人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共31张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共31张PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 48.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 13:22:11 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
3.2.1 双曲线及其标准方程
双曲线型自然通风冷却塔
生活中的双曲线
定位导航
声音、信号时差测定位
利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法
思考：类比椭圆的研究过程，我们应按怎样的路径研究双曲线呢？
温故知新
方程
性质
概念
背景
应用
平面内与两个定点F1，F2的距离的和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆.
复习：椭圆的定义是什么？
温故知新
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点. 在平面内, 取定点F1 , F2, 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆, 再以F2 为圆心、线段PB为半径作圆.
信息技术探究
当点P在线段AB上运动时，如果
||PA|-|PB||
< |F1F2|<|AB|，
那么两圆相交，
信息技术探究
其交点M的轨迹是椭圆.
因为|AB|为定长，记|AB|=2a，
探究1：如图，在|AB|<|F1F2|<
|PA|+|PB|的条件下，让点P在
线段AB外运动，这时动点M满足
什么几何条件？
得||MF1| - |MF2||=2a( 0<2a<|F1F2|)
两圆的交点M的轨迹是什么形状？
探究新知
由||PA| - |PB||=2a
探究新知
探究1.1 ：当点P在点B的右侧运动时，
|MF1| -|MF2|=2a
( 0<2a<|F1F2|)
点M的轨迹是靠近点F2的一支曲线.
探究1.2 ：当点P在点A的左侧运动时，
|MF2| -|MF1|=2a
( 0<2a<|F1F2|)
点M的轨迹是靠近点F1的一支曲线.
探究新知
||MF1| -|MF2||=2a
( 0<2a<|F1F2|)
探究1：两圆的交点M的轨迹是什么形状？
双曲线
两支曲线
探究新知
符号语言： ||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)
思考
定义中需要注意什么
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
形成概念：双曲线的定义
(4)若常数,
则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平
分线.
则点M的轨迹是双曲线的一支.
则点M的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线.
则点M的轨迹不存在.
(1)定义中去掉绝对值，
(2)若常数,
(3)若常数,
定义辨析：改变定义中的条件，点M的轨迹是什么？
对称性
F1
O
F2
M
探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察双曲线的几何特征
探究新知
如图，取经过两焦点F1和F2的直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系Ox.
x
y
F1
O
F2
M
设M (x, y)是双曲线上任意一点 ,
双曲线的焦距为2c(c >0)，则焦点坐标为F1(-c, 0), F2(c ,0) .
推导方程---①建系设点
x
y
F1
O
F2
M
推导方程---②列式化简
令b2=c2-a2(b>0)
P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)}
①
(c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 )
②
x
y
F1
O
F2
M
推导方程---③检验：曲线与方程的等价性
令b2=c2-a2(b>0)
P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)}
①
(c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 )
②
x
y
F1
O
F2
M
思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b 吗？
能，此时B的坐标为( 0,b )或(0,-b).
推导方程---③检验：曲线与方程的等价性
②
焦点在轴上的双曲线的标准方程为
焦点分别是F1 (-c, 0 ), F2(c, 0 )，这里c2=a2+b2．
x
y
O
F1
F2
M
双曲线的标准方程
F1
F2
思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？
双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1（0 ，-c），F2（0 ，c）．
a ，b 的意义同上，这时焦点在轴上的双曲线的标准方程是：
如图，
x
y
M
双曲线的标准方程
F ( ±c, 0)
F ( 0,±c )
焦点在x轴上的双曲线
焦点在轴上的双曲线
双曲线的标准方程
图象
方程
焦点
a,b,c 的关系
焦点位置
曲线 椭 圆 双曲线 定义 a,b,c关系 标准方程 焦点在x轴上 焦点在轴上 焦点在x轴上
焦点在轴上
比较椭圆、双曲线的标准方程
②双曲线看符号：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上.
①椭圆看大小：谁的分母大，焦点就在哪个轴上.
思考：焦点位置怎样确定？
已知双曲线的两个焦点分别F1(-5, 0), F2(5, 0), 双曲线上一点P与F1 , F2的距离差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.
1.先用几何的眼光观察：定焦点位置，设方程.
2.再用代数的方法解决：求基本量，写方程.
例题讲解
求双曲线的标准方程需要注意什么？
思考：
例1
由 2c=10，2a=6 ，得 c=5，a=3，
因此 b2=c2-a2=25-9=16.
所以，双曲线的标准方程为 .
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以
设它的标准方程为
例1
反思感悟：待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
设出双曲线的标准方程.
求出a，b，c.
写出双曲线的标准方程.
定位置
设方程
求参数
写方程
已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
P
800m
B
A
思考：如何求炮弹爆炸点的轨迹方程？
例题讲解
先用几何眼光观察: 由题意炮弹爆炸点与A、B两地的距离之差是680 m为定值，知炮弹爆炸点的轨迹是靠近B处的双曲线的一支．
例2
解：如图, 建立平面直角坐标系xOy, 使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段A B的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为 (x, y) , 则
P
B
A
x
y
o
因为|PA| - | PB| =680>0, 所以点P的轨迹是双曲线的右支, 因此x ≥ 340.
所以, 炮弹爆炸点的轨迹方程为 .
|PA| - | PB| =340×2=680, 即2a=680, a=340.
例2
思考：作为查勘员的你，如何及时找到
炮弹爆炸点前去勘察呢？
探究：通过声音、信号时差测定位
P
B
A
y
利用两个不同的观测点A ，B 测得同一点P 发出信号的时间差，可以确定点 P 所在双曲线的方程 .
P
O
A
B
x
C
探究：通过声音、信号时差测定位
如果再增设一个观测点C ，利用B，C (或A ， C )两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点 P 所在另一双曲线的方程.
解这两个方程组成的方程组，就能确定P点的精确位置，这是双曲线的一个重要应用.
焦点坐标
方程
图象
(1)知识:双曲线及其标准方程
(2)思想方法：
课堂小结
定义
焦点位置
a,b,c 的关系
||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)
焦点在x轴上
焦点在轴上
F ( ±c, 0)
F ( 0,±c )
数学抽象
数学运算
直观想象
逻辑推理
数学建模
数学抽象
数学运算
直观想象
数学建模
逻辑推理
数形结合、
类比、
分类讨论
坐标法、
待定系数法、
自主探究
将细绳的两端分别固定在图板的两点处，在绳子的非中点处打个结，翻转细绳，形成一个交叉点，将笔尖放在交叉点上方，拉紧绳子打结处，移动笔尖，画出图形. 交换细绳的两端，同样再画出图形.
动手实践：请同学们借助“笔尖下的双曲线”探究双曲线的相关问题，并对本节课的所学内容进行回顾与反思.
学习评价
基础巩固：教材第121页练习第1、2题；
能力提升：教材第121页习第3、4题；
拓展探究：如图3.2-6，设A , B两点坐标分别(-5, 0)，
(5, 0)，直线AM , BM相交于点M ，且它们的斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？
图3.2-6
3.2.1 双曲线及其标准方程
双曲线型自然通风冷却塔
生活中的双曲线
定位导航
声音、信号时差测定位
利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法
思考：类比椭圆的研究过程，我们应按怎样的路径研究双曲线呢？
温故知新
方程
性质
概念
背景
应用
平面内与两个定点F1，F2的距离的和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆.
复习：椭圆的定义是什么？
温故知新
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点. 在平面内, 取定点F1 , F2, 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆, 再以F2 为圆心、线段PB为半径作圆.
信息技术探究
当点P在线段AB上运动时，如果
||PA|-|PB||
< |F1F2|<|AB|，
那么两圆相交，
信息技术探究
其交点M的轨迹是椭圆.
因为|AB|为定长，记|AB|=2a，
探究1：如图，在|AB|<|F1F2|<
|PA|+|PB|的条件下，让点P在
线段AB外运动，这时动点M满足
什么几何条件？
得||MF1| - |MF2||=2a( 0<2a<|F1F2|)
两圆的交点M的轨迹是什么形状？
探究新知
由||PA| - |PB||=2a
探究新知
探究1.1 ：当点P在点B的右侧运动时，
|MF1| -|MF2|=2a
( 0<2a<|F1F2|)
点M的轨迹是靠近点F2的一支曲线.
探究1.2 ：当点P在点A的左侧运动时，
|MF2| -|MF1|=2a
( 0<2a<|F1F2|)
点M的轨迹是靠近点F1的一支曲线.
探究新知
||MF1| -|MF2||=2a
( 0<2a<|F1F2|)
探究1：两圆的交点M的轨迹是什么形状？
双曲线
两支曲线
探究新知
符号语言： ||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)
思考
定义中需要注意什么
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
形成概念：双曲线的定义
(4)若常数,
则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平
分线.
则点M的轨迹是双曲线的一支.
则点M的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线.
则点M的轨迹不存在.
(1)定义中去掉绝对值，
(2)若常数,
(3)若常数,
定义辨析：改变定义中的条件，点M的轨迹是什么？
对称性
F1
O
F2
M
探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察双曲线的几何特征
探究新知
如图，取经过两焦点F1和F2的直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系Ox.
x
y
F1
O
F2
M
设M (x, y)是双曲线上任意一点 ,
双曲线的焦距为2c(c >0)，则焦点坐标为F1(-c, 0), F2(c ,0) .
推导方程---①建系设点
x
y
F1
O
F2
M
推导方程---②列式化简
令b2=c2-a2(b>0)
P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)}
①
(c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 )
②
x
y
F1
O
F2
M
推导方程---③检验：曲线与方程的等价性
令b2=c2-a2(b>0)
P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)}
①
(c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 )
②
x
y
F1
O
F2
M
思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b 吗？
能，此时B的坐标为( 0,b )或(0,-b).
推导方程---③检验：曲线与方程的等价性
②
焦点在轴上的双曲线的标准方程为
焦点分别是F1 (-c, 0 ), F2(c, 0 )，这里c2=a2+b2．
x
y
O
F1
F2
M
双曲线的标准方程
F1
F2
思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？
双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1（0 ，-c），F2（0 ，c）．
a ，b 的意义同上，这时焦点在轴上的双曲线的标准方程是：
如图，
x
y
M
双曲线的标准方程
F ( ±c, 0)
F ( 0,±c )
焦点在x轴上的双曲线
焦点在轴上的双曲线
双曲线的标准方程
图象
方程
焦点
a,b,c 的关系
焦点位置
曲线 椭 圆 双曲线 定义 a,b,c关系 标准方程 焦点在x轴上 焦点在轴上 焦点在x轴上
焦点在轴上
比较椭圆、双曲线的标准方程
②双曲线看符号：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上.
①椭圆看大小：谁的分母大，焦点就在哪个轴上.
思考：焦点位置怎样确定？
已知双曲线的两个焦点分别F1(-5, 0), F2(5, 0), 双曲线上一点P与F1 , F2的距离差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.
1.先用几何的眼光观察：定焦点位置，设方程.
2.再用代数的方法解决：求基本量，写方程.
例题讲解
求双曲线的标准方程需要注意什么？
思考：
例1
由 2c=10，2a=6 ，得 c=5，a=3，
因此 b2=c2-a2=25-9=16.
所以，双曲线的标准方程为 .
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以
设它的标准方程为
例1
反思感悟：待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
设出双曲线的标准方程.
求出a，b，c.
写出双曲线的标准方程.
定位置
设方程
求参数
写方程
已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
P
800m
B
A
思考：如何求炮弹爆炸点的轨迹方程？
例题讲解
先用几何眼光观察: 由题意炮弹爆炸点与A、B两地的距离之差是680 m为定值，知炮弹爆炸点的轨迹是靠近B处的双曲线的一支．
例2
解：如图, 建立平面直角坐标系xOy, 使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段A B的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为 (x, y) , 则
P
B
A
x
y
o
因为|PA| - | PB| =680>0, 所以点P的轨迹是双曲线的右支, 因此x ≥ 340.
所以, 炮弹爆炸点的轨迹方程为 .
|PA| - | PB| =340×2=680, 即2a=680, a=340.
例2
思考：作为查勘员的你，如何及时找到
炮弹爆炸点前去勘察呢？
探究：通过声音、信号时差测定位
P
B
A
y
利用两个不同的观测点A ，B 测得同一点P 发出信号的时间差，可以确定点 P 所在双曲线的方程 .
P
O
A
B
x
C
探究：通过声音、信号时差测定位
如果再增设一个观测点C ，利用B，C (或A ， C )两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点 P 所在另一双曲线的方程.
解这两个方程组成的方程组，就能确定P点的精确位置，这是双曲线的一个重要应用.
焦点坐标
方程
图象
(1)知识:双曲线及其标准方程
(2)思想方法：
课堂小结
定义
焦点位置
a,b,c 的关系
||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)
焦点在x轴上
焦点在轴上
F ( ±c, 0)
F ( 0,±c )
数学抽象
数学运算
直观想象
逻辑推理
数学建模
数学抽象
数学运算
直观想象
数学建模
逻辑推理
数形结合、
类比、
分类讨论
坐标法、
待定系数法、
自主探究
将细绳的两端分别固定在图板的两点处，在绳子的非中点处打个结，翻转细绳，形成一个交叉点，将笔尖放在交叉点上方，拉紧绳子打结处，移动笔尖，画出图形. 交换细绳的两端，同样再画出图形.
动手实践：请同学们借助“笔尖下的双曲线”探究双曲线的相关问题，并对本节课的所学内容进行回顾与反思.
学习评价
基础巩固：教材第121页练习第1、2题；
能力提升：教材第121页习第3、4题；
拓展探究：如图3.2-6，设A , B两点坐标分别(-5, 0)，
(5, 0)，直线AM , BM相交于点M ，且它们的斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？
图3.2-6