人教版（河北专用）数学八下23.3一次函数与方程（组）、不等式 教案

23.3 一次函数与方程（组）、不等式
课题 一次函数与方程（组）、不等式 课型 新授课
教学内容 教材第127-130页的内容
教学目标 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组)、一元一次不等式之间的联系. 会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
教学重难点 教学重点：理解函数与方程、不等式的联系，利用函数求方程、不等式的解集. 教学难点：用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 （1）在平面直角坐标系中画出函数y＝x-2的图象，并标出函数图象与x轴的交点. （2）求出下列方程、不等式的解. ①x-2>0;②x-2=0;③x-2<0. 师生活动：教师引导学生观察函数图象与x轴的交点与方程、不等式的解之间的关系，让学生初步感知它们之间有一定的联系． 2.发现探究，学习新知 【问题1】（1）解方程：2x-1=0. （2）已知一次函数y=2x-1，x取何值时，y=0 师生活动：教师预留时间让学生独立解决问题1，遇到问题小组讨论交流，教师巡视，留意大部分学生有问题的地方，进行重点讲解. 分析：关于问题1（1），容易求出它的解为x=0.5. 关于问题1（2），即可转化为令y=2x-1中y=0，即2x-1=0.因此发现（1）和（2）是同一问题的不同表达. 教师追问：除此之外，还有其他方式吗？（学生思考讨论后，教师提醒，可以从函数图象的角度考虑） 师生共同得出结论：画出y=2x-1的图象. 从图中可以看出，一次函数y＝2x-1的图象与x轴交点坐标为（0.5，0），这就是当y=0时，得x=0.5，而x=0.5正是方程2x-1=0的解. 师生活动：教师引导学生从函数的角度看一元一次方程．学生小组讨论之后，派出代表汇报想法，教师帮助总结：从函数的角度看，解这个方程相当于在一次函数y=2x-1的函数值为0时，求自变量x的值.或者说，在直线y=2x-1上取纵坐标分别为0的点，看它们的横坐标分别为多少. 教师追问：我们知道任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0 (a≠0)的形式，那么解一元一次方程是不是就相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值为0时,求自变量x的值呢？ 师生活动：学生思考讨论后回答：是. 【问题2】如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗 师生活动：教师引导学生类比一元一次方程，自主探究从函数的角度看一元一次不等式． 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5.由此得出不等式2x-1＞0的解集是x＞0.5，2x-1＜0的解集是x＜0. 5. 对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围 【问题3】对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 师生活动：学生独立解决问题： 师生活动：教师引导学生结合前两个问题的探究，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1和y=-x+的图象．这两条直线的交点坐标为（1，1)，这也说明方程的解为. 教师追问：你能将上述一次函数与一元二次方程的关系推广到一般形式吗？ 师生活动：教师引导学生仿照前两个问题中的方法得出： 由于每个含未知数x和у的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 教师做出总结：方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来．解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑. 一般地，由于含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值，从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 学以致用，应用新知 【例】同时释放两个探测气球，1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1h． 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系. 师生活动：学生独立解决问题： 气球上升时间x满足0≤x≤60. 1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15. 教师追问：在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？ 师生活动：教师引导学生思考在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（O≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决． 教师追问：上面的说法也可以转化为二元一次方程y=x+5和y=0.5x+15有相同的x和y，你能联想到什么？ 师生活动：教师引导学生想到解二元一次方程组 即解得这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 教师追问：你可以利用函数图象解释上述问题吗？ 师生活动：教师引导学生结合前两个问题的探究，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象．这两条直线的交点坐标为（20，25)，这也说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若直线y＝2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程2x＋b＝0的解是（A） A.x＝－3 B．x＝－2 C．x＝6 D．x＝－ 答案：A （2）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax＋2相交于点A（m，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） 答案：C （3）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b(a≠0)相交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是( ) A.x=20 B.x=5 C.x=25 D.x=15 答案：A （4）如图，已知一次函数y＝kx＋b，观察图象回答下列问题： 当x> 时，kx＋b>0；当x> 时，kx＋b>1. 答案：2.2 3 （5）如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为　 　. 答案：x<-1 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能描述一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系吗？ 6.布置作业 教材P130练习第1，2，3题. 教材P130习题23.3第1，2，3题. 通过直观观察这三个式子与对应一次函数解析式，联合一次函数的意义，使学生产生深入探究的欲望，更好地进入新课． 通过左边是2x＋1，右边是常数的三个方程，结合函数y=2x+1的图象，通过直观的观察分析一次函数与一元一次方程的关系，教学过程中引导学生观察分析、分组讨论，培养学生分析能力和合作意识. 以同样的方法研究一次函数与一元一次不等式的关系，体现出研究方法的一致性，教师鼓励学生自主探究，教师加以引导，培养学生自主学习的能力. 联系一次函数图象，体现一次函数与二元一次方程组之间的联系.并将该关系推广到一般情况. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组. 以实际问题为背景得出两个气球对应的函数，研究自变量和因变量分别相等的情况，转化为解二元一次方程组的问题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程： 例题 2.一次函数与一元一次不等式： 练习 3.一次函数与二元一次方程组：
教学反思 本节课由一次函数讨论了一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组，本节用函数的观点对它们进行分析.教学中，一定要把握内容的要求尺度.通过本节课的教学，应加强知识间横向和纵向的联系.发挥函数对相关内容的统作用，能用一次函数的观点把以前学习的方程与不等式进行整合.
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