内蒙古自治区呼伦贝尔、兴安盟2023年数学中考试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2023·兴安盟） 的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵（-5）×（- ）=1，
∴-5的倒数是- ．
故答案为：A．
【分析】根据乘积为1的两个数叫做互为倒数，即可得出答案。
2．（2023·兴安盟）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：
左视图如图：
故答案为：B．
【分析】
根据三视图的画法，画出左视图底层有2个，左侧有2个，画出图形即可解答．
3．（2023·兴安盟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、 ，原运算错误，A不符合题意；
B、，原运算错误，B不符合题意；
C、，原运算错误，C不符合题意；
D、运算正确，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式加减的运算得 可判断A、根据幂得乘方得可判断B，根据分式加减的运算通分计算得到，可判断C，根据分式除法的运算得，可判断D，逐一判断即可解答．
4．（2023·兴安盟）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，由，得到结合，进行求解，即可得到答案．
5．（2023·兴安盟）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
∴正整数解为：，有个，
故选A．
【分析】先移项求出不等式的解集，再按照要求取特殊解即可．
6．（2023·兴安盟）下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（-2，-3）关于x轴的对称点坐标是（-2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是则甲成绩比乙的稳定
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；事件的分类；平均数及其计算；方差；近似数与准确数
【解析】【解答】解：A：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，所以A不正确；
B： 3.14精确到百分位，所以B不正确；
C： 点（-2，-3）关于x轴的对称点坐标是（-2，3） ，所以C正确；
D：因为S甲2＞S乙2，所以 乙成绩比甲的稳定，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据事件的分类可得出A不正确，根据近似数可得出B不正确；根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得出C正确；根据方差的意义，可得出D不正确，即可得出答案。
7．（2023·兴安盟）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.某队在12场比赛中得20分.设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该队胜x场，负y场，
根据题意，得：
故答案为：D.
【分析】该队胜x场，负y场，根据题意即可得出方程组。
8．（2023·兴安盟）若实数m，n是一元二次方程 的两个根，且mA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵ m∴m=-1，n=3，
∴点（m，n）即点（-1，3）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】首先解方程求得方程的根，再根据 m9．（2023·兴安盟）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接AC，BD，相较于点O，
∵四边形ABCD是菱形， ∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵AB=4，
∴AO=，
∴BO=，
∴AC=4，BD=4，
∵ E、F、G、H为 菱形ABCD各边中点 ，
∴EF=GH=，EH=FG==2，
∴ 四边形EFGH的周长为 ：2（EF+FG)=2×（2+2）=4+4
故答案为：C.
【分析】分别连接AC，BD，相较于点O，根据菱形的性质可得出含30°角的直角三角形，进而可得出AO=，再根据勾股定理可得出BO=，进而得出AC=4，BD=4，再根据中位线定理可得EF=GH=，EH=FG==2，进一步可得出 四边形EFGH的周长为4+4。
10．（2023·兴安盟）如图，直线y=ax+b（a≠0）与双曲线交于点A（-2，4）和点B（m，-2），则不等式的解集是（ ）
A．-2C．x<-2或04
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线y=ax+b（a≠0）与 双曲线经过点A（-2，4），
观察函数图象可得出不等式的解集是 ： -2故答案为：B.
【分析】观察函数图象，根据两图象的交点A（-2，4），即可得出不等式的解集是 ： -211．（2023·兴安盟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）
A．1：2 B． C．2：5 D．3：8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：由作图可知：AB=AD，且AP垂直平分BD，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴
∵ ∠ABC=90°，
∴∠C=90°-∠BAC=30°，
∴AE=CE ，
∴，
∴ S△BDE：S△CDE = 1：2 .
故答案为：A
【分析】由尺规作图可得出 AB=AD，且AP垂直平分BD，进而可得出是含30°的直角三角形，进而得出，再根据等腰三角形的判定可得出AE=CE ，即可得出，进一步即可得出 S△BDE：S△CDE = 1：2 .
12．（2023·兴安盟）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积与点P运动的时间t（s）的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①AF=5cm；②a=6；③点P从点E运动到点F需要10s；④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm.其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由长方形及点P运动过程可知：当t=2s时，点P位于点 B处，则 AB=2 cm，S==5cm2，所以AF=5cm，即①正确；
当t=13s时，点P位于点D处，A=25cm2，所以AB+BC+CD=13cm，S=，所以FE=10=AB+CD，故点P从点E运动到点F需要10s；所以③正确；
因为EF=10，AB=2，所以CD=10-2=8（cm），所以BC=13-10=3(cm），当t=as时，点P位于点C处，所以a=5，即②不正确；
矩形纸板裁剪前后周长相等，周长等于=（AF+BC+EF)×2= （5+3+10）×2=36（cm），所以④不正确。
故①③正确，正确的有2个.
故答案为：C.
【分析】根据图形和函数图象，可知：t=2s时，点P位于点 B处，则 AB=2 cm，S==5cm2，所以AF=5cm，①正确；t=13s时，点P位于点D处，A=25cm2，所以AB+BC+CD=13cm，S=，所以FE=10=AB+CD，故点P从点E运动到点F需要10s；所以③正确； 所以CD=10-2=8（cm），所以BC=13-10=3(cm），当t=as时，点P位于点C处，所以a=5，即②不正确； 矩形纸板裁剪前后周长相等，周长等于=（AF+BC+EF)×2= （5+3+10）×2=36（cm），所以④不正确。
故①③正确，
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（2023·兴安盟）分解因式：x3-4x= ．
【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】x3-4x
=x（x2-4），
=x（x+2）（x-2）．
【分析】 应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
14．（2023·兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为
【答案】（-4，8）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，由题意可得：
在Rt△OMB和Rt△B'NO中
∴Rt△OMB≌Rt△B'NO（AAS）
∴B'N=OM=8，ON=BM=4
∴点B'的坐标为（-4，8）
故答案为：（-4，8）
【分析】分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，根据全等三角形的判断定理可得Rt△OMB≌Rt△B'NO，再根据其性质即可求出答案.
15．（2023·兴安盟）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： .
【答案】2-m
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴上m的位置可知：m＜2，
∴m-2＜0，
∴ 。
故答案为：2-m。
【分析】首先根据m在数轴上的位置，可得出m＜2，进而得出m-2＜0，然后根据二次根式的性质进行化简即可。
16．（2023·兴安盟）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为，
∴每一个外角的度数为，
∴正六边形的每个内角的度数为，
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，，
解得，
故答案为：．
【分析】
先由正六边形的性质确定出扇形的圆心角度数，则可求得扇形的弧长，再利用弧长等于圆锥底面圆的周长即可．
17．（2023·兴安盟）观察下列各式：
请利用你所发现的规律，计算： = .
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】得到题目规律，然后根据规律化简，进行裂项相加解题即可.
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（2023·兴安盟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据绝对值的性质，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质以及特殊锐角的三角函数值，进行化简，进而合并同类二次根式即可。
19．（2023·兴安盟）先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
=9xy
当时
原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式，平方差公式以及单项式乘多项式进行整式的乘法运算，进而再合并同类项，然后把x，y的值代入原式进行有理数的运算即可。
20．（2023·兴安盟）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是-6，-1，5，转盘B上的数字分别是6，-7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小聪获胜；若a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平.
【答案】（1）
（2）解：列表得：
b a -6 -1 5
6 （-6，6） （-1，6） （5，6）
-7 （-6，-7） （-1，-7） （5，-7）
4 （-6，4） （-1，4） （5，4）
一共有9种等可能的结果
其中a+b>0的有4种（-1，6）、（-1，4）（5，6）（5，4）；
其中a+b<0的有4种（-6，-7）、（-6，4）（-1，-7）（5，-7）
∴P（小聪获胜）P（小明获胜）
P（小聪获胜）=P（小明获胜）
∴这个游戏公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 转盘A指针指向正数的概率 =；
故答案为：；
【分析】（1）转盘A的3个数中只有1个是正数，根据概率计算公式即可求得概率；
（2）根据列表法可分别求得 a+b＞0 和 a+b<0的概率，进而比较它们的大小即可得出结论。
21．（2023·兴安盟）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα=2.求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：）.
【答案】解：过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形.
∵AF∥MD
∴∠ACM=α
在Rt△AMC中，∠AMC=90°
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=90°-30°=60°
∴
答：河流的宽度CD约为64米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】：过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形.可得出，然后根据平行线的性质，可得出∠ACM=α，再在Rt△AMC中，根据正切的定义可得出，再在Rt△BDE中，根据60°正切的值，可得出，进而求得，进而可根据，求得河流的宽度CD的长。
22．（2023·兴安盟）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x<80，B组：80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图表.请结合统计图表，解答如下问题：
学生成绩统计表
组别 成绩x 频数
A 75≤x<80 20
B 80≤x<85 m
C 85≤x<90 144
D 90≤x<95 45
E 95≤x≤100 n
学生成绩统计图
（1）本次调查的样本容量为 ，学生成绩统计表中m= ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名
【答案】（1）400；176
（2）C
（3）解：∵n=400-（20+176+144+45）=15
∴扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为
答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为13.5°.
（4）解：
15%×2000=300
答：估计该校成绩优秀的学生约有300名.
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）144÷36%=400；m=400×44%=176；
故第1空答案为：400；第2空答案为：176；
（2）∵20+176=196；196+144=340，，
∴ 所抽取学生成绩的中位数落在 C组；
故答案为：C；
【分析】（1）由统计表可知：C组的频数为144，根据扇形统计图可知C组所占的比例为36%，即可得出本次调查的样本容量；再用样本容量×B组所占的比例即可求得m的值；
（2）根据A组与B组的频数和小于200.而A组，B组，C组的人数和大于201，即可得出 所抽取学生成绩的中位数落在C组；
（3）首先求得E组的频数n=400-（20+176+144+45）=15，进而可求得E组在根本容量中所占的比例，再乘360°即可得出答案；
（4）首先得出样本的优秀率，进而用样本估计总体，再用学校的总人数乘以优秀率，即可得出 该校成绩优秀的学生数。
23．（2023·兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若求BE的长.
【答案】（1）证明：连接OC
∵点C是的中点
∴，
∴∠ABC=∠CBD
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠CBD.
∴OC∥BD
∵BD⊥CD
∴∠D=90°
∴∠PCO=∠D=90°
∴OC⊥PD
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OC于M
∵PB=10
∴PO=PB-OB=10-OC
∴在Rt△PCO中
或OC=-5（不符合题意，舍去）
∵点C是AE的中点，OC是半径
∴OC垂直平分AE
∵OA=OB
∴OM是△AEB的中位线
∴BE=20M
∵AB是直径
∴∠AEB=∠D=90°，
∴AE∥PD
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OC，首先根据点C是的中点，可得出∠ABC=∠CBD，再根据OB=OC，可得出∠OBC=∠OCB，进而即可得出∠OCB=∠CBD，即可判定出OC∥BD，再根据BD⊥CD，可得出∠D=90°，进而由平行线的性质可得出∠PCO=∠D=90°，再根据OC是半径，即可得出 PC为⊙O的切线；
（2）连接AE交OC于M，根据线段之间的关系，在Rt△PCO中，可得出勾股定理得出，进一步求得或OC=-5（不符合题意，舍去），再根据垂径定理得出OC垂直平分AE，进而得出OM是△AEB的中位线，然后根据可根据AE∥PD，得出，从而得出，进而根据三角形中位线定理，得出。
24．（2023·兴安盟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售.
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折.y/元该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算
【答案】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为（a+10）元
方程两边乘a（a+10），得2000（a+10）=2500a
解得a=40
检验：当a=40时，a（a+10）≠0
∴a=40是原方程的解…
a+10=50
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元.
（2）解：①y1=40×80%x=32x（x≥0且x为整数）
当0≤x≤25且x为整数时，y2=40x
当x>25且x为整数时，y2=1000+（40x-1000）×70%=28x+300
②当x>25且x为整数，
y1=y2时32x=28x+300
x=75
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；
购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；
购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为（a+10）元，根据用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同，可得出，解得：a=40，进一步可求得a+10=50，即可得出答案；
（2）①根据两个厂家不同的优惠方案，可得出y1=40×80%x=32x（x≥0且x为整数）；；
②先求出两函数交点的横坐标，结合函数图象即可得出：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算.
25．（2023·兴安盟）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点.
（1）如图1，连接BE，DE.求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE=BF=2.求的值.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°
在△ABE和△ADE中
∴△ABE≌△ADE（SAS）
（2）△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE
∴∠ABE=∠ADE
∵四边形ABCD是正方形
∵∠AGD=∠FGB
∴∠FGB=∠FBG
∴BF=FG
∴△FBG是等腰三角形.
（3）解：∵BE=BF=2，BF=FG
∴BE=BF=FG=2
又∵FB⊥BE
∴△FBE是等腰直角三角形.
∴∠BEF=∠BAE=45°，BF2+BE2=EF2
∵∠BEF=∠BAE=45°，∠ABE=∠EBG
∴△ABE∽△EBG
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质，可得出AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，进而可根据SAS得出△ABE≌△ADE；
（2）△FBG是等腰三角形，由（1）知△ABE≌△ADE，可得出∠ABE=∠ADE，再根据等角的余角的性质及对顶角的性质，可得出∠FGB=∠FBG，进而得出BF=FG，即△FBG是等腰三角形；
（3）首先根据等腰直角三角形的性质可得出，再由等腰直角三角形的性质和正方形的性质，可得出∠BEF=∠BAE=45°，再由公共角∠ABE=∠EBG，可得出△ABE∽△EBG，可得出，进而即可得出，进一步计算即可。
26．（2023·兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：当y=0时，
解得x1=-3，x2=1
∴A（-3，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+n（k≠0）
把A（-3，0），C（0，3）代入得：解得
∴直线AC的解析式为y=x+3
设
∵PE∥x轴
∴点E的纵坐标为
又∵点E在直线AC上
∵PD∥y轴
∵-2<0，-3∴当时，PD+PE有最大值，最大值为
当时，
∴点P的坐标为
答：PD+PE的最大值为，点P的坐标为
（3）情况一：当点N在y轴上时，P为抛物线的顶点
当x=-1时，
顶点坐标（-1，4）
∵四边形PMCN为矩形∴N与P纵坐标相同
∴N（0，4）
情况二：当点N在x轴负半轴上时，四边形PMCN为矩形
过M作y轴的垂线，垂足为G，过P作x轴的垂线，垂足为H，
设N（t，0），则ON=-t
∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP
∴∠MCG+∠OCN=90°
∵∠ONC+∠OCN=90°
∴∠MCG=∠ONC
又∵∠CGM=∠CON=90°
∴△CMG∽△NCO
∵抛物线对称轴为点M在对称轴上，C（0，3）
∴MG=1，OC=3
即
∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°
∴∠CMG=∠PNH
∴△CMG≌△PNH
∴OH=ON+NH=-t+1
∴点P的坐标为
∵点P在抛物线上
解得（舍去）
综上所述：符合条件的N点坐标为：N（0，4）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）由，可求出A点坐标，再根据点C的坐标，求得直线AC的解析式，根据PE∥x轴，可得出点P，E的纵坐标相同，根据PD∥y轴，可得出点P，D的横坐标相同，设，则进而根据两点之间的距离可得出，根据函数的最值即可求解。
1 / 1内蒙古自治区呼伦贝尔、兴安盟2023年数学中考试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2023·兴安盟） 的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·兴安盟）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·兴安盟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·兴安盟）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·兴安盟）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2023·兴安盟）下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（-2，-3）关于x轴的对称点坐标是（-2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是则甲成绩比乙的稳定
7．（2023·兴安盟）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.某队在12场比赛中得20分.设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·兴安盟）若实数m，n是一元二次方程 的两个根，且mA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023·兴安盟）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·兴安盟）如图，直线y=ax+b（a≠0）与双曲线交于点A（-2，4）和点B（m，-2），则不等式的解集是（ ）
A．-2C．x<-2或04
11．（2023·兴安盟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）
A．1：2 B． C．2：5 D．3：8
12．（2023·兴安盟）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积与点P运动的时间t（s）的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①AF=5cm；②a=6；③点P从点E运动到点F需要10s；④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm.其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（2023·兴安盟）分解因式：x3-4x= ．
14．（2023·兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为
15．（2023·兴安盟）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： .
16．（2023·兴安盟）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
17．（2023·兴安盟）观察下列各式：
请利用你所发现的规律，计算： = .
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（2023·兴安盟）计算：
19．（2023·兴安盟）先化简，再求值：其中
20．（2023·兴安盟）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是-6，-1，5，转盘B上的数字分别是6，-7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小聪获胜；若a+b<0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平.
21．（2023·兴安盟）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα=2.求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：）.
22．（2023·兴安盟）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x<80，B组：80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图表.请结合统计图表，解答如下问题：
学生成绩统计表
组别 成绩x 频数
A 75≤x<80 20
B 80≤x<85 m
C 85≤x<90 144
D 90≤x<95 45
E 95≤x≤100 n
学生成绩统计图
（1）本次调查的样本容量为 ，学生成绩统计表中m= ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名
23．（2023·兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若求BE的长.
24．（2023·兴安盟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售.
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折.y/元该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算
25．（2023·兴安盟）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点.
（1）如图1，连接BE，DE.求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE=BF=2.求的值.
26．（2023·兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵（-5）×（- ）=1，
∴-5的倒数是- ．
故答案为：A．
【分析】根据乘积为1的两个数叫做互为倒数，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：
左视图如图：
故答案为：B．
【分析】
根据三视图的画法，画出左视图底层有2个，左侧有2个，画出图形即可解答．
3．【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、 ，原运算错误，A不符合题意；
B、，原运算错误，B不符合题意；
C、，原运算错误，C不符合题意；
D、运算正确，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式加减的运算得 可判断A、根据幂得乘方得可判断B，根据分式加减的运算通分计算得到，可判断C，根据分式除法的运算得，可判断D，逐一判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，由，得到结合，进行求解，即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
∴正整数解为：，有个，
故选A．
【分析】先移项求出不等式的解集，再按照要求取特殊解即可．
6．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；事件的分类；平均数及其计算；方差；近似数与准确数
【解析】【解答】解：A：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，所以A不正确；
B： 3.14精确到百分位，所以B不正确；
C： 点（-2，-3）关于x轴的对称点坐标是（-2，3） ，所以C正确；
D：因为S甲2＞S乙2，所以 乙成绩比甲的稳定，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据事件的分类可得出A不正确，根据近似数可得出B不正确；根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得出C正确；根据方差的意义，可得出D不正确，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该队胜x场，负y场，
根据题意，得：
故答案为：D.
【分析】该队胜x场，负y场，根据题意即可得出方程组。
8．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵ m∴m=-1，n=3，
∴点（m，n）即点（-1，3）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】首先解方程求得方程的根，再根据 m9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接AC，BD，相较于点O，
∵四边形ABCD是菱形， ∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵AB=4，
∴AO=，
∴BO=，
∴AC=4，BD=4，
∵ E、F、G、H为 菱形ABCD各边中点 ，
∴EF=GH=，EH=FG==2，
∴ 四边形EFGH的周长为 ：2（EF+FG)=2×（2+2）=4+4
故答案为：C.
【分析】分别连接AC，BD，相较于点O，根据菱形的性质可得出含30°角的直角三角形，进而可得出AO=，再根据勾股定理可得出BO=，进而得出AC=4，BD=4，再根据中位线定理可得EF=GH=，EH=FG==2，进一步可得出 四边形EFGH的周长为4+4。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线y=ax+b（a≠0）与 双曲线经过点A（-2，4），
观察函数图象可得出不等式的解集是 ： -2故答案为：B.
【分析】观察函数图象，根据两图象的交点A（-2，4），即可得出不等式的解集是 ： -211．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：由作图可知：AB=AD，且AP垂直平分BD，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴
∵ ∠ABC=90°，
∴∠C=90°-∠BAC=30°，
∴AE=CE ，
∴，
∴ S△BDE：S△CDE = 1：2 .
故答案为：A
【分析】由尺规作图可得出 AB=AD，且AP垂直平分BD，进而可得出是含30°的直角三角形，进而得出，再根据等腰三角形的判定可得出AE=CE ，即可得出，进一步即可得出 S△BDE：S△CDE = 1：2 .
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由长方形及点P运动过程可知：当t=2s时，点P位于点 B处，则 AB=2 cm，S==5cm2，所以AF=5cm，即①正确；
当t=13s时，点P位于点D处，A=25cm2，所以AB+BC+CD=13cm，S=，所以FE=10=AB+CD，故点P从点E运动到点F需要10s；所以③正确；
因为EF=10，AB=2，所以CD=10-2=8（cm），所以BC=13-10=3(cm），当t=as时，点P位于点C处，所以a=5，即②不正确；
矩形纸板裁剪前后周长相等，周长等于=（AF+BC+EF)×2= （5+3+10）×2=36（cm），所以④不正确。
故①③正确，正确的有2个.
故答案为：C.
【分析】根据图形和函数图象，可知：t=2s时，点P位于点 B处，则 AB=2 cm，S==5cm2，所以AF=5cm，①正确；t=13s时，点P位于点D处，A=25cm2，所以AB+BC+CD=13cm，S=，所以FE=10=AB+CD，故点P从点E运动到点F需要10s；所以③正确； 所以CD=10-2=8（cm），所以BC=13-10=3(cm），当t=as时，点P位于点C处，所以a=5，即②不正确； 矩形纸板裁剪前后周长相等，周长等于=（AF+BC+EF)×2= （5+3+10）×2=36（cm），所以④不正确。
故①③正确，
13．【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】x3-4x
=x（x2-4），
=x（x+2）（x-2）．
【分析】 应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
14．【答案】（-4，8）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，由题意可得：
在Rt△OMB和Rt△B'NO中
∴Rt△OMB≌Rt△B'NO（AAS）
∴B'N=OM=8，ON=BM=4
∴点B'的坐标为（-4，8）
故答案为：（-4，8）
【分析】分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，根据全等三角形的判断定理可得Rt△OMB≌Rt△B'NO，再根据其性质即可求出答案.
15．【答案】2-m
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴上m的位置可知：m＜2，
∴m-2＜0，
∴ 。
故答案为：2-m。
【分析】首先根据m在数轴上的位置，可得出m＜2，进而得出m-2＜0，然后根据二次根式的性质进行化简即可。
16．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为，
∴每一个外角的度数为，
∴正六边形的每个内角的度数为，
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，，
解得，
故答案为：．
【分析】
先由正六边形的性质确定出扇形的圆心角度数，则可求得扇形的弧长，再利用弧长等于圆锥底面圆的周长即可．
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】得到题目规律，然后根据规律化简，进行裂项相加解题即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据绝对值的性质，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质以及特殊锐角的三角函数值，进行化简，进而合并同类二次根式即可。
19．【答案】解：原式
=9xy
当时
原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式，平方差公式以及单项式乘多项式进行整式的乘法运算，进而再合并同类项，然后把x，y的值代入原式进行有理数的运算即可。
20．【答案】（1）
（2）解：列表得：
b a -6 -1 5
6 （-6，6） （-1，6） （5，6）
-7 （-6，-7） （-1，-7） （5，-7）
4 （-6，4） （-1，4） （5，4）
一共有9种等可能的结果
其中a+b>0的有4种（-1，6）、（-1，4）（5，6）（5，4）；
其中a+b<0的有4种（-6，-7）、（-6，4）（-1，-7）（5，-7）
∴P（小聪获胜）P（小明获胜）
P（小聪获胜）=P（小明获胜）
∴这个游戏公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 转盘A指针指向正数的概率 =；
故答案为：；
【分析】（1）转盘A的3个数中只有1个是正数，根据概率计算公式即可求得概率；
（2）根据列表法可分别求得 a+b＞0 和 a+b<0的概率，进而比较它们的大小即可得出结论。
21．【答案】解：过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形.
∵AF∥MD
∴∠ACM=α
在Rt△AMC中，∠AMC=90°
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=90°-30°=60°
∴
答：河流的宽度CD约为64米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】：过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形.可得出，然后根据平行线的性质，可得出∠ACM=α，再在Rt△AMC中，根据正切的定义可得出，再在Rt△BDE中，根据60°正切的值，可得出，进而求得，进而可根据，求得河流的宽度CD的长。
22．【答案】（1）400；176
（2）C
（3）解：∵n=400-（20+176+144+45）=15
∴扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为
答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为13.5°.
（4）解：
15%×2000=300
答：估计该校成绩优秀的学生约有300名.
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）144÷36%=400；m=400×44%=176；
故第1空答案为：400；第2空答案为：176；
（2）∵20+176=196；196+144=340，，
∴ 所抽取学生成绩的中位数落在 C组；
故答案为：C；
【分析】（1）由统计表可知：C组的频数为144，根据扇形统计图可知C组所占的比例为36%，即可得出本次调查的样本容量；再用样本容量×B组所占的比例即可求得m的值；
（2）根据A组与B组的频数和小于200.而A组，B组，C组的人数和大于201，即可得出 所抽取学生成绩的中位数落在C组；
（3）首先求得E组的频数n=400-（20+176+144+45）=15，进而可求得E组在根本容量中所占的比例，再乘360°即可得出答案；
（4）首先得出样本的优秀率，进而用样本估计总体，再用学校的总人数乘以优秀率，即可得出 该校成绩优秀的学生数。
23．【答案】（1）证明：连接OC
∵点C是的中点
∴，
∴∠ABC=∠CBD
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠CBD.
∴OC∥BD
∵BD⊥CD
∴∠D=90°
∴∠PCO=∠D=90°
∴OC⊥PD
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OC于M
∵PB=10
∴PO=PB-OB=10-OC
∴在Rt△PCO中
或OC=-5（不符合题意，舍去）
∵点C是AE的中点，OC是半径
∴OC垂直平分AE
∵OA=OB
∴OM是△AEB的中位线
∴BE=20M
∵AB是直径
∴∠AEB=∠D=90°，
∴AE∥PD
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OC，首先根据点C是的中点，可得出∠ABC=∠CBD，再根据OB=OC，可得出∠OBC=∠OCB，进而即可得出∠OCB=∠CBD，即可判定出OC∥BD，再根据BD⊥CD，可得出∠D=90°，进而由平行线的性质可得出∠PCO=∠D=90°，再根据OC是半径，即可得出 PC为⊙O的切线；
（2）连接AE交OC于M，根据线段之间的关系，在Rt△PCO中，可得出勾股定理得出，进一步求得或OC=-5（不符合题意，舍去），再根据垂径定理得出OC垂直平分AE，进而得出OM是△AEB的中位线，然后根据可根据AE∥PD，得出，从而得出，进而根据三角形中位线定理，得出。
24．【答案】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为（a+10）元
方程两边乘a（a+10），得2000（a+10）=2500a
解得a=40
检验：当a=40时，a（a+10）≠0
∴a=40是原方程的解…
a+10=50
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元.
（2）解：①y1=40×80%x=32x（x≥0且x为整数）
当0≤x≤25且x为整数时，y2=40x
当x>25且x为整数时，y2=1000+（40x-1000）×70%=28x+300
②当x>25且x为整数，
y1=y2时32x=28x+300
x=75
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；
购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；
购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为（a+10）元，根据用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同，可得出，解得：a=40，进一步可求得a+10=50，即可得出答案；
（2）①根据两个厂家不同的优惠方案，可得出y1=40×80%x=32x（x≥0且x为整数）；；
②先求出两函数交点的横坐标，结合函数图象即可得出：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°
在△ABE和△ADE中
∴△ABE≌△ADE（SAS）
（2）△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE
∴∠ABE=∠ADE
∵四边形ABCD是正方形
∵∠AGD=∠FGB
∴∠FGB=∠FBG
∴BF=FG
∴△FBG是等腰三角形.
（3）解：∵BE=BF=2，BF=FG
∴BE=BF=FG=2
又∵FB⊥BE
∴△FBE是等腰直角三角形.
∴∠BEF=∠BAE=45°，BF2+BE2=EF2
∵∠BEF=∠BAE=45°，∠ABE=∠EBG
∴△ABE∽△EBG
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质，可得出AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，进而可根据SAS得出△ABE≌△ADE；
（2）△FBG是等腰三角形，由（1）知△ABE≌△ADE，可得出∠ABE=∠ADE，再根据等角的余角的性质及对顶角的性质，可得出∠FGB=∠FBG，进而得出BF=FG，即△FBG是等腰三角形；
（3）首先根据等腰直角三角形的性质可得出，再由等腰直角三角形的性质和正方形的性质，可得出∠BEF=∠BAE=45°，再由公共角∠ABE=∠EBG，可得出△ABE∽△EBG，可得出，进而即可得出，进一步计算即可。
26．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：当y=0时，
解得x1=-3，x2=1
∴A（-3，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+n（k≠0）
把A（-3，0），C（0，3）代入得：解得
∴直线AC的解析式为y=x+3
设
∵PE∥x轴
∴点E的纵坐标为
又∵点E在直线AC上
∵PD∥y轴
∵-2<0，-3∴当时，PD+PE有最大值，最大值为
当时，
∴点P的坐标为
答：PD+PE的最大值为，点P的坐标为
（3）情况一：当点N在y轴上时，P为抛物线的顶点
当x=-1时，
顶点坐标（-1，4）
∵四边形PMCN为矩形∴N与P纵坐标相同
∴N（0，4）
情况二：当点N在x轴负半轴上时，四边形PMCN为矩形
过M作y轴的垂线，垂足为G，过P作x轴的垂线，垂足为H，
设N（t，0），则ON=-t
∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP
∴∠MCG+∠OCN=90°
∵∠ONC+∠OCN=90°
∴∠MCG=∠ONC
又∵∠CGM=∠CON=90°
∴△CMG∽△NCO
∵抛物线对称轴为点M在对称轴上，C（0，3）
∴MG=1，OC=3
即
∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°
∴∠CMG=∠PNH
∴△CMG≌△PNH
∴OH=ON+NH=-t+1
∴点P的坐标为
∵点P在抛物线上
解得（舍去）
综上所述：符合条件的N点坐标为：N（0，4）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）由，可求出A点坐标，再根据点C的坐标，求得直线AC的解析式，根据PE∥x轴，可得出点P，E的纵坐标相同，根据PD∥y轴，可得出点P，D的横坐标相同，设，则进而根据两点之间的距离可得出，根据函数的最值即可求解。
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