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浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末押题卷02
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 根据概率公式计算概率
2 0.85 二次函数图象的平移
3 0.75 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
4 0.65 垂径定理的推论；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用
5 0.65 解直角三角形的相关计算；三线合一；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.65 动点问题的函数图象；含30度角的直角三角形；图形运动问题(实际问题与二次函数)
7 0.65 列举法求概率
8 0.65 已知圆内接四边形求角度；圆周角定理
9 0.65 相似三角形的判定与性质综合；利用菱形的性质求线段长
10 0.64 根据三角形中线求面积；相似三角形的判定与性质综合；根据图形面积求比例系数（解析式）
二、知识点分布
二、填空题
11 0.75 二次根式的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算
12 0.65 根据旋转的性质说明线段或角相等；三角形内角和定理的应用；几何图形中角度计算问题
13 0.65 坐标与图形变化——轴对称；坐标系中的对称；坐标与图形综合；用勾股定理解三角形
14 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
15 0.65 多边形内角和问题；圆周角定理；切线的性质定理
16 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 零指数幂；求一个数的绝对值；二次根式的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
19 0.65 圆的基本概念辨析；求x轴与抛物线的截线长；用勾股定理解三角形
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；喷水问题(实际问题与二次函数)；坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
21 0.65 垂径定理的实际应用；圆与三角形的综合(圆的综合问题)；证明某直线是圆的切线；三角形内心有关应用
22 0.65 列表法或树状图法求概率
23 0.65 y=ax +bx+c的最值；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合
24 0.55 相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；已知正切值求边长；切线的性质定理2025—2026学年九年级数学上学期期末押题卷02
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C A D B D B B
1．D
本题主要考查了概率．直接根据概率公式解答即可．
解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个，
∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是．
故选：D
2．A
本题主要考查了二次函数图形的平移，根据“上加下减，左加右减”的原则即可求出平移后的二次函数的解析式．
解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为，
故选：A．
3．D
本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据旋转的性质可得，从而得到，，进而得到是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解题即可．
解：∵将绕点逆时针旋转得到，
，
∴，，
点A，D，E在同一条直线上，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：D
4．C
此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键．
连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案．
解：如图，连接，交于点，作于点，
∵点为的内心，
∴是的角平分线，是的角平分线，即，，
∴，
∴，
∵是直径得出，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：C．
5．A
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由四边形是矩形，得，即，又，所以，则，求得，通过勾股定理得，过作于点，则，求得，即，然后代入求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故选：．
6．D
本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键．
先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．
解：，，
∴．
如图，当点M在上运动时，，．
过点M作于点F．
在中，，
．
．
当点M在点A时，，即，
解得（负值已舍去）．
；
如图，当点M在AC上运动时，，．
过点M作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
故选：D．
7．B
本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键．
掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可．
解：由于、、、，
则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，
共有4种情况，
当数字之和为6时，棋子跳动到点处，
当数字之和为7时，棋子跳动到点处，
当数字之和为8时，棋子跳动到点处，
当数字之和为9时，棋子跳动到点处，
因此，棋子跳动到点处的概率是，
故选：B．
8．D
本题考查圆周角定理，圆内接四边形，掌握相关知识是解决问题的关键．
已知，则，由圆内接四边形对角互补可求．
解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
9．B
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质.
利用菱形的性质和线段中点定义可得，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
解：四边形是菱形，
，
点为的中点，
，
，
，
，
即，
，
故选：B．
10．B
本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．过点作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出，得出点是的中点，从而得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案．
解：过点作轴于，则，
∵反比例函数与交于点，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴点为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵函数与交于点，轴，
∴，
解得：，
∵图象在第一象限，
∴．
故选：B．
11．
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．
先求出特殊角的三角函数值，再计算二次根式即可．
解：
．
故答案为：．
12．10
本题主要考查了三角形内角和定理、旋转的性质、角的和差等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键．
由三角形的内角和定理可求，由旋转的性质可得，最后根据角的和差即可求解．
解：，，
，
将绕着点逆时针旋转后得到，
，
．
故答案为：．
13．
考查知识点平面直角坐标系中点的坐标特征、翻折的性质、勾股定理、两点间距离公式．
首先由轴、得；由得．再翻折后，．最后设，用两点间距离公式列方程和，联立解得．
轴，，∴ C 点坐标为．
由为直角三角形，，可得，解得．
，，
设，由得，
由得．
解得，即点 D 的纵坐标为．
故答案为：．
14．
本题考查了古典概率的基本计算，先分析电路通路条件，再列举出所有等可能结果，找出满足条件的结果，最后计算概率即可．
解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：，，，，共4种，
∴小灯泡发光的概率是．
故答案为：．
15．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接切点和圆心是解题的关键．连接，根据切线的性质得，由四边形的内角和求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可．
解：连接，
∵分别与圆相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
16．
本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线解析式为，，即可得出，即可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解．
解：∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，，
当时，，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点，
∴，
∴，，
∵位于线段的上方，
∴，，
∵，的长度随增大而减小，
∴，
∴的取值范围是．
故答案为：
17．(1)4
(2)
本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）根据二次根式、零指数幂的运算法则、绝对值的性质及进行计算即可；
（2）根据、、及进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)最小值为，最大值为
本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练地利用待定系数法求解二次函数的解析式是解本题的关键．
（1）把，，代入，建立方程组再求解即可；
（2）由，可得函数最小值，再分别计算当与时的函数值，从而可得答案．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：∵中，
∴抛物线开口向上，
又，
∴当时，函数最小值为，
当时，，
当时，，
∴当时，函数最小值为，最大值为7．
19．(1)4
(2)
本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
（1）令，求得的值，即可求得的长；
（2）令，求得，则，则，根据勾股定理可求的长，即可得的长．
（1）解：令，则，
解得，，
．
（2）解：如图，连接，
为的中点，
．
．
，
在中，由勾股定理得，
当时，，
．
．
20．(1)
(2)4
(3)水柱能越过这棵树，理由见解析
本题考查二次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握利用待定系数法求解析式、二次函数的图像性质、锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据与轴和轴的交点，求出点A、B的坐标，再待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）根据题意可得水柱离坡面的距离为，整理成顶点式，据此解答即可；
（3）过点C作于点D，在中，由于，则，进而得到、，则，将代入抛物线得到，据此解答即可．
（1）解：将代入得，
将代入得
解得，
则点、，
将点、代入得
解得，
因此，抛物线的函数关系式为；
（2）解：水柱离坡面的距离为
，
因此，水柱离坡面的最大高度为4；
（3）解：如图，过点C作于点D，
根据题意得，，
由（1）知点、，
则，，
在中，，
则，
在中，，，
则，
当时，，
因此，水柱能越过树．
21．(1)证明见解析
(2)的半径为
本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理．
（1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明；
（2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论．
（1）证明：连接交于点H，
∵点E是的内心，
∴平分，即，
∴
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵点E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
设，则，
在中，
，
解得，
∴的半径为．
22．(1)见解析，
(2)见解析
本题考查列表法与树状图法求概率．
（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两个乒乓球都是“金色”的结果数，再利用概率公式可得出答案；
（2）调整规则后的获奖概率大于即可．
（1）解：根据题意，列表如下：
金1 金2 银1 银2 银3
金1 —— （金2，金1） （银1，金1） （银2，金1） （银3，金1）
金2 （金1，金2） —— （银1，金2） （银2，金2） （银3，金2）
银1 （金1，银1） （金2，银1） —— （银2，银1） （银3，银1）
银2 （金1，银2） （金2，银2） （银1，银2） —— （银3，银2）
银3 （金1，银3） （金2，银3） （银1，银3） （银2，银3） ——
由表格可知，一共有20种等可能的情况，其中两个乒乓球都是“金色”的情况有2种，故其概率为，即抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率是；
（2）解：答案不唯一，如：
调整规则为：从抽奖箱里摸出一个乒乓球是“金色”，则抽奖者获得“艺术节大礼包”一份．
说明：调整规则后的获奖概率大于即可．
23．（1）见解析；（2）当时，y有最大值为；（3）见解析
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据证，即可得证；
（2）先证，得，即可求出函数解析式，继而求出最值；
（3）根据题意可得，由（2）得：，根据，可得，从而得到，可证明，即可求证．
（1）证明： 在正方形和正方形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）在正方形和正方形中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即当时，y有最大值为；
（3）∵E是的中点，
∴，
由（2）得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即平分．
24．(1)①；3.2
(2)
（1）①连接，先利用切线的性质得到，再利用圆周角定理求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
②延长交于F，利用垂径定理得，，利用等腰三角形的性质得到，则，设，半径为r，则，在中利用勾股定理求得，证明求得，进而可求解；
（2）连接，证明得到，设，，则，，则，再证明得到m与k的关系，进而可得结论．
（1）解：①连接
∵是切线，
∴，则，
∵经过圆心O，，
∴，
∴；
②延长交于F，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴
设，半径为r，则，
在中，，，
由得，解得，
∵，，
∴，
∴
∴，即，
解得，
∴，即半径为3.2；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是直径，，
∴，又，
∴
∴
∴
设，，则，，
∴，
∵是直径，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵
∴
∴，即，
∴，则（负值已舍去），
∴，
∴．
本题考查切线的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，设参数建立边边关系是解答的关键．2025—2026学年九年级数学上学期期末押题卷02
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
2．若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，线段的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（ ）
A． B． C． D．0
8．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
10．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的值为 ．
12．如图，将绕着点逆时针旋转后得到，若，，则的度数为 度．
13．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为 ．
14．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
15．如图，分别与圆相切于两点，点为圆优弧上一点，连接，若，则的度数为 ．
16．抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．已知二次函数的图象经过点，，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求此函数的最小值与最大值．
19．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、C、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径．
(1)求半圆的直径的长．
(2)求这个“果圆”被轴截得的的长．
20．如图，斜坡长8米，按图中的直角坐标系可用表示，点，分别在轴和轴上，在坡上的处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到处，抛物线可用表示．
(1)求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
(2)请直接写出水柱离坡面的最大高度；
(3)在斜坡上距离点2米的点处有一棵2.5米高的树，水柱能不能越过这棵树？请说明理由．
21．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线．
(1)求证：是的切线；
(2)若， 求的半径．
22．为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了“校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节．在一个不透明的抽奖箱里放了5个除颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中2个“金色”3个“银色”．抽奖规则：从抽奖箱里依次摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大礼包”一份．
(1)请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率．
(2)为了提高“艺术节大礼包”的获奖概率，请你调整抽奖规则．（写出一种即可）
23．综合与探究
问题情境：如图，正方形的边长为2，点从点开始沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．
猜想证明
（1）求证：．
拓展延伸
（2）设，，当取何值时，有最大值？请求出的最大值．
（3）连接，当点运动到的中点时，求证：平分．
24．如图，是等腰的外接圆，，是切线，连接交于点E，连接、，
(1)如图1，若经过圆心O，
①若，求的度数；
②若，，求半径；
(2)如图2，若是直径，连接并延长，交于点F（），连接交于点G，，求的值．
