沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（含答案）

第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形中，若是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
8．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；； 其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示
12．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
13．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
14.如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ．
15．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °．
16．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标；
(2)求的面积．
18．（6分）如图，在中，是的垂直平分线．
(1)若，的周长是13，求的周长
(2)若中，，求的度数．
19．（8分）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若C是的中点，，求的长．
20．（8分）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
21．（10分）如图，，平分，交于点；
(1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，求证：．
22．（10分）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求，的度数；
(3)探索，，之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数．
24．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）．
参考答案
一．选择题
1.C
解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意；
D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2．B
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴周长为．
故选：B．
3．B
解：∵，为边上的高，
∴，，．
无法确定．
故A、C、D正确，B错误．
故选：B．
4．B
解：设D到和的距离分别为和，
∵，
∴，
∴，
即点D到和的距离相等，
∴平分，
∴，
故选：B．
5．C
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C
6．C
解：当为底边时：
周长为，两腰之和为，则腰长为．
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
2． 当为腰长时，周长为，
底边长为，
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
综上，优美比k为或．
故选：C．
7．C
解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．C
解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9．B
解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图：
此时与轴交点的个数为4，
作的垂直平分线，如上图：
此时与轴交点的个数为1，
故选：B
10．B
解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
，
．
，
；
故正确．
，
，即．
，
．
；
故正确．
如图，作的平分线交于点，
则．
，
．
．
即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；
故正确．
，
，，．
．
由得，．
．
．
．
．
．
．
．
故错误．
故正确的有，个，
故选：．
二．填空题
11．
解：过M作于H，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
12．
解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
14．2
解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
15．
解：连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：延长到点D，使得，连接，延长交于点，
∵．，
∴，
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
三．解答题
17．（1）解：如图所示，即为所求；
；
∴、、；
（2）解：．
18．（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∴的周长；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵C为的中点，
∴．
20．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴点P在的平分线上，
即平分，
由（1）得，
∴，
∴．
21．（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点是的中点，即．
22．（1）证明：△与△都是等边三角形，
，，，
，
在△与△中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
∴；
∴，
作，
∵，，
∴，
∴平分，
，
（3）解：，
证明：如图，在线段上截取，连接，
，
，
在△与△中，
，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
23．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，点即为所求；
∵，
∴，
连接，
∵将沿翻折得，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，如图，点与点重合，
∴；
当时，如图，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
当时，点A与P重合，
∴，
综上所述，的度数为或或或．
24．（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：，；
（2）（1）问的两个结论还成立；
证明：如图②，在的延长线上截取，连接，
，，
，
，
∴，
，
，
∵，
，
，
的周长为：，
；
（3）如图③，在上截取，连接，
同（2）可证，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∵等边的周长为，
，
的周长
，
∴，
故答案为：．