江西省多校联考2025-2026学年上学期高三1月联考数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 江西省多校联考2025-2026学年上学期高三1月联考数学试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
高 三 年 级 测 试
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则=
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，且在复平面内对应的点的坐标为，则
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线的一焦点到渐近线的距离为，则的离心率为
A. B.
C. D.
4. 若，则
A. B.
C. D.
5. 已知正方形的边长为2，点，分别为边，上的动点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30 cm，高为10 cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3 cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为
A. B.
C. D.
7. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，是的中点，满足，，的面积为，则为
A.5 B.6
C.7 D.
8. 若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1 351，1 361，1 352，1 186，1 269，1 206，1 244，1 256，对于这8个数据，下列结论正确的是
A. 极差是175 B. 平均数不小于1 300 C. 中位数是1 256 D.60%分位数是1 269
10. 若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是
A.2 B.3 C.4 D.6
11. 若数列满足对任意正整数，及常数，总存在且，使得，则称数列为倍可积数列，则
A. 当时，是2倍可积数列
B. 当为等比数列时，存在，使得是倍可积数列
C. 当是公差的等差数列时，不是1倍可积数列
D. 当是倍可积数列，且，时，数列的前30项和为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，若函数是偶函数，则 .
13. 抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记表示掷出的点数为合数的次数，则的数学期望 .
14. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，，是上不重合的两点. 若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）2025年高中“双休”政策出台后，某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系，认定周末每天学习不低于2小时，视为“自律”；每天学习低于2小时，视为“不自律”. 该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况，得到如下列联表.
（1） 从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，求该学生的学习成绩是进步的概率；
（2） 根据小概率值的独立性检验，分析学习自律是否与学习进步有关.
附：，.
16.（15分） 已知等比数列满足，且是与的等差中项.
（1） 求的通项公式；
（2） 若，求数列的前项和.
17.（15分）如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，， ， 平面 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 ， 点 在棱 上， 且 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.（17分）已知函数 （）， .
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 ， 证明： ， ；
（3）探究函数 的零点个数.
19.（17分）已知直线 与椭圆 （） 交于 ， 两点， 的左、右顶点分别为 ，， ， 的面积为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 （） 与 轴交于点 （点 在椭圆内）， 与 交于点 ，， 若 ， 求 的取值范围；
（3）已知点 ， ， 与 分别交于点 ，， 当 变化时， 判断直线 是否过定点， 若过定点， 求出该点坐标； 若不过定点， 请说明理由.
高 三 年 级 测 试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】由，得。而，故。故选A。
2.【答案】D
【解析】由题意：。由得，所以。故选D。
3.【答案】A
【解析】由题意知，则，故，即。故选A。
4.【答案】B
【解析】由题意得，所以，，所以。故选B。
5.【答案】C
【解析】以点为原点，直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，，，则。故选C。
6.【答案】D
【解析】四片瓦需要的粘土量为，所以800片瓦需要的粘土量为。故选D。
7.【答案】C
【解析】在中，由，得，即。由的面积为，得，即。在中，由余弦定理知，与联立，解得或。当时，得，此时，与题设矛盾，舍去；当时，得，此时，符合题设。故选C。
8.【答案】A
【解析】因为只有1个极值点，所以，。由，得。设，
， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 且， ， 当时， ， 当时， ， 所以当时有唯一极值点. 故选A.
9.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】极差是， 故A正确； 平均数为， 故B错误； 把这8个数据按照从小到大顺序排列， 中位数是第4个数与第5个数的平均数， 故C错误； ， 把这8个数据按照从小到大顺序排列，60%分位数是第5个数， 故D正确. 故选AD.
10.【答案】AB（每选对1个得3分）
【解析】因为， ， 若，是的相邻零点， 不是的零点， 此时； 若，是的相邻零点， 一定是的零点； 若，是的相邻零点， 则不是的零点， 此时. 故选AB.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】当时， ， ， ， ， 故A错误； 当是等比数列时， 设其公比为， 则时， ， 取， 因为， 所以是倍可积数列， 故B正确； 当是公差的等差数列时， 若是1倍可积数列， 则或每个方程组中的两个方程相减得或， 所以或， 若， 由得， ， 矛盾. 若， 由， 得， ， 则， 不存在且， 使得， 故C正确； 由， 得， 数列的前6项依次为，，，，，， 故D正确. 故选BCD.
12.【答案】
【解析】因为是偶函数， 所以， 即， 解得. 当时， ， 是偶函数， 所以.
13.【答案】
【解析】记事件表示“掷出的点数为合数”， 样本空间， 事件， 故. 显然， 故.
14.【答案】
【解析】设，，则。因为，，所以，，设，则，则，，所以，因为，不重合，所以。设，由得，，所以点的轨迹方程为。
15. 解：（1）记事件表示“抽取名学生，该学生是自律的”，
事件表示“抽取名学生，该学生的学习成绩是进步的”。
根据表格可知，，（3分）
则，（6分）
故从这名学生中随机抽取名学生，若该学生是自律的，则该学生学习成绩是进步的概率为。（7分）
（2）零假设：学习自律与学习进步无关。（9分）
由表中数据可得，（11分）
故根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学习自律与学习进步有关，该推断犯错误的概率不超过。（13分）
16. 解：（1）设等比数列的公比为，（1分）
因为是与的等差中项，
所以，所以，因为，所以，（4分）
所以的通项公式为。（7分）
（2）由（1）可得，（8分）
则，①
，②
①②得，（11分）
，（13分）
则。（15分）
17.（1）证明：因为四边形是菱形，，所以，
又因为，，所以。（2分）
因为，所以.（3分）
因为平面平面，平面平面，
所以平面，（5分）
因为平面，所以.（7分）
（2）解：由（1）知，，两两垂直，且，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示
则，，，，，（8分）
所以，，，，
，则.（10分）
设平面的法向量，
则即
取，得，，故.（12分）
设直线与平面所成的角为，
则，（14分）
所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分）
18.（1）解：因为，所以，（1分）
所以，.（2分）
所以的图象在处的切线方程为，即.（4分）
（2）证明：当时，要证明，，即证明，，
设，则，问题转化为，.（6分）
设，，则，（8分）
所以在区间上单调递减，所以，即，得证.（10分）
（3）解： 由得或，
即或，（11分）
设，则或.
因为，单调递增，且时，
所以方程有唯一的根为.（13分）
方程也有1个根为，
设，则，
当时，，单调递增，
方程有唯一的根，只有1个零点；（15分）
当时，令，得，
则在区间、上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
所以，，
易得，，且，，
所以在区间、上各有1个零点.
综上得，当时，有1个零点；当时，有3个零点.（17分）
19. 解：（1） 因为，的面积为，
所以点到直线的距离为，
即，所以，的方程为.（2分）
设，则，所以，，
所以，解得，
所以的方程为.（5分）
（2）设，，由得，
由，得，
，.（7分）
由得，代入得，
所以，显然不成立.（9分）
整理得，代入，
得的取值范围是.（11分）
（3）若直线过定点，由椭圆的对称性，
可得该点在轴上且与原点不重合，设其坐标为，
当直线斜率存在且不为时，
设直线的方程为，，，
类比（2）可得，.
所以.（13分）
由，，共线且，，共线得，，
所以，
整理得，
即，
整理得，
所以，直线过点；（15分）
当直线的斜率为时，直线为轴，也过点；
当直线的斜率不存在时同样有，
且，，代入上式得，直线过点.
综上所述，当变化时，直线过定点.（17分）
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则=
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，且在复平面内对应的点的坐标为，则
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线的一焦点到渐近线的距离为，则的离心率为
A. B.
C. D.
4. 若，则
A. B.
C. D.
5. 已知正方形的边长为2，点，分别为边，上的动点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30 cm，高为10 cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3 cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为
A. B.
C. D.
7. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，是的中点，满足，，的面积为，则为
A.5 B.6
C.7 D.
8. 若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1 351，1 361，1 352，1 186，1 269，1 206，1 244，1 256，对于这8个数据，下列结论正确的是
A. 极差是175 B. 平均数不小于1 300 C. 中位数是1 256 D.60%分位数是1 269
10. 若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是
A.2 B.3 C.4 D.6
11. 若数列满足对任意正整数，及常数，总存在且，使得，则称数列为倍可积数列，则
A. 当时，是2倍可积数列
B. 当为等比数列时，存在，使得是倍可积数列
C. 当是公差的等差数列时，不是1倍可积数列
D. 当是倍可积数列，且，时，数列的前30项和为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，若函数是偶函数，则 .
13. 抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记表示掷出的点数为合数的次数，则的数学期望 .
14. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，，是上不重合的两点. 若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）2025年高中“双休”政策出台后，某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系，认定周末每天学习不低于2小时，视为“自律”；每天学习低于2小时，视为“不自律”. 该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况，得到如下列联表.
（1） 从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，求该学生的学习成绩是进步的概率；
（2） 根据小概率值的独立性检验，分析学习自律是否与学习进步有关.
附：，.
16.（15分） 已知等比数列满足，且是与的等差中项.
（1） 求的通项公式；
（2） 若，求数列的前项和.
17.（15分）如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，， ， 平面 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 ， 点 在棱 上， 且 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.（17分）已知函数 （）， .
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 ， 证明： ， ；
（3）探究函数 的零点个数.
19.（17分）已知直线 与椭圆 （） 交于 ， 两点， 的左、右顶点分别为 ，， ， 的面积为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 （） 与 轴交于点 （点 在椭圆内）， 与 交于点 ，， 若 ， 求 的取值范围；
（3）已知点 ， ， 与 分别交于点 ，， 当 变化时， 判断直线 是否过定点， 若过定点， 求出该点坐标； 若不过定点， 请说明理由.
高 三 年 级 测 试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】由，得。而，故。故选A。
2.【答案】D
【解析】由题意：。由得，所以。故选D。
3.【答案】A
【解析】由题意知，则，故，即。故选A。
4.【答案】B
【解析】由题意得，所以，，所以。故选B。
5.【答案】C
【解析】以点为原点，直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，，，则。故选C。
6.【答案】D
【解析】四片瓦需要的粘土量为，所以800片瓦需要的粘土量为。故选D。
7.【答案】C
【解析】在中，由，得，即。由的面积为，得，即。在中，由余弦定理知，与联立，解得或。当时，得，此时，与题设矛盾，舍去；当时，得，此时，符合题设。故选C。
8.【答案】A
【解析】因为只有1个极值点，所以，。由，得。设，
， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 且， ， 当时， ， 当时， ， 所以当时有唯一极值点. 故选A.
9.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】极差是， 故A正确； 平均数为， 故B错误； 把这8个数据按照从小到大顺序排列， 中位数是第4个数与第5个数的平均数， 故C错误； ， 把这8个数据按照从小到大顺序排列，60%分位数是第5个数， 故D正确. 故选AD.
10.【答案】AB（每选对1个得3分）
【解析】因为， ， 若，是的相邻零点， 不是的零点， 此时； 若，是的相邻零点， 一定是的零点； 若，是的相邻零点， 则不是的零点， 此时. 故选AB.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】当时， ， ， ， ， 故A错误； 当是等比数列时， 设其公比为， 则时， ， 取， 因为， 所以是倍可积数列， 故B正确； 当是公差的等差数列时， 若是1倍可积数列， 则或每个方程组中的两个方程相减得或， 所以或， 若， 由得， ， 矛盾. 若， 由， 得， ， 则， 不存在且， 使得， 故C正确； 由， 得， 数列的前6项依次为，，，，，， 故D正确. 故选BCD.
12.【答案】
【解析】因为是偶函数， 所以， 即， 解得. 当时， ， 是偶函数， 所以.
13.【答案】
【解析】记事件表示“掷出的点数为合数”， 样本空间， 事件， 故. 显然， 故.
14.【答案】
【解析】设，，则。因为，，所以，，设，则，则，，所以，因为，不重合，所以。设，由得，，所以点的轨迹方程为。
15. 解：（1）记事件表示“抽取名学生，该学生是自律的”，
事件表示“抽取名学生，该学生的学习成绩是进步的”。
根据表格可知，，（3分）
则，（6分）
故从这名学生中随机抽取名学生，若该学生是自律的，则该学生学习成绩是进步的概率为。（7分）
（2）零假设：学习自律与学习进步无关。（9分）
由表中数据可得，（11分）
故根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学习自律与学习进步有关，该推断犯错误的概率不超过。（13分）
16. 解：（1）设等比数列的公比为，（1分）
因为是与的等差中项，
所以，所以，因为，所以，（4分）
所以的通项公式为。（7分）
（2）由（1）可得，（8分）
则，①
，②
①②得，（11分）
，（13分）
则。（15分）
17.（1）证明：因为四边形是菱形，，所以，
又因为，，所以。（2分）
因为，所以.（3分）
因为平面平面，平面平面，
所以平面，（5分）
因为平面，所以.（7分）
（2）解：由（1）知，，两两垂直，且，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示
则，，，，，（8分）
所以，，，，
，则.（10分）
设平面的法向量，
则即
取，得，，故.（12分）
设直线与平面所成的角为，
则，（14分）
所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分）
18.（1）解：因为，所以，（1分）
所以，.（2分）
所以的图象在处的切线方程为，即.（4分）
（2）证明：当时，要证明，，即证明，，
设，则，问题转化为，.（6分）
设，，则，（8分）
所以在区间上单调递减，所以，即，得证.（10分）
（3）解： 由得或，
即或，（11分）
设，则或.
因为，单调递增，且时，
所以方程有唯一的根为.（13分）
方程也有1个根为，
设，则，
当时，，单调递增，
方程有唯一的根，只有1个零点；（15分）
当时，令，得，
则在区间、上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
所以，，
易得，，且，，
所以在区间、上各有1个零点.
综上得，当时，有1个零点；当时，有3个零点.（17分）
19. 解：（1） 因为，的面积为，
所以点到直线的距离为，
即，所以，的方程为.（2分）
设，则，所以，，
所以，解得，
所以的方程为.（5分）
（2）设，，由得，
由，得，
，.（7分）
由得，代入得，
所以，显然不成立.（9分）
整理得，代入，
得的取值范围是.（11分）
（3）若直线过定点，由椭圆的对称性，
可得该点在轴上且与原点不重合，设其坐标为，
当直线斜率存在且不为时，
设直线的方程为，，，
类比（2）可得，.
所以.（13分）
由，，共线且，，共线得，，
所以，
整理得，
即，
整理得，
所以，直线过点；（15分）
当直线的斜率为时，直线为轴，也过点；
当直线的斜率不存在时同样有，
且，，代入上式得，直线过点.
综上所述，当变化时，直线过定点.（17分）
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