人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 149.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 13:09:19 | ||
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文档简介
基于大观念的单元整体教学设计
《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
一、教学内容分析
本节选自2019年人教A版高中数学选择性必修三第六章第一节.
本章是学生开启的新学习篇章，也是学生初步接触离散数学（或组合数学）的一章，本章涉及两个基本计数原理、排列和排列数、组合和组合数，以及与二项式定理相关的一些概念．
两个基本计数原理是解决计数问题的“根本大法”，也是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，具有普适意义.它们不仅是推导本章排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，这样的基本思想始终贯穿本章其余内容.因而，它们是学好本章内容的关键.此外，本节还涉及数学抽象、数据分析等核心素养，培养学生分类讨论、数形结合、转化与化归、类比迁移等思想.因此，理解和掌握两个基本计数原理应该是最基本且重要的.
二、学生分析
学生在初中的学习过程中使用列举法或树状图解决过一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力.结合学生的年龄、学段特征从认知基础上来说，一是学生具备一定的数学知识与方法、思维与能力；二是通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这有利于学生从旧知向新知迁移.从认知障碍上来说，学生学习本节内容时可能会出现以下两个问题：一是应用计数原理的意识薄弱，意识不到每一个数字背后代表的是一个事件；二是不能根据问题的特征，正确选择计数原理.因此，教学过程中将采用活动探究法，通过活动创设情境，引导学生观察、感知、联想和表达.从学生的实际出发，将教学内容按深度、广度分成适合学生认知水平和接受能力的三个层次，同时考虑学生的个性特点和个性差异，尽量做到因材施教使每个学生都能有所收获.
三、教学目标
1.结合实例，能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理（数学抽象）.
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”（数据分析、数据运算）.
3.能正确应用这两个原理解决一些简单的实际问题（数学建模、类比迁移、转化与化归）.
4.通过认识两个计数原理，理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题，学生能根据计数原理分析问题、解决问题.
四、教学重、难点
1.教学重点
归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用它们解决简单的实际问题.
2.教学难点
正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.
五、教学媒体与资源及方法
1.教学策略方法
以学生为主体，教师为主导.采用探究式教学和小组合作式学习法.
2.教学设备及工具
导学案、课件、多媒体、翻页笔.
六、教学实施过程设计
（一）创设情境，引入课题
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢 这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．
【设计意图】通过对教科书第六章的章引言问题具体化，设置悬疑情景激发学生的探究欲望，阐明本章研究内容的同时，利用一个“涉及较大数不太好一个一个地数”的车牌牌号计数问题说明寻找计数方法的必要性.
（二）课前自学，初识原理
师：请各位同学自学教材第1-7页，思考并完成下面相应内容填空.
生：自学完成学案内容，在有困惑的地方做好相应的标记.
1.分类加法计数原理：
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
注意：两类不同方案中的方法互不相同.
2.分类加法计数原理的拓展：
完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法，
那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
3.分步乘法计数原理：
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
注意：只有各个步骤都完成才算做完这件事.
4.分步乘法计数原理的拓展：
完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
【设计意图】学生通过自主学习对“什么是分类加法计数原理”“什么是分步乘法计数原理”有个初步的认识，明白本节课的主要内容以及在自学过程中发现学习困惑点.
（三）合作探究，再识原理
只考虑以下三个方面，帮助毛毛制定一个五一到武汉游玩的方案：
行：毛毛从家到武汉，可以乘坐飞机，也可以乘坐高铁，经查询一天中飞机有6班、高铁有8班，具体时刻表如下图.
住：武昌区合适的酒店有3家（A酒店、B酒店、C酒店）；汉口合适的酒店有2家（E酒店、F酒店）
游玩：毛毛准备游玩2天，第一天从东湖绿道、武汉欢乐谷、湖北省博物馆、东湖海洋乐园中选择两处游玩；第二天从黄鹤楼、武汉动物园、武汉极地海洋公园中选择一处游玩，每一天的景点顺序随意，尽享旅行乐趣.
（1）请每个小组出一个方案；
（2）思考：一共可以帮毛毛制定出多少种不同的方案？
【设计意图】通过接听毛毛的求助电话，为学生创设一个真实情境，激发学生学习兴趣，就情境提出的问题进行小组合作探究.
师生活动：
师：请各位同学站起来进行小组讨论，帮助毛毛制定一个方案，思考一共可以帮毛毛制定出多少种不同的方案，时间四分钟，讨论出结果的小组可以坐下.
生：学生讨论.
师：请小组进行展示，并邀请其他小组进行补充，教师对所展示的成果进行即时评价，对情境中使用的原理进行串讲突破难点.
【设计意图】活动意在让学生体会数学源于生活的同时，培养其分类讨论、类比迁移的能力，提升学生数据分析、数学抽象的核心素养.
（四）典例讲解，深化原理
例1（教材P5例3变式）： 书架的第1层放有4本相同的戏剧艺术书，第2层放有3本相同的武汉旅游书，第3层放有2本相同的武汉美食书．从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
解：从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取1本戏剧艺术书，有1种方法；
第2类方案是从第2层取1本武汉旅游书，有1种方法；
第3类方案是从第3层取1本武汉美食书，有1种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种．
例2（教材P5例3）： 书架的第1层放有4本不同的戏剧艺术书，第2层放有3本不同的武汉旅游书，第3层放有2本不同的武汉美食书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取1本戏剧艺术书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本武汉旅游书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本武汉美食书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种.
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：
第1步，从第1层取1本戏剧艺术书，有4种方法；第2步，从第2层取1本武汉旅游书，有3种方法；第3步，从第3层取1本武汉美食书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种为种.
师生活动：
师：引导学生分析题目，找到题目中“完成的一件事”的含义，分析题目所涉及的方法是否独立从而正确选择原理，对两个计数原理进行推广.
生：得到分类加法计数原理的推广及分步乘法计数原理的推广.
【设计意图】选取教材例题并加以适当的改编形成例题1、例题2，培养学生在分析问题的过程中把握住关键字词的习惯，并对分类加法计数原理、分步乘法计数原理进行推广，加深对两个计数原理的理解与认识，提升学生逻辑推理的核心素养.
（五）类比转化，再探新知
变式 书架的第1层放有4本不同的戏剧艺术书，第2层放有3本不同的武汉旅游书，第3层放有2本不同的武汉美食书．
师生活动：
师：在不改变例2的题目条件的情况下，各位同学能不能自己提出一些问题.
生：提出问题.
师：选取典型的三个问题进行串讲.
（1）现在从书架上任取2本相同种类的书，有多少种不同取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取2本戏剧艺术书，有6种方法；第2类方案是从第2层取2本武汉旅游书，有3种方法；第3类方案是从第3层取2本武汉美食书，有1种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种.
（2）现在从书架上任取2本不同种类的书，有多少种不同取法？
完成这件事 先分类 再分布 总计
第一步 第二步
取戏剧艺术书和武汉旅游书 戏剧艺术书有4中不同的取法 武汉旅游书有3种不同的取法 4×3=12 12+8+6=26种
取戏剧艺术书和武汉美食书 戏剧艺术书有4中不同的取法 武汉美食书有2种不同的取法 4×2=8
取武汉美食书和武汉旅游书 武汉美食书有2种不同的取法 武汉旅游书有3种不同的取法 2×3=6
（3）现在从书架上任取2本书，有多少种不同取法？
解法一：任取2本书有两种情况：2本相同的书和2本不同种类的书，故不同取法的种数为种.
解法二：用分步乘法计数原理，第一步取1本书共有9种方法，第二步取1本书共有8种方法，但在取的过程中会出现重复，故不同取法的种数为种.
【设计意图】变式题的设计意图为：一方面让学生进一步理解两个计数原理中的“完成一件事”的含义，另一方面可以引出下一节的组合问题，并启发学生用数学的思维思考世界.
师生活动：
师：请各位回忆典例的过程，自己独立完成两个计数原理的异同表格.
生：思考后完成表格.
5.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 都是用来计算“完成一件事”的方法种数．
不同点 1. 事情分类完成，用加法;2. 方法之间相互独立，用任何一种方法均可完成这件事． 1. 事情分步完成，用乘法; 2. 步骤相互依存，依次完成所有步骤才能完成这件事．
关键点 不重不漏 步骤完整
【设计意图】学生独立思考将两个计数原理的相同点、不同点和注意点整理成表格，教会学生类比的学习方法，培养学生提取关键信息的能力，有利于学生理解和掌握.
（六）课堂评价，应用原理
1.（教材P6练习4）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
2.（教材P6例5） 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母或 ，后两个字符要求用数字，最多可以给多少个程序模块命名？
提升题：
3. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，那么他们不同的结账方式共有 种.
【设计意图】选择教材第6页例题、练习第4题及高考考点对应题作为当堂检测，巩固本节所学知识，帮助学生直观感受高考，认识高考.增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
（七）小结提升，理顺结构
回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）我们学习了哪两个计数原理？它们与实数运算中的加法、乘法有什么联系？
（2）两个计数原理的区别是什么？有什么联系？使用这两个原理解决实际生活问题时，应注意什么？
（3）你能解决情境引入中的汽车号牌问题了吗？带给我们的启示是什么？
师生活动 学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.
我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，两个原理的区别在于一个是“方法的分类”，另一个是“过程的分步”；一个是“类类独立”，另一个是“步步相依”；一个是“只需任何一类中的任何一种方法完成了，就可以完成这件事”，另一个是“必须每一步都完成了，才能完成这件事情”.它们的联系是乘法计数原理是相同方法数分类加法计数原理的简化，两个原理应用时要注意分类要“不重不漏”，分步要“步骤完整”.
【设计意图】进一步反思巩固所学知识，厘清知识与知识之间、新旧知识之间的联系与区别，让学生在将新知纳入已有知识体系的过程中形成新的认知结构.
（八）教学评价，应用迁移
[必做题]：
1.教材第11页习题6.1第3题：如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有多少条不同的路径？
2.从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
[拓展延伸题]：
如下图所示，大巴车从武汉天河机场A门到武汉园博园B区间有两条线路，共途经四个站点1，2，3，4. 现有一名游客想参加下午3点的活动，若某个站点堵车，将错过该活动，则该游客错过该活动的情况有 种.
【设计意图】根据学生学情分层布置作业，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦.题目主要考察两个计数原理的混合运用，培养学生的综合运用能力，培养学生数形结合、分类讨论的思维.
七、教学反思，提升能力
本节课主要讲解了计数原理的第一节内容，分类加法计数原理，分步乘法计数原理．本节课主要把握两计数原理的概念和推广，会用两原理解决一些简单的实际问题．该课的重点部分在于理解两原理的区别与联系．难点在于根据不同的实际问题要选择不同的原理来操作．在整个教学过程中，我也是这样安排教学的．从认知障碍上来说，学生学习本节内容时可能会出现以下两个问题：一是应用计数原理的意识薄弱，意识不到每一个数字背后代表的是一个事件；二是不能根据问题的特征，正确选择计数原理．因此，教学过程中将采用活动探究法，通过活动创设情境，引导学生观察、感知、联想和表达. 从学生的实际出发，将教学内容按深度、广度分成适合学生认知水平和接受能力的三个层次，同时考虑学生的个性特点和个性差异，尽量做到因材施教使每个学生都能有所收获．
针对本节课的教学过程,我认为本节课的成功之处在于整个教学过程都结合了“大单元教学”的思想，采用先建构数学基础，让学生能够在自己的认识基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主体，老师只是作为引入的桥梁．教学设计我也充分的把握了这一思想，先是问题的引入让学生自己分析，总结出两计数原理的概念，再在练习的基础上发挥学生的主动性将概念进行推广．在此过程中发挥了学生的课堂学习的主导地位．课堂小结部分通过对两原理的直观类比，让学生去发现区别，发现联系．作业布置，可以让学生从实际出发，去体会理论与实际的联系．这样就更达到教学目标．
当然本节课也有一些缺点，主要的缺点在于对问题的分析过多，虽说这样可以让学生更好的理解问题，但是这样也就减少了学生的思维过程的时间，或多或少的影响了学生学习主动性的发挥．应该在适当的时候完全放手，让学生自我学习自主探究．
《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
一、教学内容分析
本节选自2019年人教A版高中数学选择性必修三第六章第一节.
本章是学生开启的新学习篇章，也是学生初步接触离散数学（或组合数学）的一章，本章涉及两个基本计数原理、排列和排列数、组合和组合数，以及与二项式定理相关的一些概念．
两个基本计数原理是解决计数问题的“根本大法”，也是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，具有普适意义.它们不仅是推导本章排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，这样的基本思想始终贯穿本章其余内容.因而，它们是学好本章内容的关键.此外，本节还涉及数学抽象、数据分析等核心素养，培养学生分类讨论、数形结合、转化与化归、类比迁移等思想.因此，理解和掌握两个基本计数原理应该是最基本且重要的.
二、学生分析
学生在初中的学习过程中使用列举法或树状图解决过一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力.结合学生的年龄、学段特征从认知基础上来说，一是学生具备一定的数学知识与方法、思维与能力；二是通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这有利于学生从旧知向新知迁移.从认知障碍上来说，学生学习本节内容时可能会出现以下两个问题：一是应用计数原理的意识薄弱，意识不到每一个数字背后代表的是一个事件；二是不能根据问题的特征，正确选择计数原理.因此，教学过程中将采用活动探究法，通过活动创设情境，引导学生观察、感知、联想和表达.从学生的实际出发，将教学内容按深度、广度分成适合学生认知水平和接受能力的三个层次，同时考虑学生的个性特点和个性差异，尽量做到因材施教使每个学生都能有所收获.
三、教学目标
1.结合实例，能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理（数学抽象）.
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”（数据分析、数据运算）.
3.能正确应用这两个原理解决一些简单的实际问题（数学建模、类比迁移、转化与化归）.
4.通过认识两个计数原理，理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题，学生能根据计数原理分析问题、解决问题.
四、教学重、难点
1.教学重点
归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用它们解决简单的实际问题.
2.教学难点
正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.
五、教学媒体与资源及方法
1.教学策略方法
以学生为主体，教师为主导.采用探究式教学和小组合作式学习法.
2.教学设备及工具
导学案、课件、多媒体、翻页笔.
六、教学实施过程设计
（一）创设情境，引入课题
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢 这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．
【设计意图】通过对教科书第六章的章引言问题具体化，设置悬疑情景激发学生的探究欲望，阐明本章研究内容的同时，利用一个“涉及较大数不太好一个一个地数”的车牌牌号计数问题说明寻找计数方法的必要性.
（二）课前自学，初识原理
师：请各位同学自学教材第1-7页，思考并完成下面相应内容填空.
生：自学完成学案内容，在有困惑的地方做好相应的标记.
1.分类加法计数原理：
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
注意：两类不同方案中的方法互不相同.
2.分类加法计数原理的拓展：
完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法，
那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
3.分步乘法计数原理：
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
注意：只有各个步骤都完成才算做完这件事.
4.分步乘法计数原理的拓展：
完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中是总方法数．
【设计意图】学生通过自主学习对“什么是分类加法计数原理”“什么是分步乘法计数原理”有个初步的认识，明白本节课的主要内容以及在自学过程中发现学习困惑点.
（三）合作探究，再识原理
只考虑以下三个方面，帮助毛毛制定一个五一到武汉游玩的方案：
行：毛毛从家到武汉，可以乘坐飞机，也可以乘坐高铁，经查询一天中飞机有6班、高铁有8班，具体时刻表如下图.
住：武昌区合适的酒店有3家（A酒店、B酒店、C酒店）；汉口合适的酒店有2家（E酒店、F酒店）
游玩：毛毛准备游玩2天，第一天从东湖绿道、武汉欢乐谷、湖北省博物馆、东湖海洋乐园中选择两处游玩；第二天从黄鹤楼、武汉动物园、武汉极地海洋公园中选择一处游玩，每一天的景点顺序随意，尽享旅行乐趣.
（1）请每个小组出一个方案；
（2）思考：一共可以帮毛毛制定出多少种不同的方案？
【设计意图】通过接听毛毛的求助电话，为学生创设一个真实情境，激发学生学习兴趣，就情境提出的问题进行小组合作探究.
师生活动：
师：请各位同学站起来进行小组讨论，帮助毛毛制定一个方案，思考一共可以帮毛毛制定出多少种不同的方案，时间四分钟，讨论出结果的小组可以坐下.
生：学生讨论.
师：请小组进行展示，并邀请其他小组进行补充，教师对所展示的成果进行即时评价，对情境中使用的原理进行串讲突破难点.
【设计意图】活动意在让学生体会数学源于生活的同时，培养其分类讨论、类比迁移的能力，提升学生数据分析、数学抽象的核心素养.
（四）典例讲解，深化原理
例1（教材P5例3变式）： 书架的第1层放有4本相同的戏剧艺术书，第2层放有3本相同的武汉旅游书，第3层放有2本相同的武汉美食书．从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
解：从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取1本戏剧艺术书，有1种方法；
第2类方案是从第2层取1本武汉旅游书，有1种方法；
第3类方案是从第3层取1本武汉美食书，有1种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种．
例2（教材P5例3）： 书架的第1层放有4本不同的戏剧艺术书，第2层放有3本不同的武汉旅游书，第3层放有2本不同的武汉美食书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取1本戏剧艺术书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本武汉旅游书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本武汉美食书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种.
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：
第1步，从第1层取1本戏剧艺术书，有4种方法；第2步，从第2层取1本武汉旅游书，有3种方法；第3步，从第3层取1本武汉美食书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种为种.
师生活动：
师：引导学生分析题目，找到题目中“完成的一件事”的含义，分析题目所涉及的方法是否独立从而正确选择原理，对两个计数原理进行推广.
生：得到分类加法计数原理的推广及分步乘法计数原理的推广.
【设计意图】选取教材例题并加以适当的改编形成例题1、例题2，培养学生在分析问题的过程中把握住关键字词的习惯，并对分类加法计数原理、分步乘法计数原理进行推广，加深对两个计数原理的理解与认识，提升学生逻辑推理的核心素养.
（五）类比转化，再探新知
变式 书架的第1层放有4本不同的戏剧艺术书，第2层放有3本不同的武汉旅游书，第3层放有2本不同的武汉美食书．
师生活动：
师：在不改变例2的题目条件的情况下，各位同学能不能自己提出一些问题.
生：提出问题.
师：选取典型的三个问题进行串讲.
（1）现在从书架上任取2本相同种类的书，有多少种不同取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取2本戏剧艺术书，有6种方法；第2类方案是从第2层取2本武汉旅游书，有3种方法；第3类方案是从第3层取2本武汉美食书，有1种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为种.
（2）现在从书架上任取2本不同种类的书，有多少种不同取法？
完成这件事 先分类 再分布 总计
第一步 第二步
取戏剧艺术书和武汉旅游书 戏剧艺术书有4中不同的取法 武汉旅游书有3种不同的取法 4×3=12 12+8+6=26种
取戏剧艺术书和武汉美食书 戏剧艺术书有4中不同的取法 武汉美食书有2种不同的取法 4×2=8
取武汉美食书和武汉旅游书 武汉美食书有2种不同的取法 武汉旅游书有3种不同的取法 2×3=6
（3）现在从书架上任取2本书，有多少种不同取法？
解法一：任取2本书有两种情况：2本相同的书和2本不同种类的书，故不同取法的种数为种.
解法二：用分步乘法计数原理，第一步取1本书共有9种方法，第二步取1本书共有8种方法，但在取的过程中会出现重复，故不同取法的种数为种.
【设计意图】变式题的设计意图为：一方面让学生进一步理解两个计数原理中的“完成一件事”的含义，另一方面可以引出下一节的组合问题，并启发学生用数学的思维思考世界.
师生活动：
师：请各位回忆典例的过程，自己独立完成两个计数原理的异同表格.
生：思考后完成表格.
5.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 都是用来计算“完成一件事”的方法种数．
不同点 1. 事情分类完成，用加法;2. 方法之间相互独立，用任何一种方法均可完成这件事． 1. 事情分步完成，用乘法; 2. 步骤相互依存，依次完成所有步骤才能完成这件事．
关键点 不重不漏 步骤完整
【设计意图】学生独立思考将两个计数原理的相同点、不同点和注意点整理成表格，教会学生类比的学习方法，培养学生提取关键信息的能力，有利于学生理解和掌握.
（六）课堂评价，应用原理
1.（教材P6练习4）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
2.（教材P6例5） 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母或 ，后两个字符要求用数字，最多可以给多少个程序模块命名？
提升题：
3. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，那么他们不同的结账方式共有 种.
【设计意图】选择教材第6页例题、练习第4题及高考考点对应题作为当堂检测，巩固本节所学知识，帮助学生直观感受高考，认识高考.增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
（七）小结提升，理顺结构
回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）我们学习了哪两个计数原理？它们与实数运算中的加法、乘法有什么联系？
（2）两个计数原理的区别是什么？有什么联系？使用这两个原理解决实际生活问题时，应注意什么？
（3）你能解决情境引入中的汽车号牌问题了吗？带给我们的启示是什么？
师生活动 学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.
我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，两个原理的区别在于一个是“方法的分类”，另一个是“过程的分步”；一个是“类类独立”，另一个是“步步相依”；一个是“只需任何一类中的任何一种方法完成了，就可以完成这件事”，另一个是“必须每一步都完成了，才能完成这件事情”.它们的联系是乘法计数原理是相同方法数分类加法计数原理的简化，两个原理应用时要注意分类要“不重不漏”，分步要“步骤完整”.
【设计意图】进一步反思巩固所学知识，厘清知识与知识之间、新旧知识之间的联系与区别，让学生在将新知纳入已有知识体系的过程中形成新的认知结构.
（八）教学评价，应用迁移
[必做题]：
1.教材第11页习题6.1第3题：如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有多少条不同的路径？
2.从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
[拓展延伸题]：
如下图所示，大巴车从武汉天河机场A门到武汉园博园B区间有两条线路，共途经四个站点1，2，3，4. 现有一名游客想参加下午3点的活动，若某个站点堵车，将错过该活动，则该游客错过该活动的情况有 种.
【设计意图】根据学生学情分层布置作业，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦.题目主要考察两个计数原理的混合运用，培养学生的综合运用能力，培养学生数形结合、分类讨论的思维.
七、教学反思，提升能力
本节课主要讲解了计数原理的第一节内容，分类加法计数原理，分步乘法计数原理．本节课主要把握两计数原理的概念和推广，会用两原理解决一些简单的实际问题．该课的重点部分在于理解两原理的区别与联系．难点在于根据不同的实际问题要选择不同的原理来操作．在整个教学过程中，我也是这样安排教学的．从认知障碍上来说，学生学习本节内容时可能会出现以下两个问题：一是应用计数原理的意识薄弱，意识不到每一个数字背后代表的是一个事件；二是不能根据问题的特征，正确选择计数原理．因此，教学过程中将采用活动探究法，通过活动创设情境，引导学生观察、感知、联想和表达. 从学生的实际出发，将教学内容按深度、广度分成适合学生认知水平和接受能力的三个层次，同时考虑学生的个性特点和个性差异，尽量做到因材施教使每个学生都能有所收获．
针对本节课的教学过程,我认为本节课的成功之处在于整个教学过程都结合了“大单元教学”的思想，采用先建构数学基础，让学生能够在自己的认识基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主体，老师只是作为引入的桥梁．教学设计我也充分的把握了这一思想，先是问题的引入让学生自己分析，总结出两计数原理的概念，再在练习的基础上发挥学生的主动性将概念进行推广．在此过程中发挥了学生的课堂学习的主导地位．课堂小结部分通过对两原理的直观类比，让学生去发现区别，发现联系．作业布置，可以让学生从实际出发，去体会理论与实际的联系．这样就更达到教学目标．
当然本节课也有一些缺点，主要的缺点在于对问题的分析过多，虽说这样可以让学生更好的理解问题，但是这样也就减少了学生的思维过程的时间，或多或少的影响了学生学习主动性的发挥．应该在适当的时候完全放手，让学生自我学习自主探究．