人教A版（2019）高中数学必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
1
了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，渗透数形结合、类比、转化等数学思想，发展数学抽象、直观想象的素养；
2
了解球的表面积和体积计算公式，渗透一般化与特殊化、极限等思想方法，发展逻辑推理的核心素养；
3
能利用公式解决简单的实际问题，发展数学建模、数学运算的核心素养.
学习目标
“给我一个支点，就能撬起整个地球！”
创设情境
创设情境
阿基米德（公元前287年～公元前212年）
空间几何体
02
旋转体
01
多面体
表面积？
体积？
棱柱
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
圆台
球
表面积
体积
温故知新
活动一 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积.
问题1：与多面体一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和．不同之处在于，围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，如何计算这些曲面的面积呢？在此基础上，你能推导出它们的表面积公式吗？
空间曲面 平面图形
展开
转化
思想
探究新知
(r是底面半径，l是母线长)
(1)圆柱的表面积
O′
O
r
逻辑推理
(2)圆锥的表面积
(r是底面半径，l是母线长)
O
l
S
r

扇形面积公式
类比三角形
面积公式
(3)圆台的表面积
(r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
O′
O
类比梯形面积公式
问题2: 观察圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,它们之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
？
(r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
(r是底面半径，l是母线长)
(r是底面半径，l是母线长)
直观想象
探究新知
问题2: 观察圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,它们之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
？
圆台
r′=r
r′=0
圆锥
O
S
l
r

圆柱
l
O
O'
r


O'
O
r'
r
l


上底面缩小为一个点
上底面扩大到与下底面全等
(r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
(r是底面半径，l是母线长)
(r是底面半径，l是母线长)
数形
结合
探究新知
活动二 探究圆柱、圆锥、圆台的体积.
我们前面学习了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，小学时也学习了圆柱、圆锥的体积公式. (r为底面圆半径，半径S′ 、 S分别是上、下底面面积，h是高)
棱柱的体积公式： 圆柱的体积公式：
棱锥的体积公式： 圆锥的体积公式：
棱台的体积公式：
圆台的体积公式：
问题3: 如果圆台的上底面面积为 , 下底面面积为S, 高为h, 这个圆台的体积公式是怎样的？
？
类比
类比
思想
探究新知
其中 ，分别为上、下底面圆的面积，h为高．
与棱台一样,圆台是由圆锥截成的.可以“还台为锥”利用圆锥的体积公式来推导圆台的体积公式.(请同学们课后探究)
r
r'
h
h'
(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)
活动三 探究体积公式之间的联系.
问题4: 观察圆柱、圆锥、圆台的体积公式，它们之间有什么联系？你能结合圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
问题5: 结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、椎体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
探究新知
问题4: 观察圆柱、圆锥、圆台的体积公式，它们之间有什么联系？你能结合圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
？
r′=r
r′=0
上底面缩小为一个点
上底面扩大到与下底面全等
圆台
圆锥
O
S
l
r

圆柱
l
O
O'
r


O'
O
r'
r
l


(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)
(r是底面半径，h是高)
(r是底面半径，h是高)
探究新知
问题5: 结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、椎体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
？
S′=S
S′=0
上底面缩小
为一个点
上底面扩大到
与下底面全等
柱体
l
O
O'
r
h


O'
O
r'
r
l


h
台体
O
S
l
r
h

锥体
(S′、S分别是上、下底面面积，h是高)
(S是底面面积，h是高)
(S是底面面积，h是高)
一般化与
特殊化
探究新知
活动四 探究球的表面积与体积.
问题6: 教科书中直接给出了球的表面积公式 ，其中R为球半径，我们将以其为基础，来研究球的体积．首先请大家回顾一下我们以前推导圆的面积公式的方法．
探究新知
圆的面积公式的推导
分割次数越多，每个扇形就越接近于
三角形，扇形的弧可以看作三角形的
底，半径可以看作是三角形的高，
所以每个三角形的面积为Si=rli
(li为扇形的弧长).
故圆的面积为S = r(l1+l2+……+ln)
= rl = r×2πr = πr2.
分割——近似替代——由近似和转化为圆的面积
割
圆
术
问题7:类比这种方法,如何由球的表面积公式推导出球的体积公式？
探究新知
信息技术展示：探究球的体积
第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.
第二步：近似替代．当n越大时,每个小网格就越小,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,棱锥的高近似于球的半径R.设O-ABCD是其中一个“小锥体”,则它的体积是
第三步：由近似和求得球的体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此球的体积：
极限
思想
O
A
B
C
D
R
探究新知
其中，R为球的半径. 球的表面积与体积只与球的半径R有关，都是关于R的函数.
数学抽象
解析
解：
P118例3:如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3 m,圆柱的高为0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
例题
指数 陈红赞 第15页/共30页
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
1000个浮标需要的涂料
1个浮标需要的涂料
一个浮标的表面积
浮标的几何特征
数学建模
数学运算
应用新知
回归情境
P119例4：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的体积之比．
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则：
强化训练：该圆柱与球的表面积之比是 .
圆柱容球
回归情境
“幂势既同，则积不容异”
——祖暅
祖冲之
(429年－500年)
祖暅
(456年－536年)
用数学眼光观察世界
用数学思维思考世界
用数学语言表达世界
快乐着学习着 提升着
3
　　核心素养
1
知识总结
2
　　思想方法
(1)类比思想
类比
思想
(2)转化思想
转化
思想
(5)一般化与特殊化
一般化与
特殊化
(4)极限思想
极限
思想
通过本节课的学习，我们提升了逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养.
(3)数形结合
数形
结合
课堂小结
作业布置
必做题：教材第119页练习第1、2、3题；
选做题：教材第120页习题8.3第4、5、8、9题；
拓展提升：1.推导圆台的表面积和体积公式；2.阅读教材第121～123页探究与发现,并查阅相关资料,尝试用“祖暅原理”推导球的体积公式.
Thanks for your attention!
感
谢
导
指