培优专题-用分组分解法进行因式分解(含答案)

用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ）

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式

故选择C
例2. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：

解法2：

2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足
证明：以a、b、c为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
证明：

3. 在方程中的应用
例：求方程的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解
解：


4、中考点拨
例1.分解因式：_____________。
解：

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：____________
解：

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：____________
解：

说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：
解：

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：，求ab+cd的值。
解：ab+cd=


说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。
解一（拆项）：


解二（添项）：

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
【实战模拟】
1. 填空题：

2. 已知：
3. 分解因式：
4. 已知：，试求A的表达式。
5. 证明：
【试题答案】
1. （1）解：

（2）解：

（3）解：

2. 解：


说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。
3. 解：

4. 解：


5. 证明：