27.2.3相似三角形应用举例 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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27.2.3相似三角形应用举例 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．6m B．8.8m C．12m D．30m
2．如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB的高度（精确到1米）为（　　）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
4．2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．10cm2 D．25cm2
5．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为，则电线杆的高是（ ）．

A． B． C． D．
6．如图一块直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，截得两个正方形DEFG，BHJN，设S1＝DEFG的面积，S2＝BHJN的面积，则S1、S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
7．要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根1米长的竹竿在地面上的影长为0.4米，此刻树的影子不全落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为0.2米，一级台阶的垂直高度为0.3米，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是边AD中点， 点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则△DEG的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
10．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于 m.
11．如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1．5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为 ．
12．如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为 ．
13．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？

译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在B处和D处树立标杆和，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔步（1丈=10尺，1步=6尺），并且和在同一平面内．从标杆后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰的高度是 ．

14．将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点．
（1）收纳盒的长 ；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点．
三、解答题
15． 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度．
16．如图，平行于BC的直线DE把分成面积相等的两部分，试确定点D（或E）的位置．
17．如图为测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？
18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
19．榆林市新闻大厦设计融合了陕北窑洞和民间剪纸艺术，“H”型的双塔建筑隐寓榆林开诚、开放、开明、开创的城市精神，大厦双塔建筑既独立又统一的建筑艺术美，是西部地区文化传媒类项目中的精品．某实践小组欲测量新闻大厦的高度，如图为新闻大厦的大致结构示意图（其底部B处可以到达，顶部A处不易到达，且垂直于地面），请你根据下列条件，帮该实践小组设计一种测量方案：
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：测量者只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮卷尺三种工具．
(1)你所选用的测量工具是_________；（填序号）
(2)请在图中画出测量示意图并写出测量数据（不要求写出测量过程）；（线段长度用a，b，c……表示）
(3)根据你的测量数据，计算该新闻大厦的高度．（用含a、b、c……的式子表示）
20．刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D A B C B
1．C
【分析】根据此时旗杆与竹竿平行即可证相似，再根据相似三角形的性质列比例方程即可.
【详解】解:如下图所示：∵竹竿ED∥旗杆CB
∴△ADE∽ABC
∴
∴
解得：旗杆BC=12m
故选C.
【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的性质列比例方程是解决此题的关键.
2．C
【分析】可由相似三角形的性质对应边成比例建立线段之间的关系，进而求解线段的长度即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
又，，，
代入可得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，能够求解一些简单的计算问题是解题的关键．
3．B
【分析】由CD∥AB及FG∥AB，分别得△EDC∽△EBA及 △HGF∽△HBA，根据相似三角形的性质得关于AB、BD的方程组，解得BD，AB即可．
【详解】∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，即＝①，
∵FG∥AB，
∴△HGF∽△HBA，
∴＝，即＝②，
①﹣②得＝，解得BD＝7.5，
∴＝，
∴AB＝5.95≈6（米）．
即路灯杆AB的高度（精确到1米）为6m．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、方程组的解法，关键是相似三角形的性质得到关于AB、BD的方程组．
4．D
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，根据EF∥BC可知△AEF∽△ACB，故∠AEF=∠C=30°，设EF=x，则，故，再由矩形的面积公式即可得出结论．
【详解】∵Rt△ABC中,∠C=30 ，AB=10cm，
∴cm.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=30°，
设EF=x,则，
∴，
∴S矩形BDEF=BD BF=x ()=，
∴当x=时,S最大=.
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数与三角函数的应用，解题关键是根据题意列出关于x的二次函数，利用二次函数的最值问题求解．
5．A
【分析】如图，先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，则AM=70cm=0.7m，AN=25m，BC=14cm=0.14m，

∵BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∴EF= =5（m）．
答：电线杆的高度为5m．
故选A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键．
6．B
【分析】根据勾股定理求出AC，求出AC边上的高BM，根据相似三角形的性质得出方程，求出方程的解，即可求得S1，如图2，根据相似三角形的性质列方程求得HJ＝，于是得到S2＝（）2＞（）2，即可得到结论．
【详解】解：如图1，设正方形DEFG的边长是x，
∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴由勾股定理得：AC＝5，
过B作BM⊥AC于M，交DE于N，
由三角形面积公式得：BC×AB＝AC×BM，
∵AB＝3，AC＝5，BC＝4，
∴BM＝2.4，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝GF＝EF＝DE＝MN＝x，DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即正方形DEFG的边长是；
∴S1＝（）2，
如图2，
∵HJ∥BC，
∴△AHJ∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴HJ＝，
∴S2＝（）2＞（）2，
∴S1＜S2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，正方形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．C
【分析】可以根据题意构造出一个三角形模型，然后利用相似三角形的性质求物体的高度即可.
【详解】根据题意可以构造出以下三角形模型
其中AB为树高，EF为树影在台阶上的影长，BD为树影在地面上部分的长，ED为台阶高.
延长FE交AB于点G
则
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形测量物体的高度，找到相似三角形是解题的关键.
8．B
【详解】试题解析：过点G作GM⊥AD于M,如图,
∵FE⊥BE，
而
∴∠ABE=∠DEF，
而∠A=∠EDF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB:DE=AE:DF，即2:1=1:DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△DGM为等腰直角三角形，
∴DM=MG，
设DM=x，则MG=x，EM=1 x，
∵MGDF，
∴△EMG∽△EDF，
∴MG:DF=EM:ED,即解得
故选B.
9．6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：6．
10．6
【详解】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即：，解得：AB=6（m）.
故答案为6.
11．7m．
【分析】过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H，根据EF∥AB∥C′D′可求出AG、EG、GH，再根据相似三角形的判定定理可得△C′AG∽△C′EH，再根据三角形的相似比解答即可．
【详解】解：过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H．
因为EF∥AB∥C′D′，所以HF=GB=C′D′．
所以AG=AB-GB=AB-C′D′=2-1.5=0.5m
C′G=D′B=2m，GH=BF=20m
CH=CD-1.5m
又因为
所以EH=5.5m，
即旗杆的高EF=7m．
故答案为：7m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
12．
【分析】作DE⊥AC于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从而得到△DAE∽△ACB，求得AB=16cm，利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】如图，作DE⊥AC于点E，
∵道路的宽为4m，
∴DE=4米，
∴AE=3m，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△DAE∽△ACB，
∴ DE：AB = AE：BC，
即4：AB = 3：12，
解得：AB=16（cm），
∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），
故答案为80.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质求得线段AB的长．
13．1255步
【分析】先证、可得、，再结合可得，进而求得（步），最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴（步），
又∵，
∴（步），
故答案为：1255步．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，根据题意、正确找到相似三角形是解答本题的关键．
14． cm 7
【分析】（1）由图知，已知，根据得到，在Rt中根据勾股定理得到，从而得到结论；
（2）延长交BC于G'，如图2所示，由（1）知在Rt中，，
根据，得到，由得到最多有7本书可与边BC有公共点．
【详解】解：（1）如图所示：
在Rt中，，，，则，
，
，
连接，如图所示：
恰好能盖上盒盖，
，
词典是长方体，
，即，
在Rt中，，
，
，
，即，解得，
将词典无滑动向右倒，
，
书角的对应点恰为CD中点，
，
在Rt中，，，，则，
，
收纳盒的长cm，
故答案为：cm；
（2）延长交BC于G'，如图2所示：
由（1）知，
，，
由（1）知
，
，
，
由（1）知在Rt中，，，，则，
，解得，
由（1）知，
，
最多有7本书可与边BC有公共点．
【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键．
15．AB＝6米．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB＝6米．
答：树AB的高度为6米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
16．点D到点A的距离等于AB长度的（或点E到点A的距离等于AC长度的）的位置．
【分析】先由DE∥BC得△ADE∽△ABC，再由已知DE把△ABC分成面积相等的两部分，可得S△ADE与S△ABC的数量关系，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式，计算即可求得AD与AB或AE与AC的数量关系，从而问题得解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE=S四边形BCED，
∴S△ADE=S△ABC，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴()2=()2=，
∴==，
∴AD=AB，AE=AC．
答：点D到点A的距离等于AB长度的（或点E到点A的距离等于AC长度的）的位置．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17．DE= cm
【详解】试题分析：利用平行证明CDECAB,所以对应边成比例求DE长.
试题解析：
DE∥AB,CDECAB,
,
，
DE= cm.
18．40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
∴米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
19．(1)①③
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得∶ 选用的测量工具是①③；
（2）根据题意画出图形，并测得测得，即可求解．
（3）先证得，可得，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得∶ 选用的测量工具是①③；
故答案为∶ ①③
（2）解∶ 测量示意图如图所示．测得．
（3）解∶ ∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴该新闻大厦的高度为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．AH为1255步，HB为30750步
【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，
∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，
∴∠AHF＝∠CBF，
∵∠AFB＝∠CFB，
∴△CBF∽△AHF，
∴
同理可得
∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，
∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×＝5步，
∴
解得HB＝30750，HA＝1255步，
答：AH为1255步，HB为30750步．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
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