人教A版（2019）高中数学必修第二册 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教案

课题：5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
一、内容和内容解析
1.内容
人教A版《普通高中教科书 数学》必修第一册：“5.4.1正弦函数、余弦函数的图象”.
2.内容解析
本节内容为《三角函数》章节的第4节内容. 在学生学习了任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式等知识的基础上，对三角函数已有一些零散的认识.三角函数从本质上讲仍是函数，是一种特殊地函数，所以研究三角函数的的图象与性质，是函数图象与性质研究的延续，基本遵从函数的图象与性质的研究思路方法：现实背景——函数概念——图象——性质——应用.故在已学习三角函数的概念后，我们首先要能绘制出三角函数的图象，其中正弦函数、余弦函数是一对有密切联系的函数，正切函数需要另外专门研究.所以本节我们重点来研究正弦函数、余弦函数的图象，并为后面研究正弦函数、余弦函数的性质做好铺垫，便于采用数形结合的思想方法.根据以上的分析，本节课的教学重点确定为：
【教学重点】
作出正弦函数、余弦函数的图象.
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）通过复习回顾弧度的概念、正弦函数的定义、诱导公式等重点知识，能利用数形结合、化归与转化的思想方法，探究出如何绘制上的任一点，提升逻辑推理的核心素养.
（2）通过动手操作作图活动，增强学生学习的兴趣与体验，信息技术作图的演示，是对手工作图的验证与补充完善；让学生充分体验、比较两种学习方式的异同，感悟“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的科学精神.
（3）通过正弦函数、余弦函数的图象绘制过程，总结出作图的两大基本方法——描点法、初等变换法.提炼出指数函数、对数函数的描点法是取若干个x值，通过代数计算得y确定点，而准确绘制正弦函数图象的描点法，与以往不同的是采用了几何描点法；“五点法”作图也是描点法的一种，经常用来作简图.
2.目标解析
本节内容从复习已学的知识基础出发，正弦函数的图象作为问题引导，引发学生不断地思考.绘制函数的一般方法就是描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。从正弦函数的概念与诱导公式为突破口，聚焦到本节课最重要的一个突破点——如何绘制出上的任一点.探究过程中，通过类比指数函数、对数函数的取点方法，会发现取到的一些点都是近似点，所以得到图象是近似图象，不够准确，从而发现以往的代数计算并不能解决问题，需要重新思考借助定义中的几何图形，师生互动中探究出准确地绘制描出任意一点的方法.因为在这个过程中，我们虽然将这个角度的旋转量转化为了对应的弧长线性量，但又产生了新的问题，弧长是曲线的长度，而x轴上的是直线的长度，如何“化曲为直”或“由直到曲”才能将两个形式的线性量进行转化呢？此时，联系到一些生活实际，类比迁移，可以找到解决问题的方式方法.达成目标（1）的标志：轴上的确定后，学生想到借助单位圆来找，思考出利用细绳量取原点O到的距离，再将细绳绕单位圆找到弧长为的点的纵坐标来确定，并通过做平行线，最终确定点；达成目标（2）的标志：动手完成各种要求的图象，并能理解信息技术的作图方法、原理与手工方法一致，体验到被成功验证的喜悦；达成目标（3）的标志：课堂小结时，学生答出本节课采用的两种作图基本方法——描点法、平移变换法，教师进一步提炼出正弦函数描点法与以往不同，采用的是几何描点法，以及“五点法”是还是描点法，常用来作简图.
三、学生学情分析
1.学生的知识基础：学习过任意角、弧度制、诱导公式等三角函数基础知识，理解正弦函数概念中自变量、应变量对应的几何量，以及函数是两个数集之间的一种对应关系.
2.学生的技能基础：学生在之前的学习中已经通过描点法绘制过指数函数、对数函数的图象，经常运用数形结合的思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础.
3.学生活动经验基础：以往的学习过程，学生经历了很多尺规作图、合作学习的过程，具备了一定的作图、合作学习的经验和能力.
本节课的研究任务明确，绘制图象的方法确定，利用以往的学习经历与经验，又会碰到很多新的问题，需要很强的逻辑推理能力，利用数形结合、化归与转化的数学思想方法，逐步形成绘制正弦函数图象上任意一点的的绘制方法，所以，我将本节课的教学难点确定为：
【教学难点】
利用几何法描点时，确定横坐标对应的纵坐标.
四、教学策略分析
本节课的主要任务是引导学生动手作出正弦函数、余弦函数在不同定义域下的图象，并总结出作图的基本方法，为后续研究它们的性质做好铺垫.经过上述的目标解析、学情分析，我们发现教学难点的突破需要教师精心的设计问题引导，并尊重学生的课堂主体地位，在与学生的交流讨论中，逐步转化、解决一个个问题，师生、生生探究中逐步确定出描点的方法.因此采用的
教法是：问题引导，探究发现；
学法是：合作探究，动手操作；
五、教学基本流程
教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，是学生实践活动的组织者、引导者与合作者；学生是学习的主体，是学习的主动参与者和知识的建构者，为充分发挥学生的主体性及教师的主导作用，教学流程如图所示：
教学过程设计
课前将讲义、学案、自制教具发放到课桌上
环节一：复习引入，承上启下
复习回顾①：1弧度是如何规定的？
生：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角.（超链接动画，加强印象）
师：如果有一段弧，长为l，则它所对的圆心角的弧度数是多少？
生：角α等于弧长与半径的比，即.
师：如果是任意角？有正负，.
师：将等式变形，我们可以得到弧长公式.（引导学生齐答）
师：在单位圆中，弧长与所对圆心角α的关系是？（板书r=1,,并留一个图象在那）
强调：此时，α是一个实数，即表示角的弧度数，又表示弧长的长度.
复习回顾②：“单位圆定义法”中，任意角α的正弦函数是？
生：我们将角的终边与单位圆交点P的纵坐标y来定义，记作
师：y的几何意义是什么？由点P向x轴作垂线，垂足为M，表示垂线段的长度，y的符号决定了P点所在的位置.
复习回顾③：一起回顾如下几个重要的诱导公式
追问1：它反映了正弦函数值的什么特点？
生：周期性地出现。
师：很好，从图像直观上看，点A每旋转一周就回到了原来的位置，体现了正弦函数值具有周而复始的特性.从函数角度来看，自变量每增加或减少2π个单位长度，函数值重复出现.
追问：第二个式子呢？
生：反映了正弦函数、余弦函数他们的密切关系，可以互相转化.
师：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题 怎样研究
追问1:研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的
生：现实背景——函数的概念——函数的图象——函数的性质——函数的应用.
——引出课题：正弦函数、余弦函数的图象
环节二：具体实施，且行且思
1.规划方案，形成思路
师:绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
生：描点法.
师：很好，就是三个步骤，六个字——列表、描点、连线.
师：以正弦函数为例，如何绘制？根据定义，需要绘制整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
生：由定义知，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以先画函数的图象,再将图象向两边平移，就可以得到的图象.
【设计意图】从单元整体研究设计，规划研究方案，构建本单元的研究思路，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念.
2.画出（画任意一点）
问题1:绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点.对于正弦函数，任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点？
教师引导回顾，对比分析：绘制指数函数的图象时，如，x取有理数，如0、1、2、3、-1，-2，-3……可通过计算得到y，由有序数对确定若干个点，点动成线，可作出指数函数的大致图象。正弦函数的图象其实也可以这样做，不过像sin1、、这些函数值我们描出的是近似值，得到的图象也是近似的，与本真的正弦函数图象肯定有出入，简而言之得到的图象不够精确.为了画出更精确的正弦函数图象，我们能否想出有其他办法？
接下来要聚焦一个问题是如何准确地作出的任意一点？
师：假设上有一点，确定了，怎么表示出来？
师生讨论：可以从定义、几何意义去思考？需要确定角的终边？怎样找终边？通过弧长与线段长度取等？
预设追问：生活中有没有解决类似问题的经验呢？
比如买西裤、牛仔裤时，如何测量腰围？如何测量透明胶一段弧的长度？如何测量电线杆横截面的周长？
生：用细绳沿着曲线围绕，然后拉成直线，用刻度尺测量即可得到.
师：非常好，将生活中“化曲为直”的方法迁移，是不是就可以解决刚刚的难题了.
思考：模型能否优化，使“手工细线缠绕”法操作简便？
对比得出：将单位圆的圆心移至，细线一端系在原点固定住，可使手工操作简便.
教师信息技术演示——“手工细线缠绕”法动画
学生活动1——两人一组，动手操作，互相配合
3.画出函数的图象
问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，接下来，我们怎么操作？才能比较准确地画出函数的图象呢
生：需要取更多的点？
师：那怎样取点呢？取哪些点，取多少比较合适？类比指数函数、对数函数图象的画法，我们可以计划一下，按照列表、描点、连线的方式进行.
预设的方案：
方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，然后用光滑的曲线连线.
方案2：取一些特殊点、具有对称性的点。
预设1：由于圆与坐标轴有几个特殊的交点，比较好取。故可以取
学生继续补充，为了函数曲线的准确性，我们还可以在其中加入一些点。考虑到手工细线缠绕法操作的困难，同时圆具有良好的对称性，x的值我们在区间内取，即取了该区间的三等分点，则可以将十二等分，从而可以描出曲线上的十二个点.
预设2：取一些x的特殊值，如.又因为圆具有完美的对称性，取了一个横坐标的值，确定了，很快就能确定，，，做了“买一赠三”的活动，相当划算，从而将圆进行了十二等分.
师：当然，同学们也可以将圆十六等分，或者取了20个特殊点.
教师信息技术展示1
方案3：利用信息技术，进行展示
师:手工绘制、信息技术绘制方式的异同是什么
生：两种绘制方式的原理相同，信息技术无误差，可以展现每一个点的形成过程.
【设计意图】手工绘制让学生在体验的过程中获得知识，加深对正弦函数定义的理解，加强对图象的掌握，其中的探究过程利于学生思维的发展，素养的培养.信息技术给数学研究带来便捷，可以验证我们手工绘制图象的正误，同时无误差更精确，对手工绘制只能取有限点的作法是补充、完善.
4.画出的图象
学生活动2
动手实践：根据函数的图象，你能想象正弦函数的图象吗？请画出该函数的图象，并说明理由.
预设1.学生想着描点法作图，教师点评，并用信息技术验证.
预设2.平移变换法.
追问：你这样作法的依据是什么？
生：据公式一，可知函数的图象与的图象形状完全一致，只需要将的图象向左平移、向右平移即可.
教师信息技术展示2，并提炼小结
师：这就是正弦函数的图像，，也称作正弦曲线，你会怎么形容他的模样呢？
生：……
师：正弦曲线是一条“波浪起伏”连续光滑的曲线.
师通过重读强调：定义域为R，两边出头，表示图象两边可以无限延展.
【设计意图】让学生动手经历绘制函数的图象，加深对正弦曲线的趋势变化及图象整体变化规律的认识，为后续数形结合研究正弦函数的性质做好铺垫。
问题2：如何画出函数图象的简图？
生：列表、描点、连线——具体说出选的五点.说出五个点：
师：作图象时，根据实际需要，我们可以在x轴上取一段长度作为二分之一π，等距就可以确定其他的横坐标，y轴同理——这样就为作图带来很大的方便.
请学生上台作图
追问：为什么选这五个点？
生：他们是图象的最高点、最低点、与x轴的交点（波峰与波谷）
师：这些特殊点在确定图象时起到了关键作用，因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”.
注：零点不是点，最值也不是点.应该是零点所在的点.
【设计意图】观察函数图象，发现关键点是哪些点，并概括关键的“五点”其实就是函数的最高点、最低点及与x轴的交点，从而获得“五点法”画图的简便画法.
环节三：趁胜追击，探究余弦
学生活动3
动手实践:如何画出余弦函数的图象
追问1:你能否对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象
生：由诱导公式，记则.因此函数的图象，可以看作将函数图象的图象上的点向左平移个单位得到.
教师信息技术展示3
师：如图所示，余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve）.
师：余弦函数的长相，你会如何描述？两个函数图象有什么异同？
生：是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.相同点是具有相同的形状，不同点是在坐标系所处的位置不一样.
【设计意图】利用诱导公式，通过图形变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识.
问题3:如何作出余弦函数的简图？
预设：还有同学会提出先画出的图象，再向左平移得到.
板书小结——的简图我们就可以直接得到了.
环节四：回味过程，提炼升华
问题1：这节课解决了什么问题？
问题2：作图的方法有哪些？
【设计意图】让学生回顾整节课探索的知识、过程中的作图方法，以及解决问题的思想，加强小结，形成思想方法，迁移到今后的学习生活中.
课后作业
教材第200页练习1-4.
【设计意图】考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握情况，是否学会了“五点法”作图.
即兴吟诗：
探索三角函数
三角函数为何物？定义图象与性质
数形结合来研究，大胆思考去践行。
信息技术打辅助，增添你我的信心。
三角知识浩入海，师生畅游乐无穷！
七、板书设计
左黑板：正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数的图象
的图象
的图象
余弦函数的图象
的图象
的图象
右黑板：复习1. （右上角图示）
数α表示一个角，也可以表示一段弧长
2.交点，
3.
八、教学反思
本节课教学思路清晰，以学生为主体，由复习引入做好充分的铺垫，结合问题引导，设计各种作图活动，调动学生学习的兴趣与积极性.教学过程流畅，注重学生的思维参与，充分的以合作探究的方式展开学习.认识到教学活动的重心应由“重视教”转为“重视学”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”.
可取之处：
①对教材的深度理解与解析，突破教学难点的教学设计——相关基础知识的复习、信息技术的展示，埋下伏笔，师生交流的过程中，逐渐得出几何描点法如何得到正弦函数的纵坐标；
②问题引导、探究发现的教法，动手操作、合作探究的学法；
③教师自制开创性的教具，课堂丰富多样的作图教具完全有教师本人构想、设计图纸，利用现代的信息技术——3D打印，进行多次修改确定出最终模型,从而提供给学生良好的探索、研究的学习情境，利于学生发展思维，自主画出图象；
充分、合理使用信息技术手段辅助教学，不局限于交互式电子白板、手机投屏、ggb软件，还有个性化的3D打印技术，没有让信息技术替代学生的思考、动手操作；
④课堂小结注重回顾过程，对知识进行总结，对作图方法进行提炼；
⑤对于学生遗忘的知识、理解错误之处，与预设不符之处，能够现场进行引导，及时生成.
改进之处：数学语言的准确、精炼还需要提高，如线段的长说成了直线的长，复习中周而复始的现象用“重复出现”比一样的更好等.对学生几处的回答，临场处理还不够完美.如有一位学生说道可以用量角器量取，特殊角是可以做到的，但是横坐标就要想办法量取，如果不是特殊角，就又是近似值了，达不到的任意性，以及作图的精确性.另一位学生，在黑板上由作的图象时，采用了继续描点，其实这样方法是可行的，应该予以及时肯定.学生回答问题时，应该充分发挥学生的主体性，让他们充分展示完成后，做点评.