人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
椭圆的简单几何性质(第一课时)
人民教育出版社 A版 选择性必修第一册
核心素养发展目标
在直观认识椭圆图形特点的基础上,能通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质.
1
能利用椭圆的几何性质解决一些简单的数学问题,发展数学建模、数学抽象素养.
2
体会用曲线的方程研究曲线的性质的方法 ,发展直观想象、逻辑推理、数学运算素养.
3
1.圆锥中的椭圆
2.科技、生产、生活中的椭圆
3.笔尖下的椭圆
温故知新——创设情境“重温”椭圆
5.椭圆的一条性质
4.坐标系下的椭圆的标准方程
温故知新——破译方程“推”性质
方程的特征一般表现
未知量取值范围
方程的对称性
对称性
范围式
几何性质
通过曲线方程研究几何性质的一般表现
未知量特殊取值
方程系数间的关系
顶点
？
问题1: 前面学习了椭圆的概念，并建立了椭圆的标准方程. 接下来，我们研究椭圆的几何性质. 结合以往直线与圆的方程的学习经验，你认为应该如何研究椭圆的几何性质？
回顾思考“生”方法
回顾思考“生”方法
椭
圆
观察
图形
标准
方程
进行代数推理定量刻画
对几何性质作出直观判断式
“形”
“数”
数
形
结
合
研究椭圆的几何性质的方法
回顾思考“生”方法
下面，我们利用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
研究椭圆的几何性质的方法
O
A1
A2
B2
B1
b
c
a
x
y
F1
F2
剖析图形、方程“生”性质
观察椭圆 的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
观察
O
A1
A2
B2
B1
b
c
a
x
y
F1
F2
剖析图形、方程“生”性质
O
A1
A2
B2
B1
b
c
a
x
y
F1
F2
图3.1-7
问题2：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？
探究一:范围
剖析图形、方程“生”性质
这说明椭圆位于直线 x=±a和 y=±b围成的矩形框里．
O
A1
A2
B2
B1
b
c
a
x
y
F1
F2
图3.1-7
探究一:范围
由方程 ，
可知 ，
所以，椭圆上点的横坐标都适合
不等式 ，即 ，
同理有 ，即 .
剖析图形、方程“生”性质
O
x
y
F1
F2
观察椭圆的形状
探究二:对称性
, 可以发现椭圆既是轴对称图形 , 又是中心对称图形.
问题3：如何利用方程说明椭圆的对称性？
剖析图形、方程“生”性质
综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
x
y
O
探究二:对称性
x轴
y轴
原点
(1)以-y代 y , 方程不变, 椭圆关于 对称;
(2)以-x代 x , 方程不变, 椭圆关于 对称;
(3)以-x代 x, 同时以-y代 y , 方程也不变, 椭圆关于 对称.
在椭圆的标准方程
（ ）中，
剖析图形、方程“生”性质
A1
B1
B2
A2
x
y
O
图3.1-8
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置．
问题4: 你认为椭圆 上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？
探究三:顶点
剖析图形、方程“生”性质
B1
B2
A1
A2
x
y
O
图3.1-8
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
探究三:顶点
令x=0,得y=±b. 因此B1(0,-b) ,
B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.
同理, 令y=0 ,得x=±a.因此A1(-a,0), A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴, 所以椭圆与它的对称轴有四个交点 , 这四个交点叫做椭圆的顶点.
长轴
短轴
顶点
在椭圆的标准方程
（ ）中,
剖析图形、方程“生”性质
图3.1-9
问题5:观察图3.1-9, 我们发现, 不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同. 扁平程度是椭圆的重要形状特征, 你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
探究四:离心率
剖析图形、方程“生”性质
剖析图形、方程“生”性质
方程的特征一般表现
未知量取值范围
方程的对称性
椭圆对称性
椭圆范围式
几何性质
通过方程研究椭圆的几何性质
未知量特殊取值
方程系数间的关系
椭圆顶点
？本质：椭圆定义中基本量的a与c
可以发现：
(1)当c越接近a，椭圆越扁平；
(2)当c越接近于0，椭圆越接近于圆．
信息技术演示1：
(3)如果把a、c同时缩小或扩大相同倍数时,椭圆的形状不变.
信息技术演示2：
图3.1-10
x
y
O
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
探究四:离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，
即e= .
(2)因为a>c>0，所以0当且仅当a=b时，c=0. 此时
图形变为圆，它的方程为
x2+y2=a2 .
剖析图形、方程“生”性质
O
A1
A2
B2
B1
b
c
a
x
y
F1
F2
椭圆的简单几何性质
剖析图形、方程“生”性质
椭圆的简单几何性质
剖析图形、方程“生”性质
方程的特征一般表现
未知量取值范围
方程的对称性
椭圆对称性
范围式
几何性质
未知量特殊取值
方程系数间的关系
椭圆顶点
离 心 率
离心率的本质：椭圆定义中基本量---a与c的关系
椭圆的简单几何性质
标准方程
图 形
范 围 ， .
对 称 性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点.
顶 点 A1(-a,0) ，A2(a,0)，B1(0,-b) ， B2(0,b).
离 心 率
剖析图形、方程“生”性质
例4: 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
经历实践“用”方程、性质
师生互动：已知椭圆方程，如何研究性质？
问题1：这个椭圆方程“标准”吗？
问题2：这个椭圆的焦点在哪里？
问题3：这个椭圆方程的基本量a, b, c是什么？
问题4：这个题目求的椭圆的性质是什么？
例4: 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把原方程化成标准方程，得
于是, , , .
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 和 ;
两个焦点坐标分别是
和 ;
四个顶点坐标分别是 , , 和 .
离心率 ;
经历实践“用”方程、性质
反思感悟：用标准方程研究椭圆几何性质的一般步骤
将椭圆方程化为标准形式 .
确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
求出a，b，c.
写出椭圆的几何性质.
化标准
定位置
求参数
写性质
总结反思“悟”知识
强化训练“固”知识
1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？
2.求下列椭圆的焦点坐标：
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过P(-3,0),Q(0,-2)两点 （2）长轴长等于20，离心率等于
5.比较下列每组中椭圆形状，哪一个更接近于圆？为什么？
知识总结
思想方法
几何性质
数形结合
范
围
对称性
顶
点
离心率
通过椭圆图形直观判断
用标准方程通过坐标法推理
核心素养
直观想象
逻辑推理
数学抽象
数学建模
数学运算
形
数
椭圆
总结反思、单元小结“悟”结构
总结反思、单元小结“悟”结构
未知量取值范围
方程的对称性
椭圆对称性
范围式
椭圆的几何性质
单元小结，形成结构
未知量特殊取值
方程系数间的关系
椭圆顶点
离 心 率
椭圆的离心率刻画了椭圆的什么特征？
椭圆方程
椭圆定义
研究对象
基础巩固：
教材P115 第2、3、4题.
拓展提升：
1.阅读教材P116～117用信息技术探究点的轨迹：椭圆，并写一写你的体会.
2.探究焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质.
感悟哲思“赏”应用