27.1 图形的相似 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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27.1 图形的相似 巩固练 2025-2026学年下学期
初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果，那么下列四个选项中，不正确（ ）
A． B．
C． D．
4．已知（x≠0），则下列式子正确的是（　　）
A． B．y：x＝3：2 C．2x＝3y D．
5．在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积是（ ）
A．2000cm B．2000000cm
C．4000cm D．4000000cm
6．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．给出下列各组线段，其中成比例线段是( )
A．
B．
C．
D．
8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为10 cm，那么的长度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm．
二、填空题
9．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE= .
10．如图，四边形四边形，若，，，则 ．
11．如图，，则的长为 ．

12．在比例尺为1:600000的地图上，甲乙两地的距离是3，则甲乙两地的实际距离是 千米
13．如图，，如果，那么 ．
14．若，则= ．
三、解答题
15．如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
17．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴和轴的正半轴上，连接，已知，点在上，且点为线段上一动点(可与重合)，连接．
求的长及点的坐标；
当时，求的长；
如图2，将沿直线翻折，得连接问四边形的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；
以线段为边，在所在直线的右上方作等边当点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长．
18．已知：如图，在中，点为边上的一点．

(1)过点作直线，交线段于点E．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，若，求的值．
19．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．

(1)的面积等于________．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点画一条直线，交于点，使的面积等于面积的3倍，并简要说明画图的方法__________．（不要求证明）
20．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，．
(1)求证；
(2)若，，求证；
(3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C B B D A
1．C
【分析】抓住已知条件：它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，可得出相似比的平方，继而可求出相似比
【详解】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，则k2=，
∴k= ，
即相似比为1：2．
故选C
【点睛】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方求解是解题的关键．
2．D
【分析】根据比例的性质，线段成比例的计算方法即可求解．
【详解】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，理解比例的性质，掌握线段成比例的计算是解题的关键．
3．D
【分析】根据比例内向的积等于比例外项之积即可求解
【详解】解：∵
∴
A. ，即，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，即，故该选项正确，不符合题意；
D. 即，故该选项不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
5．B
【分析】设一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是Scm2，根据题意得出
求出即可．
【详解】解：设一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是Scm2，
根据题意得：
解得：S＝2000000，
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似多边形的面积比等于相似比的平方．
6．B
【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短线段比长线段等于长线段比全线段，等于，则这个点叫线作段的黄金分割点．根据黄金分割点进行判断即可．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，
，
，
故错误的是选项B，
故选：B．
7．D
【详解】根据成比例线段的定义，若a、b、c、d成比例，则a:b=c:d，因此可知2×=，a、b、c、d成比例，而其余的乘积均不相等.
故选D.
8．A
【分析】根据黄金分割的定义知道，设米，则米 ，代入计算得到两个值，根据题意，由此判断得到正确答案．
【详解】解：设米，则米
∵点P为线段AB的黄金分割点
∴
即：
化简得：
解得：
∵PB＜AB
∴
即的长度为米
故选：A
【点睛】本题考查黄金分割的定义，根据定义列出关系式是解题的关键．
9．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
10．
【分析】可得，由即可求解．
【详解】
解：四边形四边形，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，掌握性质是解题的关键．
11．
【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
12．18
【分析】这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺=实际距离列式求得实际距离，即可解答．
【详解】解：根据题意，设实际距离为x cm，则
，
∴；
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺=图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题．
13．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【详解】解：∵，∴，即，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键.
14．．
【详解】解：∵，∴设a=3k，则b=5k，∴ =．故答案为．
15．x＝12，y＝6，∠α＝125°
【分析】到已知的题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题.
【详解】∵两个四边形相似，
∴8:y=x:9=20:15,∠C=∠C′=50°
解得：y=6，x=12.
∵四边形内角和等于360°，
∴α=∠D=360°－∠A－∠B－∠C=125°.
∴x=12，y=6，α=125°.
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键.
16．（1），，；（2）
【分析】根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值；
（2）根据比例中项的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵，且，
∴，
∴，，，
∴，，，
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．
17．（1）OC=6 ，D（6，6）；（2）AP=；（3）存在，最小值为32；（4）6
【分析】（1）即可求解OC的长，再根据即可求得点D的坐标；
（2）根据平行线分线段成比例即可求解；
（3）点E在以D为圆心，2为半径的圆上，要使四边形面积最小，只要△ACE的面积最小即可，要使△ACE的面积最小，只要点E到AC的距离最小，即可求解；
（4）如图，点F的运动路径为线段FF’，通过证明即可得到FF’的长度．
【详解】解：（1）∵tan∠OAC=
∴
又∵OA=8
∴OC=6
又∵CD=3BD
∴CD=6，BD=2
∴D（6，6）
（2）∵DP∥AC
∴
∴
∴BP=
∴AP=
（3）存在，，
∵，
∴要使四边形面积最小，只要△ACE的面积最小即可，
要使△ACE的面积最小，只要点E到AC的距离最小，
由翻折知，BD=DE=2，
∴点E在以D为圆心，2为半径的圆上，
∴当DH⊥AC时，EH最小，
∵∠BCA=∠CAO，
∴sin∠BCA=sin∠CAO，
∴，
∴，
∴DH=，
∴EH=，
∴=24＋=32；
（4）如图，点F的运动路径为线段FF’，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质与动点问题等内容，解题的关键是理解题意，熟练运用几何知识进行推理．
18．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作，交于点，
（2）利用平行线分线段比例定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，作，交线段于点，
∴，
则直线即为所作；

（2）∵，，
∴，
∴
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行线的判定，平行线分线段成比例定理．掌握基本作图和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
19．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）根据题意，在上取，即可画出图形．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图：找的四等分点，连接为所求．

作法：①取线段，在线段取一点，使，
②过作的平行线，使，交于点，
③作直线．
则直线就是所求作的直线．
【点睛】本题考查了复杂作图，以及三角形的面积，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，巧妙利用格点作四等分点，属于作图中比较难的题目．
20．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由，得到，即，由，得＝2（90°－∠C），结论得证；
（2）在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．先证△AFC是等腰三角形，得，，再证，则，，进一步证得 ，得，则BE＝CF，结论得证；
（3）在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．先证明△AMC是等腰三角形，得到∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，进一步得到∠MAC＝∠BDE，再证△DEH是等腰三角形，DE＝DH，由EHAM，，得到＝，得到，结合，进一步推导出DE＝，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴＝2（90°－∠C），
∴；
（2）证明：如图1，在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．
∵，，
∴AD垂直平分CF，
∴，
∴△AFC是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠C＝∠GBD，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵，，
∴∠C＝∠BEG，
∴，
∴，
∴BE＝CF，
∵，
∴．
（3）解：如图2，在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．
∵DM＝CD，，，
∴AD垂直平分MC，
∴AM＝AC，
∴△AMC是等腰三角形，
∴∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，
∵，
∴∠MAC＝∠BDE，
∵EHAM，
∴∠EHD＝∠AMC＝∠C，
∴∠EHD＋∠BDE＋∠HED＝180°，∠AMC＋∠MAC＋∠C＝180°，
∴∠HED＝∠C，
∴∠HED＝∠EHD，
∴△DEH是等腰三角形，
∴DE＝DH，
∵EHAM，，
∴，
∴，
∵，
∴BH＋HM＝BH＋kBH＝（k＋1）BH，BH＋HM＝BD－DM＝BD－CD＝mCD－CD＝（m-1）CD，
∴（k＋1）BH＝（m-1）CD，
∴BH＝，HM＝，
∴DE＝DH＝HM＋DM＝＋CD＝，
∴＝，
即＝
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．
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