苏科版九年级数学上册 期末复习题---- 弧长及扇形面积、圆锥的侧面积（含答案）

期末复习题---- 弧长及扇形面积、圆锥的侧面积
题型1：求弧长
1．如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求弧的长．
2．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为___________；
(2)连接、，则的半径长为___________（结果保留根号），的度数为___________．
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号）
题型2：求扇形半径
4．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆．
(1)求的度数
(2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长
5．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．
6．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
题型3：求圆心角
7．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
8．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为．
(1)求扇形的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．
9．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)已知，．
①求的半径长；
②若劣弧的长度为，求的度数
题型4：求某点的弧形运动路径长度
10．曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到；
(3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
12．如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）
A． B． C． D．
题型5：求扇形面积
13．如图，是的外接圆，半径为，连接，，，
(1)过点作，交于点，若，求的长；
(2)若，求阴影部分的面积．
14．【知识背景】
当且时，∵，
从而（当时取等号）
设函数由上述结论易得：
当时，该函数有最小值，
【应用举例】
已知函数与函数，则当时，函数有最小值．
【解决问题】
(1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____．
(2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长．
(3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点．
①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标；
②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值．
15．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
题型6：求图形旋转后扫过的面积
16．如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
题型7：求弓形面积
19．如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，．
(1)证明：为的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
21．【材料阅读】
材料：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图，为内一点，在射线截得弦，则在角平分线上．

材料：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”．
认真研读以上材料，完成以下问题：
【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有_____________________________（填序号）
每个三角形都有“等弦圆”；一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；每个三角形都只有一个“等弦圆”；若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形．
【问题2】如图2，是经过两点的“等弦圆”，交边于．求证：．

【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为_____________________；
【问题4】如图，中，，是经过点的“等弦圆”，交边于，交边于，交边于（在的右边）．

（1）连结，则_______________________；
（2）若，求弦与弧围成阴影部分的面积．
题型8：求其他不规则图形的面积
22.如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
23．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若是的切线，，，连接，判断四边形的形状并说明理由，且求出阴影部分的面积．
24．如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积；
(3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由；
(4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系．
题型9：求圆锥侧面积
25．“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
26．把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
27．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）
你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？
如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？

题型10：求园锥底面半径
28．如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧．
(1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）．
(2)的半径长为___________．
(3)点在___________（填“内”“外”“上”）．
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________．
29．如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
30．如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
题型11：求圆锥的高
31．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．
33．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
题型12：求园锥侧面展开图的圆心角
34．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，分别求的度数；（直接写出结果）
(3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）．
35．综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示．
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草 ，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
36．综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点．
(1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ．
(2)问题提出：求证：．
(3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）
题型13：圆锥的实际问题
37．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
38．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
39．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
题型14：圆锥侧面上最短路径问题
40．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
41．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ．
42．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
参考答案
题型1：求弧长
1．（1）解：连接
∵ 是的切线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ；
（2）解：连接，
∵ 为弧的中点
∴
∵ ，
∴，
∴
∴
∵ 是的直径，
∴ 的半径，
∴ 所对的圆心角
∴弧的长为
2．C
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
3．（1）解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：圆D的半径长，
，
∴
，
则，
∴，
故答案为：；；
（3）解：圆锥的底面圆的周长．
题型2：求扇形半径
4．（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
5．
解：设扇形的半径是r，则，
解得，
∴扇形的半径是4．
故答案为：4．
6．C
解：连接，
，
为等腰三角形，
为中点，
（三线合一），
即，
点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示：
当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置，
点P所经过的路径为，
连接,为 中点，为中点，
，
，，
，
即;
故选：C ．
题型3：求圆心角
7．
解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离，
∵点是母线的中点，，
∴，
扇形的弧长，
设扇形的圆心角为，则有：
，
解得：，
∴扇形的圆心角为，
∴蚂蚁爬行的最短距离为：，
故答案为：．
8．（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点，
∴，
设的度数为，
∵的长度为．
∴，解得，
∴扇形圆心角的度数为；
（2）解：∵
，
∴，
∴花窗的面积为．
9．（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，，
∴，即，
解得，
∴的半径长为5；
②设，
∵劣弧的长度为，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
题型4：求某点的弧形运动路径长度
10．
解：如图，
设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，
设
完成一次进气过程，扫过的扇形面积为
，解得
，
由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为，
点运动的路径长为．
故答案为：．
11．（1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到；
按同样的平移方法，得到的点分别为；
如图：
（2）找到绕点顺时针旋转后得到点，连接三点即可得到：
（3），
点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的，
∴其长度为．
12．解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：，
∵，
∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：，
故选：D．
题型5：求扇形面积
13．（1）解：，，
，
在中，，，
∴，
；
（2）解：，
，
∴．
14．（1）解：∵
∴
即
令
∴
由题意可知：当，有最小值是
∴
故答案为：小，4，3；
（2）解：设扇形的半径为，圆心角为，则
即，
∴扇形的周长，
由上可知：当即时，扇形的周长有最小值为．
故扇形周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2；
（3）①解：由题意可得：，
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，
∴，，
如图，作点关于轴的对称点，
∴，
连接交轴于点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的表达式为，
令时，，
解得：，
∴点；
②由题可设点，点，
由题可得：，
即，
则当时，则，
∴，
故的最大值是1．
15．
解：如图：连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∵，
∴，解得：，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
题型6：求图形旋转后扫过的面积
16．B
解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，
，
，
，
，
点运动路径长度为，
边扫过的面积为，
故选：B．
17．
解：由题意知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴阴影的面积
．
故答案为：．
18．C
解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
题型7：求弓形面积
19．（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
20．（1）证明：点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
为的切线；
（2）解：①设的半径为，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
；
②由①知，，
，，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
21．解：[问题1]根据材料1材料2，可得一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，
每个三角形都有“等弦圆”，故①正确；
一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，故②正确；
每个三角形有无数多个“等弦圆”，故③错误；
若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，则三条弦相等，那么这个三角形一定是等边三角形，故④正确
[问题2]证明：如图所示，连接，

∵是经过两点的“等弦圆”，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
根据材料1，可得是的角平分线，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即；
[问题3]解：如图所示，等腰直角三角形腰为2，即

∴
过点作于点，则，
过点作，则是等腰直角三角形，
设，则，
又∵
∴
解得：
则,
∵是的“等弦圆”
当经过点直角顶点，点时，此时半径为
当与相切时，半径为
∴“等弦圆”半径的取值范围为，
故答案为：．
[问题4]（1）如图所示，连接

∵中，，是经过点的“等弦圆”，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵
∴
∴
∴
故答案为：．
（2）根据问题2可得，
设，，
∵是直角三角形，
∴
即，
整理得，，
又∵，即，
∴（负值舍去）
即，
∴，
∴．
题型8：求其他不规则图形的面积
22．B
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
如图，以为圆心，为半径作弧，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
23．（1）证明：四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
，
，
是的切线，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形，
，
由（1）知，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，与围成阴影部分的面积为
．
24．（1）证明：如图，连接，
∵与相切，切点为D，
∴．
在与中，
∴，
∴，即．
又∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为2，
故答案为：2；
∴阴影部分的面积为．
∴阴影部分的面积为．
（3）解：他说得正确，理由如下：
如图，连接，
∵都与相切，
∴，．
又∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，即的度数不变．
（4）解：∵，，
∴，
∵与相切，切点为D，
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴，
设（），，
由（3）知，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴与之间满足的函数关系为．
题型9：求圆锥侧面积
25．D
解：由勾股定理可得：
圆锥的母线长为：，
∴陀螺的表面积为：，
故选：D．
26．B
解：∵圆锥的底面周长为，
∴围成圆锥的扇形弧长为，
∵已知扇形的弧长为，
∴粘贴部分的弧长为，
∴圆锥上粘贴部分的面积是．
故选：B．
27．圆锥的母线长，
设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为，
所以，解得，

即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为；如图，，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴方案一所需的矩形铁皮的面积，
如图，，，
在中，∵，
∴，

∴，
∴方案二所需的矩形铁皮的面积，
∴方案二所用的矩形铁皮面积较少．
题型10：求园锥底面半径
28．（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：由图可得，，
故由勾股定理可得：，
故的半径长为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴点在内，
故答案为：内；
（4）解：∵的半径长为，
∴，
∵,
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴弧的长为，
∴该圆锥的底面圆半径为，
故答案为：．
29．2
解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴扇形的弧长为：，
∴圆锥的底面半径为：，
故答案为：．
30．B
解：∵正方形中，，
∴扇形的圆心角，
已知扇形半径，圆心角，
据扇形弧长公式，可得弧长，
设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长，
又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长，
所以，
解方程可得，
故选：B．
题型11：求圆锥的高
31．C
解：圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
则这个圆锥形容器的高为（），
故选：C．
32．
解：∵正六边形的边长为3，
∴，，
∴弧的长为：，
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，
∴弧的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为，则，
解得：，
∴圆锥的高，
故答案为：．
33．A
解：∵半径为的圆形，
∴底面圆的半径为2，周长为，
扇形弧长为：，
∴，即母线为，
∴圆锥的高为：．
故选：A．
题型12：求园锥侧面展开图的圆心角
34．（1）解：设的度数为，则，
∵，
∴，即．
（2）解：设的度数为，则，
∵，
∴，
∴，
即，
同理：当时，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∴．
35．（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则，
解得，
故答案为：相等，6．
（2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得，
解得．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴够长．
36．（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
，
，
，，
，
经过的中点，
，
，
与OB的夹角为，
故答案为：，；
（2）由（1）得：，
；
（3），，
，
圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图，
，
，
连接，即为彩带长度的最小值，
，，
由勾股定理得：，
彩带长度的最小值为．
题型13：圆锥的实际问题
37．（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，
则围成的圆锥形的侧面积．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：，
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
（2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，
圆心角为，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积．
38．
解：设，则，
根据题意，得： ，
整理得：
∴
解得：，
即：．
故答案为：．
39．（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
题型14：圆锥侧面上最短路径问题
40．解：，
．
，
．
将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示：
由图可知，．
，
．
在中，由勾股定理，得
彩带长度的最小值为．
41．
解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n，
根据题意有：，
解得：，如图，
∴，且为最短路径．
∵，，
∴，
故最短路径长是．
故答案为：．
42．3
解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3