27.3位似 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.3位似 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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27.3位似 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，，，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点P
B．、点P
C．2、点O
D．、点O
7．在直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把线段OA缩小为，则点A的坐标为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ．
11．在平面直角坐标系中，已知点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A对应点A′的坐标是 ．
12．在直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为 ．
13．如图,已知线段AB=9，点C为线段AB上一点,AC=3,点D为平面内一动点,且满足CD=3,连接BD将BD绕点D逆时针旋转90到DE，连接BE、AE,则AE的最大值为 ．
14．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的坐标分别为A（﹣6，6），B（﹣8，2），C（﹣4，0），D（﹣2，4）．
（1）画出一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1：2的位似图形．
（2）直接写出点的坐标：A′（ ），B′（ ），C′（ ），D′（ ）．
16．请在如图所示的正方形网格纸中，以为位似中心，将放大为原来的倍．
（画出2个不同位置的图形，分别标注为和）
17．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，1）、B（3，3）、C（3，0）．
①根据题意，请你在图中画出△ABC；
②以B为位似中心，在如图的格子中画出一个与△ABC相似的△BA′C′，且△BA′C′与△ABC相似比是2：1，并分别写出顶点A′和C′的坐标．
18．如图，在正方形网格内，已知格点，点和线段，且，，都在格点上．
(1)以点为位似中心，在正方形网格内作的位似图形，使与的相似比为；
(2)以为一边，画出一个，使．
19．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），
（1）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出E、F的坐标；
（2）以O点为位似中心，将△AEF作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的△A1E1F1．
20．(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B D D D C
1．D
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或；
根据位似变换的性质计算，判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查图形的位似，位似比等于位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比．
【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点O，
∵OD=AD，
∴AO:DO=2:1，
∴△ABC与△DEF位似比为2:1，
故答案为A选项．
【点睛】本题考查图形位似比，按照位似比的定义解答即可．
3．C
【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ．
点A的坐标为，
∴点C的坐标为，
故选C．
4．B
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】四边形与四边形是位似图形，位似比为，
四边形四边形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
5．D
【分析】利用已知条件求出D点坐标，再证明为等腰直角三角形，连接BC，根据“三线合一”性质求出，进一步可求出C点坐标．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
连接BC，
根据“三线合一”性质可知，
∴点C的坐标为：．
故选：D.
【点睛】此题考查位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，理解关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形中位线定理得到P′Q′=PQ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形
∴△P′Q′R′∽△PQR，
∴相似比等于P′Q′：PQ，
∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，
∴P′Q′=PQ，
∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为，
根据位似中心的定义可知，△P'Q'R'与△PQR的位似中心为点O，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据相似比将线段OA缩小，又因为原点O为位似中心可得有两个符合的点，即可求出本题答案.
【详解】∵相似比为，当A点在第四象限时，所以可得A1’＝(6×，－3×)＝（2，－1）；
根据位似的性质可知在第二象限亦有一点，因为第二象限的点和第四象限的点互为相反数，所以可得A2’（－2，1）.
故答案为D.
【点睛】本题考查了位似的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
8．C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
9．
【分析】把点的横纵坐标分别乘以即可得到点的坐标．
【详解】解：由题意得：与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
又∵，且原图形与位似图形是异侧，
∴点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键．
10．
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，点为位似中心，．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
11．（—2，1）或（2，—1）
【分析】根据位似图形的性质，只要点A的横、纵坐标分别乘以或﹣即可求出结果．
【详解】解：∵点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩小，
∴点A对应点的坐标为（—2，1）或（2，—1）．
故答案为：（—2，1）或（2，—1）．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，属于基本题型，注意分类、掌握求解的方法是关键．
12．或
【分析】利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到点坐标．
【详解】解：以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，
而，
或，
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
13．
【分析】以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE．证明△EBO∽△DBC，从而发现E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆，求出AO，最后根据三角形三边关系，可得AC最大值．
【详解】解：以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE．
则，
∵∠EBD＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠DBC，
∴△EBO∽△DBC．
∴．
∵D点运动轨迹是以C为圆心，CD＝3为半径的圆，
∴E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆．
∵AE≤AO＋OE，AO＝，OE＝．
∴AE最大值为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等，解题的关键是作出辅助线，通过证明△EBO∽△DBC找到E点运动的轨迹．
14． 或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，，
∴，，，
（1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
当时，即，解得，即点坐标为，，
两个正方形的位似中心的坐标是：，．
（2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，，，并延长交于点，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
设所在直线解析式为：，把，代入得：
，
故，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得：，
故，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．
故答案为：，或．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．
15．（1）见解析；（2）（﹣3，3），（﹣4，1），（﹣2，0），（﹣1，2）
【分析】（1）、（2）把A、B、C、D的横纵坐标都乘以得到四边形A′B′C′D′四个顶点坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）如图，四边形A′B′C′D′为所作；
（2）A′（﹣3，3），B′（﹣4，1），C′（﹣2，0），D′（﹣1，2）．
故答案为（﹣3，3），（﹣4，1），（﹣2，0），（﹣1，2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，利用位似图形的性质得出对应点位置是解题的关键．
16．见解析
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17．①图见解析；②A′（﹣1，﹣1）、C′（3，﹣3）．
【分析】①利用点A、B、C的坐标描点即可；
②延长BA到使，延长BC到C′使，则满足条件，从而得到顶点和的坐标.
【详解】①如图，先根据A、B、C三点的坐标，在图中描出它们的位置，再顺次连接即可得到，图如下所示：
②延长BA到使，延长BC到C′使，则满足条件，图如下所示：
根据的图形可知：顶点的坐标为和的坐标为.
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中用描点法画三角形、位似中心的概念，依据题意画出是解题关键.
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作位似图形和相似图形；
（1）根据位似图形的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据的位置可知若在正方形网格内作出，则的对应边为，由，可知，，然后在网格内找出一点F，满足的各边是各边的倍即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示；
19．（1）E（3，3），F（3，0）；（2）见解析.
【详解】分析：（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，从而得到△AEF，然后写出E、F的坐标；
（2）分别连接OE、OF，然后分别去OA、OE、OF的三等份点得到A1、E1、F1，从而得到△A1E1F1．
详解：（1）如图，△AEF为所作，E（3，3），F（3，0）；
（2）如图，△A1E1F1为所作．
点睛：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．(1)见解析；.(2).
【分析】（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积．
【详解】（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥DA，
∴∠ADE=∠EBC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3，
∴AE=BE+AB=5，
在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=，
∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1，
∴，
∴.
故答案为(1)见解析；.(2).
【点睛】本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键.
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27.3位似 闯关练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，，，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点P
B．、点P
C．2、点O
D．、点O
7．在直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把线段OA缩小为，则点A的坐标为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ．
11．在平面直角坐标系中，已知点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A对应点A′的坐标是 ．
12．在直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为 ．
13．如图,已知线段AB=9，点C为线段AB上一点,AC=3,点D为平面内一动点,且满足CD=3,连接BD将BD绕点D逆时针旋转90到DE，连接BE、AE,则AE的最大值为 ．
14．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的坐标分别为A（﹣6，6），B（﹣8，2），C（﹣4，0），D（﹣2，4）．
（1）画出一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1：2的位似图形．
（2）直接写出点的坐标：A′（ ），B′（ ），C′（ ），D′（ ）．
16．请在如图所示的正方形网格纸中，以为位似中心，将放大为原来的倍．
（画出2个不同位置的图形，分别标注为和）
17．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，1）、B（3，3）、C（3，0）．
①根据题意，请你在图中画出△ABC；
②以B为位似中心，在如图的格子中画出一个与△ABC相似的△BA′C′，且△BA′C′与△ABC相似比是2：1，并分别写出顶点A′和C′的坐标．
18．如图，在正方形网格内，已知格点，点和线段，且，，都在格点上．
(1)以点为位似中心，在正方形网格内作的位似图形，使与的相似比为；
(2)以为一边，画出一个，使．
19．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），
（1）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出E、F的坐标；
（2）以O点为位似中心，将△AEF作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的△A1E1F1．
20．(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B D D D C
1．D
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或；
根据位似变换的性质计算，判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查图形的位似，位似比等于位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比．
【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点O，
∵OD=AD，
∴AO:DO=2:1，
∴△ABC与△DEF位似比为2:1，
故答案为A选项．
【点睛】本题考查图形位似比，按照位似比的定义解答即可．
3．C
【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ．
点A的坐标为，
∴点C的坐标为，
故选C．
4．B
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】四边形与四边形是位似图形，位似比为，
四边形四边形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
5．D
【分析】利用已知条件求出D点坐标，再证明为等腰直角三角形，连接BC，根据“三线合一”性质求出，进一步可求出C点坐标．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
连接BC，
根据“三线合一”性质可知，
∴点C的坐标为：．
故选：D.
【点睛】此题考查位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，理解关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形中位线定理得到P′Q′=PQ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形
∴△P′Q′R′∽△PQR，
∴相似比等于P′Q′：PQ，
∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，
∴P′Q′=PQ，
∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为，
根据位似中心的定义可知，△P'Q'R'与△PQR的位似中心为点O，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据相似比将线段OA缩小，又因为原点O为位似中心可得有两个符合的点，即可求出本题答案.
【详解】∵相似比为，当A点在第四象限时，所以可得A1’＝(6×，－3×)＝（2，－1）；
根据位似的性质可知在第二象限亦有一点，因为第二象限的点和第四象限的点互为相反数，所以可得A2’（－2，1）.
故答案为D.
【点睛】本题考查了位似的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
8．C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
9．
【分析】把点的横纵坐标分别乘以即可得到点的坐标．
【详解】解：由题意得：与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
又∵，且原图形与位似图形是异侧，
∴点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键．
10．
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，点为位似中心，．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
11．（—2，1）或（2，—1）
【分析】根据位似图形的性质，只要点A的横、纵坐标分别乘以或﹣即可求出结果．
【详解】解：∵点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩小，
∴点A对应点的坐标为（—2，1）或（2，—1）．
故答案为：（—2，1）或（2，—1）．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，属于基本题型，注意分类、掌握求解的方法是关键．
12．或
【分析】利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到点坐标．
【详解】解：以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，
而，
或，
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
13．
【分析】以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE．证明△EBO∽△DBC，从而发现E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆，求出AO，最后根据三角形三边关系，可得AC最大值．
【详解】解：以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE．
则，
∵∠EBD＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠DBC，
∴△EBO∽△DBC．
∴．
∵D点运动轨迹是以C为圆心，CD＝3为半径的圆，
∴E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆．
∵AE≤AO＋OE，AO＝，OE＝．
∴AE最大值为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等，解题的关键是作出辅助线，通过证明△EBO∽△DBC找到E点运动的轨迹．
14． 或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，，
∴，，，
（1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
当时，即，解得，即点坐标为，，
两个正方形的位似中心的坐标是：，．
（2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，，，并延长交于点，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
设所在直线解析式为：，把，代入得：
，
故，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得：，
故，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．
故答案为：，或．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．
15．（1）见解析；（2）（﹣3，3），（﹣4，1），（﹣2，0），（﹣1，2）
【分析】（1）、（2）把A、B、C、D的横纵坐标都乘以得到四边形A′B′C′D′四个顶点坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）如图，四边形A′B′C′D′为所作；
（2）A′（﹣3，3），B′（﹣4，1），C′（﹣2，0），D′（﹣1，2）．
故答案为（﹣3，3），（﹣4，1），（﹣2，0），（﹣1，2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，利用位似图形的性质得出对应点位置是解题的关键．
16．见解析
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17．①图见解析；②A′（﹣1，﹣1）、C′（3，﹣3）．
【分析】①利用点A、B、C的坐标描点即可；
②延长BA到使，延长BC到C′使，则满足条件，从而得到顶点和的坐标.
【详解】①如图，先根据A、B、C三点的坐标，在图中描出它们的位置，再顺次连接即可得到，图如下所示：
②延长BA到使，延长BC到C′使，则满足条件，图如下所示：
根据的图形可知：顶点的坐标为和的坐标为.
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中用描点法画三角形、位似中心的概念，依据题意画出是解题关键.
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作位似图形和相似图形；
（1）根据位似图形的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据的位置可知若在正方形网格内作出，则的对应边为，由，可知，，然后在网格内找出一点F，满足的各边是各边的倍即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示；
19．（1）E（3，3），F（3，0）；（2）见解析.
【详解】分析：（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，从而得到△AEF，然后写出E、F的坐标；
（2）分别连接OE、OF，然后分别去OA、OE、OF的三等份点得到A1、E1、F1，从而得到△A1E1F1．
详解：（1）如图，△AEF为所作，E（3，3），F（3，0）；
（2）如图，△A1E1F1为所作．
点睛：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．(1)见解析；.(2).
【分析】（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积．
【详解】（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥DA，
∴∠ADE=∠EBC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3，
∴AE=BE+AB=5，
在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=，
∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1，
∴，
∴.
故答案为(1)见解析；.(2).
【点睛】本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键.
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