27.2.3相似三角形应用举例 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册

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27.2.3相似三角形应用举例 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长为米，则楼高为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
3．如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．小红眼睛点A与标杆顶端点F，旗杆顶端点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆ED的高度为（ ）
A．15.4米 B．17米 C．17.6米 D．19.2米
4．如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　　）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
5．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（ ）米．（不计宣传栏的厚度）

A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，A（﹣3，0）、B（0，4）、P（4，0），AB＝5，M、N两点分别在线段AB、y轴上，则PN+MN的最小值为（　　）

A．6 B． C． D．7
8．凸透镜成像的原理如图所示，，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 m．
10．如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是 ．
11．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 米．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
13．高6cm的旗杆在水平面上的影长为8cm，此时测得一建筑物的影长为28m，则该建筑物的高为 ．
14．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在同一条直线上，且，点A，C，E也在同一条直线上，且．经测量米，米，米，则河的宽度AB为 米．

三、解答题
15．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体的高度为36，求它在暗盒中所成的像的高度.
16．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
17．某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
18．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R． 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ．
19．天小雯和小华去某影视基地游玩，小雯站在地面上给站在城楼上的小华照相时发现：她的眼睛点、凉亭顶端点、小华头顶点恰好在同一条直线上（如图）．已知小雯的眼睛离地面的距离为1.68米，凉亭顶端离地面的距离为3.50米，小雯到凉亭的距离为3米，凉亭离城楼底部的距离为15米，小华身高为1.45米．请根据以上数据求出城楼的高度．
20．小明想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是1.4米；此时，他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得BD＝11.2米，CD＝3米，求旗杆AB的高度.

参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D B C B C
1．B
【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【详解】解：∵标杆的高∶标杆的影长=楼高∶楼的影长，
即，
∴楼高（米）．
故选：B．
2．D
【分析】根据题意，根据三角形高的比等于相似比，进而即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【详解】解：作交FC于点G，如图所示：
，，交FC于点G，
，
，，，，
∴四边形ABDH、ABCG是矩形，
，，
，，，，
，，
，
∴
，
即
解得：，
答：旗杆的高ED是19.2米，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
4．D
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴，，
∴AD MO=MA OP，BC ON=BN OP，
则1.6，1.6，
∴，，
∴，
故变短了3.5米．
故选：D．
【点睛】本题是相似三角形的应用题，考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
5．B
【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和基本性质是解题关键．
【详解】解：如图：
由图可知，
∵，
∴，
∴，
又米，米，米，
∴米
即，
解得米，
故选C．
7．B
【分析】如图，连接，作于，作于交轴于点．根据垂线段最短可知，的最小值为线段的长，再证明，可得，由此即可解决问题；
【详解】解：如图，连接，作于，作于交轴于点．

，
即，
根据垂线段最短可知，的最小值为线段的长，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故选．
【点睛】本题考查垂线段最短，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：，，，
四边形为矩形，
，
物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
，
，，
，
，
，
物体被缩小到原来的倍，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
9．5
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴，，
又∵，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴，
解得，，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．
10．
【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
【详解】解：
到的距离：点到的距离．
到的距离：3
到的距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出到的距离．
11．
【分析】设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得，
∴树高为（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
12．27
【分析】根据，得到，进而得到，代入数值，求出，问题得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故井深为27尺．
故答案为：27
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据得到．
13．21 m
【详解】设建筑物高为hm,依题意得
解得，h=21
故答案为21 m
【点睛】本题考核知识点：成比例性质，解题关键点：理解同一时刻，物高和影长成比例.
14．18
【分析】设河的宽度AB为x米，则米，由DE//BC可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可求出x的值，即可得答案.
【详解】设河的宽度AB为x米，则米．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
故河的宽度AB为18米．
故答案为：18
【点睛】本题考查相似三角形的应用，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
15．它在暗盒中所成的像CD的高度为
【分析】过点O分别作，，垂足分别为点E，F.，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有而AB的值已知，所以可求出CD．
【详解】解：如图，过点O分别作，，垂足分别为点E，F.
∵，
∴，.
∴.
∴.
∵，，，
∴，解得.
∴它在暗盒中所成的像的高度为.
【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理.
16．旗杆的高度为11.5m
【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；
【详解】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．
答：旗杆的高度为11．5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
17．树高AB为16m
【分析】点D作DE⊥AB，DF⊥AC，构建直角三角形，根据三角函数的计算和相似三角形的相似比求解．
【详解】解：过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，
∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，
∴∠DCF=30°，
而CD=3.2m，
∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，AC⊥AB，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AE=DF，DE=AF，
∵AC=8.8m，
∴DE=AF=AC+CF=8.8+，
∴，
∴BE=，
∴AB=BE+AE=≈16（m）．
答：树高AB为16m．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了相似三角形的性质，解直角三角形，理解坡比，构造直角三角形是解题的关键．
18．90米
【分析】根据相似三角形的性质得出 , 进而代入求出即可．
【详解】解答：根据题意得出：QR∥ST ，
则△PQR∽△PST ，
故，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．
19．11.15米
【分析】过点作于点，交于点，利用平行证出，列出比例式即可求出EM，从而求出结论．
【详解】：如图，过点作于点，交于点，
由题意可得，米，（米），米．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
∵米，
∴城楼的高度为（米）．
答：城楼的高度为11.15米．
【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握构造相似三角形的方法是解题关键．
20．旗杆AB的高度是11米.
【分析】作CE⊥AB于E，可得矩形BDCE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度.
【详解】解：

作CE⊥AB于E，
∵DC⊥BD于D，AB⊥BD于B，
∴四边形BDCE为矩形，
∴CE＝BD＝11.2米，BE＝DC＝2米，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴＝，即＝，
解得AE＝8，
∴AB＝AE+EB＝8+3＝11(米).
答：旗杆AB的高度是11米.
【点睛】考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
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