项不符合题意；
B． ，
∴方程有两个不相等实数根，故B选项符合题意；
C． ，
∴该方程无实数根，故C选项不符合题意；
D． ，
∴该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
【详解】解∶ ，
，
．
故选∶B．
3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，再结合得出答案．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
所以且．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
或
∴，．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：
或
∴，
故选：．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键．
由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可．
【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，
∴，，即，
∴，即，即
∴
∴．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2022，
∴必有一根为，解得：；
故选B．
9．，
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是因式分解解一元二次方程，即可．
【详解】解：，
移项得：，
提公因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
由方程有两个不相等的实数根，可得，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为，
∴满足关于的一元二次方程，且，
即，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，以及求代数式的值，根据配方法得到，的值，将，代入式子求解，即可解题．
【详解】解：
，
，，
．
故答案为：．
13．12
【分析】本题考查利用配方法求多项式的最小值，直接配方，利用完全平方式的非负性可求出最小值．
【详解】解：∵
∵，
∴
∴的最小值为12．
故答案为：12．
14．24或
【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积．
【详解】解：∵
∴
∴
①当三角形的三条边长分别为时，，
根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8，
因此三角形的面积为：；
②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图）

利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高：
因此，三角形的面积为：
∴三角形的面积为24或．
15．或
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令可将方程化成可得或，由此即可得．
【详解】解：令，
则方程可化成为方程，
∵的两个实数根为和，
方程的两个实数根为和3，
或，
解得或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把，代入原方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：把，代入中得：，
解得或，
∵该方程的一个正根是线段的长，
∴，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）直接利用公式法解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
∴原方程有两个不等实根，
∴
解得，；
（2）解：解：
解得，．
18．
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先解一元二次方程得出，，再根据三角形三边关系判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
当第三边为时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当第三边为时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时周长为．
19．(1)证明过程见详解
(2)这个等腰三角形的周长是
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（2）根据一元二次方程根的情况，分类讨论，当为腰时，，解得，根据解一元二次方程的方法得到两根，再结合等腰三角形的性质进行分析；当为腰时，，同理解得，解一元二次方程得两根，再结合等腰三角形的性质进行分析即可求解．
【详解】（1）证明：关于的方程中，，
∴
∵，
∴无论取何值，此方程总有实数根；
（2）解：是关于的方程的两根，
当是等腰的底边，是腰时，，
∴，
解得，，
∴关于的方程为，即，
解得，，
此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去；
当是等腰的腰，是腰，是底边时，，
∴是关于的方程的一个根，
∴，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴，
∴等腰的边长分别为，能构成等腰三角形；
∴这个等腰三角形的周长是．
20．(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）利用因式分解计算即可；
（3）根据两根都大于3，列出不等式解不等式即可．
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，
，
∴无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
∴；
（3）解：由（2）可知方程的两根为，
∵原方程的两个实数根均大于3，
∴，
∴．
21．(1)，，，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可；
（1）设，则原方程可变为，解方程即可；
（2）设，则原方程可变为，解方程即可；
（3）设，则原方程可变为，解方程即可．
【详解】（1）解：设，则原方程可变为，
解得，，
当时，，所以；
当时，，所以；
所以原方程有四个根：，，，；
（2）解：设，则原方程可变为，
去分母得，
解得，，
经检验，是的根，
当时，，解得，经检验是的根；
当时，，解得，经检验是的根；
所以原方程有两个根：，；
（3）解：设，则原方程可变为，
解得，，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以原方程有两个根：，．
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