27.2.2相似三角形的性质 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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27.2.2相似三角形的性质 巩固练 2025-2026学年下学期
初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：BD=5：3，BC=16，则DE的长为（　　 ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
3．如图是一个边长为1的正方形组成的网格，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
4．如图，，相似比为3，则为（ ）
A．9∶1 B．8∶1 C．3∶1 D．1∶1
5．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．8 B．9 C． D．
6．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和都是等边三角形，点A在边DE上，AC与BD交于点O，连接CD，则下列与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，所有矩形都是正方形，设最大正方形的边长是最小正方形边长的n倍，则n的值为( )
A． B．8 C． D．9
二、填空题
10．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝ ．
11．已知，，，则 ．
12．如图，在矩形中，点在边上，且，与相交点，若，则 ．
13．如图，在中，E、F分别是的中点，，动点P在射线上，交于D，的平分线交于Q，当时，则的值为 ．

14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AC＝4，AB＝3，EC＝1，则AD= ，BD= ．
15．如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 ．(填序号)
三、解答题
16．下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
17．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长
18．请利用尺规作图在△ABC的AB、AC边上分别找点M、点N，连接MN，使得S△AMN＝S△ABC（保留作图痕迹，不写作法）．
19．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
(1)求证：；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
20．如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．

21．如图，Rt△ABC中，，AB=5，AC=4，E是AC上一点，AE=2.5，ED⊥AB，垂足为D，求DE的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C C B B C C A D
1．C
【分析】根据相似三角形△ADE∽△ABC的对应边成比例知，由已知条件“AD：BD=5：3”可得AD：AB＝5：8，再由BC＝16可求得DE的长度．
【详解】∵AD：BD=5：3，
∴AD：AB＝5：8，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴
∴，
又∵BC＝16，
∴DE＝10.
故选C.
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质．两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
2．C
【分析】由D、E分别是AB、AC的中点，可得出DE∥BC、BC=2DE，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出S△ABC=4a，再根据S△BDEC=S△ABC-S△ADE即可求出四边形BDEC的面积．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△ADE∽△ABC，
=4,
∴S△ABC=4a，
∴S四边形BDEC=S△ABC-S△ADE=3a．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△ABC=4a是解题的关键．
3．C
【分析】根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，相似比为3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．B
【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍去），
∴AB＝9，
故选：B．
【点睛】
此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
6．C
【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴，
∴CD=，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．C
【分析】只需要证明△ABO∽△DBA，得到，即可求解．
【详解】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠BAO=∠BDA=60°，
又∵∠ABO=∠DBA，
∴△ABO∽△DBA，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8．A
【分析】延长AB、DE交于点H，如图所示，根据平行四边形的性质，结合中点定义，利用两个三角形全等的判定得到，从而，，，，根据翻折性质得到，，再结合两个三角形相似的判定得到，根据相似三角形性质得到即可得到答案．
【详解】解：延长AB、DE交于点H，如图所示：
在平行四边形中，，，
，
点为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
设，，
，，
将沿着直线翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查利用三角形相似求线段比值，涉及平行四边形性质、中点定义、两个三角形全等的判定与性质、翻折的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质及判定是解决问题的关键．
9．D
【分析】如图，A、C、D、E为正方形的顶点，作AB⊥CD，交大正方形的边于点B，于是得到△ABC∽△CDE，而这两个相似三角形的相似比恰好是2：1，再设最小正方形的边长为r，可以列方程求出n的值，得出答案．
【详解】解：如图，A、C、D、E为正方形的顶点，作AB⊥CD，交大正方形的边于点B，
∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，
∴∠ACB=90°-∠DCE=∠CED，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
设最小正方形的边长为r（r＞0），
则AB=nr-r，BC=2DE=2r，CD=nr-2r-3r=nr-5r，
∵AB=2CD，
∴nr-r=2（nr-5r），
解得n=9，
故选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，再根据相似三角形的性质推出相等关系．
10．6
【分析】连接BC、AD，利用同弧所对的圆周角相等，得出△BCP∽△DAP，利用相似三角形对应边成比例，求出DP.
【详解】解：连接BC、AD，
∴∠B=∠D，∠C=∠A，
∴△BCP∽△DAP，
∴，
∵AP=3，BP=2，CP=1，
∴，
∴DP=6.
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等和相似三角形的判定与性质，属于基础题．
11．
【分析】根据三角形的内角和，相似三角形的性质，即可．
【详解】∵，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和，相似三角形的性质．
12．8
【分析】根据矩形的性质得出，即可证明，根据，得出，根据相似三角形的性质求得，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．
【分析】延长，交的延长线于点M，由三角形的中位线定理可得，继而可证明，由等角对等边可得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】延长，交的延长线于点M，

∵的平分线交于Q，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．
14． ， .
【分析】若DE∥BC，则，得出对应边成比例，，然后进行求解.
【详解】∵DE∥BC，
∴，即，
∴DB＝，
∴AD＝AB﹣DB＝3﹣＝．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据条件先证明两三角形相似，然后得出对应边的比例最后可得解.
15．②③
【详解】设边长是4，则CF=1，DF=3，BE=EC=2，利用勾股定理知，AF=，
所以EF=，AE=. 所以 +=,所以AE⊥EF；③正确.
∠AEB+∠FEC=90°，∠CFE+∠FEC=90°，所以∠AEB=∠CFE，∠B=∠C,
所以△ABE∽△ECF②正确.
故答案为②③.
16．10m
【分析】利用BC//DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长．
【详解】解：∵BC//DE，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
解得：AB＝10，
答：小河的宽度为10m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
17．
【分析】设DE=CF=x，则AD=5-x，由正方形的性质可得DE//BC，则△ADE∽△ACB，最后根据比例列方程解答即可．
【详解】解：设DE=CF=x，则AD=5-x
四边形CDEF是正方形，
∴DE//CF.
∴∠ ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB
∴ 即 ，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，根据题意设出未知数并构建方程是解答本题的关键．
18．见解析
【分析】作AB和AC的垂直平分线得到MN为△ABC的中位线，利用MN∥BC可判断△AMN∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得到S△AMN＝S△ABC.
【详解】解：如图，MN为所作；
由作法得MN为△ABC的中位线，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴S△AMN：S△ABC＝（）2＝，
即S△AMN＝S△ABC.
【点睛】此题考查线段垂直平分线的画法，三角形中位线的判定及性质，相似三角形的判定及性质定理，正确理解符合条件的点M、N的位置是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)①8②4﹣4
【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论．
（2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；
（2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB＝AC＝，
∵△BAN∽△CMA，
∴ ，
∴，
∴BN CM＝8，
故BN CM的值为8；
②∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN CM＝8，
∴BN＝CM＝，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝，
故MN的长为．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键．
20．2
【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得2，
故CD长为2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
21．1.5
【分析】证明，利用相似三角形的性质求出，再用勾股定理求出DE即可．
【详解】解：∵ED⊥AB
∴∠EDA=90°
∵∠C=90°
∴∠C=∠EDA
∠A=∠A
∴
∴=
即：
∴AD=2
在Rt△ADE中，
DE==1.5
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过已知条件证明三角形相似是解题的关键．
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