人教A版（2019）高中数学必修第二册 8.6.2 直线与平面垂直的判定 教学设计（表格式）

《直线与平面垂直的判定》教学设计
课 题 直线与平面垂直的判定 总课时 1 第一课时
教学内容解析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》（人教A版）第二章，2.3.1直线与平面垂直的判定，空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体会“平面化”思想和“降维”思想。
教学目标 知识与技能 通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面 垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；
过程与方法 通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
核心素养 通过播放天安门广场升旗仪式的视频，激发学生的爱国热情；通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
学生学情分析 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。 在直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线，学生的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直导致证明过程中无从着手或发生错误。
教学策略分析 采用“启发－探究”的教学方法，通过一系列的问题串及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现并且在充分理解判定定理的基础上能对其进行简单应用，能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.通过小组讨论“为什么比萨斜塔看起来与地面不垂直？”得出“只要地面内有一条直线与比萨斜塔所在直线不垂直，那么比萨斜塔所在直线与地面所在平面不垂直。”这就从正反两方面说明了定义的合理性。在直线与平面垂直的判定定理的教学中，折叠三角形纸片。学生经历了直观感知、操作确认的过程后，最后归纳出直线与平面垂直的判定定理。
教学重点 抽象概括直线与平面垂直的定义，操作探究直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点 探究、归纳直线与平面垂直的定义与判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想．及其初步应用时如何寻找线线垂直．
教学方法与策略 “引导—探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲，合作交流、动手试验，获得数学结论．
教具、教学媒体准备 多媒体课件、大三角形纸片等教具．学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表示直线）、课本（表示平面），手电筒、彩色手环、
教学过程 教学内容
教师活动 师生活动
一、观察归纳直线与平面垂直的定义1、直观感知问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面（播放天安门广场五星红旗徐徐升旗的视频），大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。由此引出课题。 问题2：最近我们学校准备立一根新的旗杆，怎样检验旗杆与地面是不是垂直的呢？【设计意图】借助学生已有的生活经验和知识水平引出旧知与课题，自然生动，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学生活化. 引导学生将旗杆抽象成一条直线，地面抽象成一个平面，得出这就是“如何判定直线与平面是否垂直”的问题，也就是今天我们要研究的课题，从而引出新课。2、观察思考分组活动1：直线与平面垂直的定义（1）.将纸平铺在桌面上，将笔直立在纸面上；（2）.打开手电筒，观察笔所在的直线与影子所在的直线的位置关系；（3）.转动手电筒，观察更多影子所在的直线与笔所在直线的位置关系；（4）.归纳总结，当直线与平面垂直时，直线与平面内怎样的直线垂直？（5）.反向思考，当直线与平面内的直线具有上述特征关系时，能否得到直线与平面是垂直关系？（6）.将笔倾斜放置，观察笔所在的直线与影子所在的直线是怎样的位置关系？（7）.找出平面内与倾斜的笔垂直的影子（8）.思考：此时平面内，与倾斜的笔垂直的线有多少？在哪里？（9）.思考：直线与平面内无数条直线垂直时，直线与平面是怎样的位置关系；（10）.将笔倾斜放置，使笔所在的直线与平面不垂直，观察能否找到与笔所在的直线不垂直的影子？（11）.请你用自己的语言描述直线与平面垂直的定义.设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性。3．归纳概括直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。图形语言表示：符号语言表示： 【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.4. 辨析思考辨析：下列命题是否正确，为什么？ （1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。【设计意图】通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。5. 正反对比，深化理解问题1：你能举出生活中直线与平面相交但不垂直的例子吗？（学生举例后，教师展示比萨斜塔图片）问题2：为什么比萨斜塔看起来和地面不垂直呢？6. 探究思考显然，根据定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内“任何一条直线”即“所有直线”都垂直。而事实上这往往是难以实现的，我们可否寻求一个更为简便的方法，用有限条直线来代替所有直线？二、探究发现直线与平面垂直的判定定理分组活动2 操作确认直线与平面垂直的判定定理实验：一起来做一个试验：过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（、与桌面接触）． （1）折痕与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使与桌面所在平面垂直？ （3）当折痕与不垂直时，绕无论怎样翻折，翻折后始终与桌面所在平面不垂直吗？为什么？（4）当折痕时，绕无论怎样翻折，（5）翻折之后始终与桌面所在平面垂直吗？（6）翻折之后的垂直关系即，是否发生变化？由此得到什么结论？ （7） 根据上面的试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程.7. 抽象概括直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。图形语言表示： 符号语言表示： 探究：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？三、数学应用，巩固深化例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD=,PA=2证明：PA⊥平面ABCD证明：∵在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD,且BC=2AD=2CD= ∴AB=AC=2，BC= ，∴AB⊥AC又∵AB⊥PC,AC∩PC=C,AC在平面PAC内，PC在平面PAC内∴AB⊥平面PAC,又∵PA在平面PAC内，∴AB⊥PA,∴PA=AC=2,PC= ∴PA⊥AB,AB∩AC=A,AB在平面ABCD内，AC在平面ABCD内，∴PA⊥平面ABCD练习 如图, M是菱形ABCD在平面外一点,满足MA=MC求证: AC⊥平面BDM M D C O A B四、内容小结1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？ （1）定义法：强调是“任何一条直线”（2）判定定理法：必须是“两条相交直线”。【设计意图】培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法 ？ 转化的思想五、课后作业 p163 习题8.6 第5题，拓广探索11题 （注：用立体几何解答题解题步骤，规范答题）． 师生活动：师生共同观看天安门广场升旗仪式的视频，激发学生的爱国热情。师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，直观感知直线与平面垂直的现象并能与生活实际相联系。师生活动：分组探究增加学生兴趣，在活动中思考，在思考中自然生成概念.师生活动：小组讨论提出的问题，结合动画展示，学生抽象出直线与平面垂直的定义。师生活动：组织学生课堂辨析判断，加深对直线与平面垂直的定义的理解。师生活动：命题（1）判断中引导学生用铁丝表直线，用三角板两直角边表两垂直直线，桌面表平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一 条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，。师生活动：小组讨论提出的问题，结合动画展示，学生抽象出直线与平面垂直的定义。学生通过讨论，从正反两方面体会定义的合理性师生活动：让学生小组探究，通过折纸，培养学生直观想象，数学抽象素养．让学生沿点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论。在教师的引导下动手实践，从而发现当且仅当折痕AD⊥BC时，翻折后AD所在直线与桌面所在平面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。继而概括出直线与平面垂直的判定定理。师生活动：学生叙述判定定理，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件．师生活动：合理选择辅助平面，体会转化思想的作用．学生小组探究并回答．对直线与平面垂直的定义及判定学会简单应用，体会转化的数学思想。学生板演练习，师生共同评析．师生活动：对直线与平面垂直的定义及判定学会简单应用，体会转化的数学思想。意图：梳理本节课的主要内容，优化学生的知识结构。师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。意图：根据作业难度系数由易到难布置，使学生适应本课教学．加入课后探究，激发学生自主能动性，培养学生学科核心素养。
教学反思：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.本节课的不足之处在于定理引导的过于细致，但由于为了完成教学任务，没能够让学生到黑板上板书做题的思路，只是提问学生做题的过程，没能够锻炼学生几何的板书。
任何一条
两条相交
线面垂直
线线垂直
PAGE