27.2.1相似三角形的判定 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.1相似三角形的判定 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 753.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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27.2.1相似三角形的判定 巩固练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形
2．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
3．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在与中，有下列条件：；；；．若从中任取两个组成一组，则的概率（）
A． B． C． D．
8．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 ．
10．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对．
11．如图，在中，D是边上的点，如果 或 ，则.
12．如图，在中，；，D、E是斜边上两点，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C．交于点F，连接，其中．下列结论：①，②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）．
13．如图，在直角三角形ACB中，，D为AC中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F在CB的延长线上，且，联结DF，交AB于点H，如果，，那么 .
14．如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是 （只添加一个条件）．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：∽.
16．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
17．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：．
18．如图，在中，，D是线段上一点，连接，若.求证：.
19．学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
20．已知D、E分别是△ABC的AB、AC上的点，∠ADE=∠C,AB=9,AD=3,AC=6.求EC的长.
21．如图，为的高，请用尺规作图法在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B D C A D
1．D
【分析】根据全等三角形是相似三角形的特殊情况，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；
B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本选项错误；
C、全等三角形一定是相似三角形，故本选项错误；
D、全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的关系，熟记全等三角形是相似三角形的特殊情况是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，C正确；
故选：C．
3．D
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：①，，可证，故①符合题意；
②，，可证，故②符合题意；
③，，可证，故③符合题意；
④，，不能证明，故④不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可知，因此只要添加一组角相等，或与的对应边的比相等即可．
【详解】解：，
，
添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意；
添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意；
添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意；
添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
【详解】解：①，则，故①符合题意；
②，则，故②符合题意；
③，且夹角，则，故③符合题意；
④由可得，此时不确定，故④不符合题意，
故选：C．
7．A
【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似、有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②、②④、③④，任取两个组成一组情况有①②，①③，①④、②③、②④、③④共六种情况，根据概率公式即可求解．
【详解】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②、②④、③④
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
∵任取两个组成一组情况有①②，①③，①④、②③、②④、③④共6种情况
∴从中任取两个组成一组，则的概率为：
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，利用列举法求随机事件概率．
8．D
【详解】试题解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
9． ∠A=∠A， ∠ACD=∠B（答案不唯一）， ∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【分析】直接根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】∵∠A是公共角，
∴若∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC．
故答案为∠A=∠A，∠ACD=∠B（答案不唯一），∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【点睛】考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
10．3
【分析】根据相似三角形的判定即可判断．
【详解】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
11．
【分析】利用三角形相似的判定求解即可.
【详解】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为或
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握.
12．①③④
【分析】证明，，得出，判定①正确；
证明，得出，，，根据，，得出，说明②错误；
证明，得出，，根据，得出，求出，说明③正确；
根据，，得出，说明④正确．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，即，故②错误；
∵，，
∴，
∴，，
∴，
若，，则，
∵
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，解题的关键在于找到三角形全等的条件，证明，．
13．
【详解】解：过B作BG∥CA交DF于G．∵AC=2，D为AC的中点，∴AD=DC=1，∵BF：AD=3：1，∴BF=3．∵BG∥CA，∴BG：CD=BF：CF=3：4，∴BG=．∵AC=2，BC=1，∴AB==.∵BG∥CA，∴BG：AD=BH：AH，∴=，∴=，∴AH=.在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C=90°，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB，∴AE：2=1：，∴AE= ，∴EH=AH-AE==.故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，关键是通过做辅助线BG∥CA而把所有相关线段联系起来．
14．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．
【详解】解：添加条件是：，
理由是：，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
15．见解析
【分析】由已知条件可得，，，即可证明结论．
【详解】证明：在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴∽．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，根据已知条件得出是解此题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
17．见解析
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵，
∴．
18．见解析
【分析】根据等腰三角形及相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】解：∵，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
19．（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例 （2）见解析
【详解】（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例；
（2）斜边和一条直角边对应成比例．
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，．
解法一：设=k，则AB= k A'B'，AC= k A'C'．
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
，
∴，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
解法二：如图，假设AB＞A'B'，在AB上截取AB''= A'B'，过点B''作B''C''⊥AC，垂足为C’’．
∵∠C=∠AC''B''，
∴BC//B''C''，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B''C''，．
∵AB''= A'B'，
∴．
又∵，
∴，
∴AC''=A'C'．
∵AB''= A'B'，∠C=∠AC''B''=90°，
∴Rt△AB''C''≌Rt△A'B'C'，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
20．
【分析】先根据∠ADE=∠C，∠A=∠A，可证△ADE～△ACB，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
【详解】∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE～△ACB，
∴，
∵AB=9,AD=3,AC=6，
∴，
∴AE=,
∴EC=AC-AE=6-=.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.
21．见解析
【分析】过点A作AF⊥BC于F，△ACF即为所求．根据垂直得出，再根据公共角即可得证．
【详解】解：如图，△ACF即为所求．
证明如下：
【点睛】本题考查作图 相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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27.2.1相似三角形的判定 巩固练
2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形
2．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
3．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在与中，有下列条件：；；；．若从中任取两个组成一组，则的概率（）
A． B． C． D．
8．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 ．
10．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对．
11．如图，在中，D是边上的点，如果 或 ，则.
12．如图，在中，；，D、E是斜边上两点，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C．交于点F，连接，其中．下列结论：①，②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）．
13．如图，在直角三角形ACB中，，D为AC中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F在CB的延长线上，且，联结DF，交AB于点H，如果，，那么 .
14．如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是 （只添加一个条件）．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：∽.
16．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
17．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：．
18．如图，在中，，D是线段上一点，连接，若.求证：.
19．学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
20．已知D、E分别是△ABC的AB、AC上的点，∠ADE=∠C,AB=9,AD=3,AC=6.求EC的长.
21．如图，为的高，请用尺规作图法在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B D C A D
1．D
【分析】根据全等三角形是相似三角形的特殊情况，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；
B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本选项错误；
C、全等三角形一定是相似三角形，故本选项错误；
D、全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的关系，熟记全等三角形是相似三角形的特殊情况是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，C正确；
故选：C．
3．D
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：①，，可证，故①符合题意；
②，，可证，故②符合题意；
③，，可证，故③符合题意；
④，，不能证明，故④不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可知，因此只要添加一组角相等，或与的对应边的比相等即可．
【详解】解：，
，
添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意；
添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意；
添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意；
添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
【详解】解：①，则，故①符合题意；
②，则，故②符合题意；
③，且夹角，则，故③符合题意；
④由可得，此时不确定，故④不符合题意，
故选：C．
7．A
【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似、有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②、②④、③④，任取两个组成一组情况有①②，①③，①④、②③、②④、③④共六种情况，根据概率公式即可求解．
【详解】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②、②④、③④
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
∵任取两个组成一组情况有①②，①③，①④、②③、②④、③④共6种情况
∴从中任取两个组成一组，则的概率为：
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，利用列举法求随机事件概率．
8．D
【详解】试题解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
9． ∠A=∠A， ∠ACD=∠B（答案不唯一）， ∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【分析】直接根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】∵∠A是公共角，
∴若∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC．
故答案为∠A=∠A，∠ACD=∠B（答案不唯一），∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【点睛】考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
10．3
【分析】根据相似三角形的判定即可判断．
【详解】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
11．
【分析】利用三角形相似的判定求解即可.
【详解】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为或
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握.
12．①③④
【分析】证明，，得出，判定①正确；
证明，得出，，，根据，，得出，说明②错误；
证明，得出，，根据，得出，求出，说明③正确；
根据，，得出，说明④正确．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，即，故②错误；
∵，，
∴，
∴，，
∴，
若，，则，
∵
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，解题的关键在于找到三角形全等的条件，证明，．
13．
【详解】解：过B作BG∥CA交DF于G．∵AC=2，D为AC的中点，∴AD=DC=1，∵BF：AD=3：1，∴BF=3．∵BG∥CA，∴BG：CD=BF：CF=3：4，∴BG=．∵AC=2，BC=1，∴AB==.∵BG∥CA，∴BG：AD=BH：AH，∴=，∴=，∴AH=.在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C=90°，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB，∴AE：2=1：，∴AE= ，∴EH=AH-AE==.故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，关键是通过做辅助线BG∥CA而把所有相关线段联系起来．
14．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．
【详解】解：添加条件是：，
理由是：，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
15．见解析
【分析】由已知条件可得，，，即可证明结论．
【详解】证明：在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴∽．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，根据已知条件得出是解此题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
17．见解析
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵，
∴．
18．见解析
【分析】根据等腰三角形及相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】解：∵，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
19．（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例 （2）见解析
【详解】（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例；
（2）斜边和一条直角边对应成比例．
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，．
解法一：设=k，则AB= k A'B'，AC= k A'C'．
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
，
∴，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
解法二：如图，假设AB＞A'B'，在AB上截取AB''= A'B'，过点B''作B''C''⊥AC，垂足为C’’．
∵∠C=∠AC''B''，
∴BC//B''C''，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B''C''，．
∵AB''= A'B'，
∴．
又∵，
∴，
∴AC''=A'C'．
∵AB''= A'B'，∠C=∠AC''B''=90°，
∴Rt△AB''C''≌Rt△A'B'C'，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
20．
【分析】先根据∠ADE=∠C，∠A=∠A，可证△ADE～△ACB，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
【详解】∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE～△ACB，
∴，
∵AB=9,AD=3,AC=6，
∴，
∴AE=,
∴EC=AC-AE=6-=.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.
21．见解析
【分析】过点A作AF⊥BC于F，△ACF即为所求．根据垂直得出，再根据公共角即可得证．
【详解】解：如图，△ACF即为所求．
证明如下：
【点睛】本题考查作图 相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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