人教版（河北专用）数学八下21.1.2多边形及其内角和 教案

21.1.2 多边形及其内角和
课题 多边形及其内角和 课型 新授课
教学内容 教材第49-52页的内容
教学目标 1.了解多边形的有关概念； 2.探索并证明多边形内角和公式； 3.能运用多边形内角和公式及外角和解决问题.
教学重难点 教学重点：多边形的有关概念；多边形外角和公式. 教学难点：运用多边形内角和公式及外角和解决问题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课 我们学习过三角形和四边形的内角和外角，三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，那么关于多边形的内角、外角又有什么样的结论呢？这节课我们就来探讨关于多边形及其内角和的问题. 2.发现探究，学习新知 【问题1】你能从图1中想象出几个由一些线段围成的图形吗？类比三角形的定义,你能给多边形下定义吗 图1 学生边看、边议，教师引导学生回忆三角形及四边形的定义，并仿照三角形及四边形的定义给多边形下定义：在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2,A2A3,…,An-1An,AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义. 追问：多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形，你能说出图2是几边形吗？ 图2 图3 教师介绍多边形的分类，学生回答图2是五边形. 追问:在四边形中，我们专门研究了它的内角、外角，类似地，你能结合图2和图3指出这个五边形的内角、外角吗 学生答：图2中的∠A，∠B,∠C,∠D,∠E是五边形ABCDE的5个内角，图3中的∠1是五边形ABCDE的一个外角. 教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 追问:连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.如图4，从五边形ABCDE的一个顶点出发可以得到几条对角线 过六边形ABCDEF的项点C画出所有的对角线，此时共有几条对角线？ 图4 教师介绍对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线. 学生通过画图回答问题. 追问4：正方形的边、角有什么特点？你能给合正多边形下定义吗？图5中的各个图形分别读作什么？ 学生回答，并给正多边形下定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形. 教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例（如一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形，一般的菱形各边都相等，也不是正方形），说明“各个角都相等、各条边都相等”两个条件缺一不可； 学生指出图5中的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形. 图5 【问题2】我们知道，三角形的内角和等于180°，四边形的内角和都等于360°，那么，任意一个多边形的内角和是否等于360°呢 能证明你的结论吗 教师引导学生分析问题解决的思路---回顾如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和.只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形(图1). 图1 图2 图3 追问1:类比前面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？ 学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报，学生类比四边形内角和的研究过程，得出：从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形（如图2）进而得出五边形的内角和为(5-2)×180°=540°. 教师进一步启发学生从顶真点或边两个角度解释(从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形;从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形），进而可以得出五边形内角和为(5-2)×180°=540°. 追问2:如图3，从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× . 学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问2. 【问题3】你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发,发现多边形的内角和与边数的关系吗 能证明你发现的结论吗 学生独立思考后，回答出n边形的内角和等于（n-2)×180°，然后师生共同分析证明思路.证明过程如下: 如图4，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2)个三角形，这（n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以n边形的内角和等于（n-2)×180°. 图4 图5 追问:通过前面的探究，填写下面表格: 边数从某顶点出发的对角线数三角形数内角和456……n
师生共同填写表格，得出规律:多边形的边数增加1，内角和就增加180°. 【问题4】如图5，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 教师引导学生从多边形每个外角与其相邻内角的关系入手开始探究，进而由内角和推出外角和.求解过程如下： 六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于 6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°. 追问：如果将六边形换为n边形（n≥3），可以得到同样结果吗？ 引导学生按照六边形外角和的方法自助探究n边形的外角和.n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和，即 n×180°-(n-2)×180°=360°. 教师给出结论：多边形的外角和等于360°. 3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的内角和 【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 答案：互补 考点2 多边形的外角和 【例2】一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 答案：六边形 4.随堂训练，巩固新知 【教材变式1】填空: （1）十边形的内角和为 . （2）已知一个多边形的内角和为1080 ，则它的边数为 . 答案：（1）1440 （2）8 【教材变式2】一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为_____________. 答案：15，16或17. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.n边形的内角和和外角和分别是多少？ 6.布置作业 1.教材P52练习第1-2题； 2.教材P52习题第2，3,4,6,7,9题. 让学生类比三角形及四边形的定义给多边形下定义，感悟类比方法的重要作用. 让学生了解多边形的概念，并通过类比的方法，了解多边形的内角、外角. 让学生了解对角线的概念，通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线，为研究n边形的内角和作铺垫. 让学生类比正方形学习正多边形，提高学生的学习能力. （1）从学生热悉的、已知的特例出发，回顾四边形和三角形之间的联系，为最 一般问题作铺垫；(2)通过连接多边形的对角线，将多边形分割成多个三角形，得出四边形内角等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单主的基本单元的化归思想. 将研究方法进行迁移，明确边角、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础. 让学生进一步体会将六边形分割成几个三角形的化归过程，明确相关因素(边数对角线条教、三角形数）对六边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究莫定基础. 设计意图:让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用. 通过填写表格，回顾n边形内角和的探索思路. 探究六边形外角和，根据外角与内角的关系，由六边形的内角和推外角和，进而研究n边形的外角和，实现从特殊到一般的转化. 教师应强调多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括多边形的内角和与多边形的外角和. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 21.1 四边形及多边形及其内角和 21.1.2 多边形及其内角和 1.多边形及相关概念 2.n边形的内角和：（n-2)×180°. 3.n边形的外角和：360°. 例题 练习
教学反思 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．
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