寒假复习强化试题（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册.docx

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寒假复习强化试题（一） 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处
A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高 D．三条边的垂直平分线
6．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，的垂直平分线交，于点D，E，连接，则下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
8．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．0 B． C． D．3
9．等腰三角形的一个外角是，它的顶角的度数为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．已知：，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
12．定义一种新运算：对于非零实数，分式，规定，且，，则下列计算结果正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
二、填空题
13．因式分解： ．
14．已知某花粉的直径约为0.00000352米．将数据0.00000352用科学记数法表示为 ．
15．“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为 ．
16．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ．
17．如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为 ．
18．如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为 ．
三、解答题
19．按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)解分式方程：．
20．如图，，平分，交于点；
(1)尺规作图：在图中过点A作CE的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，求证：．
21．如图，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)求的面积；
(2)作出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标．
22．呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角．
(1)求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
23．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ．
【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．
24．【综合与实践】
日常生活中经常会遇到最短路径问题，例如，在物流配送中规划最短行驶路线以节约成本，在通信网络中寻找数据传输最优路径以提升效率，在交通导航中计算实时最快方案以减少拥堵，在工业生产中优化物料搬运路线以提升效能．从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题，常常是求线段和的最小值问题．
【问题原型】
如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
【数学模型】
作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短．
【解决问题】
(1)利用轴对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的______思想．（填选项字母）
A．数形结合 B．转化与化归 C．方程 D．分类讨论
(2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值为______．
(3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从发电站出发，需先到地面基站边缘处进行数据采集，再到河边处取水冷却设备，最后返回站．已知．
①请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹，不写画法）；
②根据所画图示计算最短巡检路线的长度．
25．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．求的度数；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、、在同一条直线上，试求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B D B C A B
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
2．B
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）．
确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256．
【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，设第三边为，则，由此即可求解．
【详解】解：设第三边长度为，
∵三角形三边关系：，即，
∴根据题意，符合题意，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解．
【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处
故选：B．
6．D
【分析】本题考查分式的性质与化简．AC：取特殊值验算即可判断；BD：化简分式左边即可．
【详解】解：A：取，，故A不正确；
B：，故B不正确；
C：取，，故C不正确；
D：，故D正确；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，利用以上知识逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵与不垂直，
∴，故B符合题意；
∵的垂直平分线交，于点D，E，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴ ，故D不符合题意；
故选B
8．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，
∴，
解得：，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理，掌握外角的定义，三角形内角和定理是关键．
分两种情况讨论：外角是顶角的外角或底角的外角，利用外角与内角的关系及三角形内角和求解．
【详解】解：∵ 外角等于减去相邻内角，
∴若是顶角的外角，则顶角；
若是底角的外角，则底角 ，
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 顶角，
∴ 顶角为或，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键．
利用幂的运算法则，将已知条件代入求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
11．B
【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程的解求参数，理解题意，掌握解分式方程是关键．
解分式方程得到，由题意为负整数且 ，故 为10的负约数，且为整数，逐一验证即可．
【详解】解：，
两边乘公分母 得：，
化简得：，
即 ，
∴，
∵为负整数，且，，
∴，即，
又为10的约数，且为负，
∴可能为：，
当时，，，符合；
当时，，非整数，不符合；
当时，，，符合；
当时，，非整数，不符合.
∴整数有和共2个，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查分式的求值，根据新定义，求出，再分别代入各选项中的值，计算后，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
当，时，原式；故A选项错误；
当，时，原式；故B选项正确；
当，时，原式；故C选项错误；
当，时，原式；故D选项错误；
故选：B．
13．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，确定的值，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程．
【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，
慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天，
由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题关键是理解新定义的含义．
根据已知条件和新定义的含义，列出式子即可．
【详解】解：根据题意可得
故答案为：．
17．18
【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解．
【详解】解：∵，
，
∵折叠该纸片使得点落在边上的点处，
，
，
，
故答案为：18．
18．
【分析】过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当D，F，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，解答即可．
【详解】解：过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D，F，C三点共线时，取得最小值，
即取得最小值，
故当点D与点G重合时，取得最小值，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键．
19．(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）按照运算法则，分别计算各部分，再进行加减计算即可；
（2）用平方差公式和提公因式分解因式，计算括号里的减法后化除为乘计算即可；
（3）去分母，移项合并同类项，系数化为1，最后进行检验即可．
本题主要考查有理数的乘方，负整数指数幂，分式的混合运算和解分式方程，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：两边同时乘得，
移项合并同类项得，
系数化为1得．
经检验，是原方程的解．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作已知直线垂线的方法，以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧，两弧交点与的连线即为的垂线，垂足为．
（2）先由平行线性质得内错角相等，结合角平分线定义得角相等，进而推出等腰三角形；再由垂线得直角，结合等腰三角形“三线合一”或全等三角形证明角相等．
【详解】（1）解：如图，为所求；
（2）证明：
．
平分，
．
．
．
，
．
在和中，
．
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及尺规作垂线的方法，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查网格中求三角形面积、网格中对称作图及写出点的坐标，数形结合是解决问题的关键．
（1）由网格中的，利用三角形面积公式代入计算即可得到答案；
（2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，连接点即可得到，数形结合即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
的面积为；
（2）解：如图所示：
．
22．(1)最大宽度
(2)约为人
【分析】本题考查了含直角三角形性质的应用，分式方程的应用，掌握直角三角形中所对的直角边是斜边的一半、分式方程解法步骤是解决问题的关键．
（1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，如图所示：
由点在同一条水平线上，均垂直于地面，可知，
的长度就是与之间的距离，
在中，，则，
在中，，，
，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
（2）解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
则，
，
则，
解得，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人．
23．（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据中线得到，结合，即可得到答案；
（2）本题考查三角形全等的判定与性质及三边关系，延长至点Q，使，连接，证明结合三边关系求解即可得到答案；
（3）本题考查三角形全等的判定与性质，延长到M，使，连接，先证，再证即可得到答案；
【详解】解：（1）∵是的中线，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）：如图2，延长至点Q，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范围是；
（3）证明：如图3，延长到M，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
24．(1)B
(2)
(3)①作图见解析；②最短巡检路线的长度为．
【分析】（1）通过轴对称将折线问题转化为直线问题，属于转化与化归思想．
（2）利用等边三角形对称轴的性质，将转化为点到直线的距离，结合等边三角形的高求解最小值．
（3）①作点关于、的对称点，连接对称点与、的交点即为最短路径；②利用轴对称性质和等边三角形判定，计算最短路径长度．
【详解】（1）解：利用轴对称将折线问题转化为直线问题，体现转化与化归思想，
故选：B；
（2）解：连接，，过点作于点，
∵ 等边中，是的平分线，
∴ 点、关于直线对称，
∴ ，
∴ ，
∵ 和都是等边的高，，
∴ ，
∴ 的最小值为；
（3）解：① 如图，分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、，则为最短巡检路线．
②∵ 点关于、的对称点为、，
∴ ，，，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 最短巡检路线的长度为．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题、等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握“利用轴对称将折线问题转化为直线问题”是解题的关键．
25．（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）通过证明（），利用全等三角形的性质求的度数．
（2先证，结合等腰直角三角形性质求的度数；再利用是等腰直角三角形的高得到，结合全等结论推导、、的数量关系．
（3先证，结合等腰三角形内角和，通过角的组合计算的度数．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴ ，即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是等边三角形，点、、共线，
∴ ，
∴，
（2），理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，， ，即，
∴（），
∴，
∵是等腰直角三角形，点、、共线，
∴， ，
∴，
又∵，
∴ ，
∵是等腰直角三角形，是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即；
（3）∵和都是等腰三角形，，
∴，， ，即，
∴（），
∴，
∵是等腰三角形，，是等腰三角形，
∴，，
∵（点、、共线），
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定（）及利用图形性质进行角和线段的转化是解题的关键．
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