27.2.2相似三角形的性质 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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27.2.2相似三角形的性质 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．若（其中点和、和、和分别对应），且，，则的周长和的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶1,若△ABC的周长是8 cm,则△DEF的周长是（ ）
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
3．如图，中，于E．的长为（ ）
A．3 B． C． D．
4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．∠B=∠E C． D．
5．如图，在中，点E为的中点，点F为的中点，连接，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作//，//．分别交、、、于、、、，连接．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为 ．
10．如图，交于点C，，若，则 ．
11．如图，在中，AD为BC边上中线，将沿AD翻折得到，AB'交BC于点H，连接B'C，已知，AC=6，则到AC的距离是 ．
12．如图，在中，，点D是的中点，连接，点E是上一点，且，点F是的中点，连接，则的长为 ．
13．如图，边长为的正方形中，为的中点，连接交于，连接，过作交的延长线于，则的长为 ．
三、解答题
14．如图，在中，，求的长度．
15．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和点，观察者在点．适当调整，使得与都与河岸垂直．此时与相交于点，若测得，，请利用这些数据计算河的宽度．

16．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹）
　　　　　图1　　　　　　　　　图2
(1)如图1，作出线段AB的中点P．
(2)如图2，作出线段AB的三等分点Q．
17．在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．
（1）试说明△AMD∽△EMB；
（2）求的值．
18．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
(1)求证：；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
19．如图，正方形的边长为4，点在边上，，连接交于点，过点作，交于点．
(1)求的长；
(2)求的长．
20．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C C B B D
1．C
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比,对应边比等于相似比,求出相似比即可解题.
【详解】由题可知：的相似比等于,
∵相似三角形周长比等于相似比,
∴的周长和的周长之比是
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比和相似比的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
2．B
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶1，
∴C△ABC：C△DEF=2：1，
则C△DEF==4cm.
故选B.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比.
3．A
【分析】先证明，找出BE=2 DE，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意知：∠BED=∠C，∠B=∠B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BE=2DE，
由勾股定理知：,
代入计算得：BE=2，
又，
∴AE=5-2=3，
故答案为：A
【点睛】此题考查三角形相似，涉及到勾股定理求解，难度一般．
4．C
【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例解答即可．
【详解】△ABC∽△DEF，故：
A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；
B．∠B=∠E正确，故本选项错误；
C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；
D．正确，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例，作出图形更形象直观．
5．C
【分析】连接，根据中位线定理得到，即可得到，即可得到面积比，即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C；

【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据中位线得到相似．
6．B
【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，得出比例式，进一步求得答案即可．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=．
∵AD=1，DB=2，∴=，∴=．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定方法是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据题意证明△AEP∽△CFP，则有，整理得，FC EP=AE PF=8×3=24，通过矩形性质可得到阴影部分的面积为 FC EP，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD
∴△AEP∽△CFP
∴
∴FC EP =AE PF=8×3=24
又∵EF∥BC
∴四边形EFCB为矩形
∴EB=FC
∵阴影部分的面积为 BE PE
∴阴影部分的面积为 BE PE= FC PE=×24=12
故选：B．
【点睛】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质．关键能把相似三角形的比例关系与三角形的面积联系起来进行解题．
8．D
【分析】作OGCD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．
【详解】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．﹣8．
【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴，
∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO=，
∴，即BD=4，DO=2，∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y=的图象经过点B，
∴k的值为﹣2×4=﹣8．
故答案为﹣8．
10．2
【分析】根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】根据翻折的性质、中线的性质得到，推出，由此证明，根据三角形相似的性质可计算得，再根据三角形的面积公式列方程即可得解．
【详解】解：设到AC的距离是h，
由已知：，，
由翻折性质，
，
由三角形中线性质，，
，
，
，
，，
又，
，
，
，
又已知，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用三角形面积公式建立一元一次方程，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中线的性质，翻折变换的性质；掌握好相关的性质，进行面积的转化是本题的关键．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线是斜边一半的性质，证明是解题的关键．连接，证明得，根据直角三角形斜边中线的性质可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∵D是的中点，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=1，利用MN∥CD得： ，
求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．
【详解】作MN⊥AD垂足为N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME
∵AE=ED=AD=2，
∴AN=NE=AE=1，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴△MNE∽△CDE，
∴=，
∵CD=4，
∴MN=2，
在RT△MND中，∵MN=2，DN=3，
∴DM= = = ，
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
14．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
15．
【分析】证明，得，求得．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：河的宽度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，判定相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点C，D，连接CD交AB于点P，点P即为所求；
（2）取格点E，F，M，N，连接EF，MN交AB于点Q，点Q′即可．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
∵AD∥CB，AD=5，CB=5，
∴，
∴点P是线段AB的中点；
（2）解：如图，点Q或点Q′即为所求．
∵AE∥FB，AE=2，FB=4，
∴，
∴，
∴点Q是线段AB的三等分点；
同理，点Q′也是线段AB的三等分点．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
17．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据四边形ABCD得出AD∥BC，∠ADB=∠DBC，根据对顶角相等得出∠AMD=∠BME，即可求证△AMD∽△EMB；
（2）根据四边形ABCD得出AD∥BC，求证△FND∽△ENB，然后根据相似三角形对应边成比例即可得出结果．
【详解】解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC，
∠AMD=∠BME，
∴△AMD∽△EMB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△FND∽△ENB，
∴．
【点睛】本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质的理解和掌握，注意掌握数形结合思想的应用．
18．(1)见解析
(2)①8②4﹣4
【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论．
（2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；
（2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB＝AC＝，
∵△BAN∽△CMA，
∴ ，
∴，
∴BN CM＝8，
故BN CM的值为8；
②∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN CM＝8，
∴BN＝CM＝，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝，
故MN的长为．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例；
（1）利用正方形性质，证明，可得，再根据平行线分线段成比例列式求出，即可求解．
（2）根据平行线分线段成比例列式求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到；
（3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
延长到点，使，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：是矩形，且，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形为平行四边形，，相交点，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
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