(共38张PPT)
专题六
微切口5 解析几何中斜率关系的处理技巧
解析几何
基础打底
【解析】
D
2．已知抛物线C：x2＝2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
【解析】
A
【解析】
A
4．已知点A(－2，1)，直线l与抛物线x2＝4y交于B，C两点(均不同于点A)．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且有k1＋k2＝2k1k2，则直线l经过定点__________．
【解析】
【答案】(4，3)
强技提能
目标
1
显性条件的表达
1
【解答】
1
【解答】
【解答】
【解答】
目标
2
隐性条件的发掘
2
【解答】
【解答】
2
对于角平分线，常见的处理方式为利用斜率，或类似于本题利用角平分线性质．
【解答】
【解答】
热练
【解答】
(2) 已知M(1，0)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
”27世2
子2世后
显然直线的斜率存在，设其方程为=x+2、心22”
消去y得
2-2k-4=0,所以xx,=-4.从而ko1ko==三2
1
X1X2
3.
已知椭圆(C:三十为-1(a>b>0)的左顶点为小，点P,Q均在C上，且关于轴对
称.
若直线AP,AQ的斜率之积为，！
则C的离心率为
A.
2
3
设直线的方程为y=:+m一定存在，且r2k+1).联立kx+m,消
x2=4y,
去y整理得x2-4x-4m=0.由>0，得162+16m>0,即2+m>0.
设B(x1,y1),C(2,y2),则x1十x2=4k,x1x2=一4m.
由题意得k1=一=主
-1x1二2
2x1十2
同理可得k2=2一2
十
4
由k十k=2站，得+二4-2十)十，化简得4，十)-12=x,
4
8
故16k-12=-4m,即m=3一4k.
故直线的方程为y=x十3一4k=k(x一4)+3，所以直线经过定点(4,3)
(2025·青岛一模节选)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,短轴长为2V3,离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2025·青岛一模节选)已知椭圆C:
三十，=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,短轴长为2V3,离心率为
(2)记椭圆C的左顶点为A,直线1与C交于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之积为
证明：直线过定点.5 解析几何中斜率关系的处理技巧
基础打底
1．已知抛物线C：y2=4x，过点M的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的斜率为( D )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得k=====－2．
2．已知抛物线C：x2=2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为( A )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
【解析】 显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx＋2，由消去y得x2－2kx－4=0，所以x1x2=－4．从而kOA·kOB====－1．
3．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由题知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP=，kAQ=，故kAP·kAQ=== ①．因为＋=1，所以= ②，将②代入①整理得=，故离心率e===．
4．已知点A(－2，1)，直线l与抛物线x2=4y交于B，C两点(均不同于点A)．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且有k1＋k2=2k1k2，则直线l经过定点__(4，3)__．
【解析】 设直线l的方程为y=kx＋m(k一定存在，且m≠2k＋1)．联立消去y整理得x2－4kx－4m=0．由Δ＞0，得16k2＋16m＞0，即k2＋m＞0．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4m．由题意得k1===．同理可得k2=．由k1＋k2=2k1k2，得 =，化简得4(x1＋x2)－12=x1x2，故16k－12=－4m，即m=3－4k．故直线l的方程为y=kx＋3－4k=k(x－4)＋3，所以直线l经过定点(4，3)．
强技提能
显性条件的表达
例1 (2025·青岛一模节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，离心率为．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 由题意得2b=2，=，故b=，a=2c，又a2=b2＋c2，解得c=1，a=2，所以椭圆C的方程为＋=1．
(2) 记椭圆C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为－，证明：直线l过定点．
【解答】 由题知A(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，此时直线l与C的两交点关于x轴对称，设P(x1，y1)，Q(x1，－y1)，则=－，即＋4x1＋4=4，又＋=1，所以=3－，所以＋4x1＋4=12－3，解得x1=1或－2．当x1=－2时，y1=0，此时P(x1，y1)与A(－2，0)重合，不符合题意；当x1=1时，直线l的方程为x=1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx＋b，与C：＋=1联立得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12=0，则Δ=64k2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＞0，解得4k2－b2＋3＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，所以y1y2=k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2=＋＋b2=．由==－，得=－，化简得=－，b2－kb－2k2=0，解得b=2k或b=－k．当b=2k时，y=kx＋2k=k(x＋2)，直线l过定点A(－2，0)，不符合题意；当b=－k时，y=kx－k=k(x－1)，直线l过定点(1，0)，显然此时满足4k2－b2＋3＞0．综上，直线l过定点(1，0)．
手电筒模型：P(x0，y0)是椭圆＋=1(a＞b＞0)上一点，若A，B是椭圆上的两个动点，且满足kPA＋kPB=λ(kPA·kPB=t)是定值，则
(1) 当λ=0时，直线AB的斜率为定值；(2) 当λ≠0时，直线AB恒过定点．
变式1 已知点A(0，)，B(0，－)，点P在以AB为直径的圆上运动，PD⊥y轴，垂足为D，点M满足=，点M的轨迹为C．
(1) 求C的方程；
【解答】 依题意，点P在圆x2＋y2=3上运动，且不与A，B重合．设M(x，y)，P(x0，y0)，D(0，y0)．由=，得(x0，0)=(x，y－y0)，则又＋=3，即2＋y2=3，所以C的方程为＋=1(x≠0)．
(2) 过点N(0，1)的直线l交C于点E，F，设直线AE，BF的斜率分别为k1，k2，证明为定值，并求出该定值．
【解答】 依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx＋1，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由得(3＋4k2)x2＋8kx－8=0，Δ＞0，则x1＋x2=，x1x2=，得x1＋x2=kx1x2．又k1=，k2=，所以======2＋，所以为定值2＋．
隐性条件的发掘
例2 (2025·东莞、揭阳、韶关期末节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，离心率e=，P，Q是椭圆C上的动点，且当PF1⊥F1F2时，|PF1|=1．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 因为椭圆C的离心率e==，所以c=a，b==a，又当PF1⊥F1F2时，|PF1|=1，所以＋=1，解得a=2，b=，所以椭圆C的方程为＋=1．
(2) 若∠PAQ的平分线经过点F1，证明：直线PQ恒过定点．
【解答】 由∠PAQ的平分线经过点F1，得AP，AQ的斜率都存在且不相等．易知点A的坐标为(0，－)，设AP：y=k1x－，AQ：y=k2x－，又点F1的坐标为(－，0)，所以=，化简得k1k2=1．由已知得直线PQ与x轴不平行，设直线PQ的方程为x=my＋t，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4=0，Δ=(2mt)2－4(m2＋2)(t2－4)＞0，则y1＋y2=，y1y2=．由k1k2==1，得(y1＋)(y2＋)=x1x2，所以(y1＋)(y2＋)=(my1＋t)(my2＋t)，得y1y2＋(y1＋y2)＋2=m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2，所以＋＋2=m2·＋mt·＋t2，化简得6m2－2mt－t2=0，解得t=m或－3m．又当t=m时，直线PQ经过点A，不符合题意，所以t=－3m，直线PQ经过定点N(0，3)．
对于角平分线，常见的处理方式为利用斜率，或类似于本题利用角平分线性质．
变式2 已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)过A，B两点．
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】 因为椭圆E过A，B两点，所以解得所以椭圆E的方程为＋=1．
(2) 已知Q(4，0)，过点P(1，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，证明：=．
【解答】 当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，所以M(2，0)，N(－2，0)或M(－2，0)，N(2，0)，易得=．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(m2＋2)y2＋2my－3=0，Δ=(2m)2＋12(m2＋2)=16m2＋24＞0，所以y1＋y2=－，y1y2=－．因为kMQ=，kNQ=，所以kMQ＋kNQ=＋=＋====0，所以QP平分∠MQN．因为=，=，所以=，即=．
配套热练
1．(2025·南昌一模节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率e=，如图，过点P(4，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点(A在B上方)，当l的斜率为－时，点A恰与椭圆的上顶点重合．
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】 当l的斜率为－时，直线l：y=－x＋1，与y轴交点为(0，1)，故b=1．因为e===，所以a=2，所以椭圆C的标准方程为＋y2=1．
(2) 已知M(1，0)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
【解答】 由题意得，直线l斜率存在且不为0，设直线l：x=my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12=0，则Δ=(8m)2－4×12×(m2＋4)=16(m2－12)＞0，即m2＞12，所以y1＋y2=，y1y2=．所以k1＋k2=＋=，因为x1y2＋x2y1－(y1＋y2)=2my1y2＋3(y1＋y2)=2m·＋3·=0，所以k1＋k2=0．
2．在圆O：x2＋y2=2上任取一点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，点Q满足=，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C，过点M(2，0)且斜率不为0的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1) 求曲线C的方程．
【解答】 设点P(x0，y0)，Q(x，y)，则D(x0，0)．由=，得(0，－y0)=(x0－x，－y)，因此而＋=2，即＋y2=1，所以曲线C的方程为＋y2=1．
(2) 已知点T(t，0)，设直线AT，BT的斜率分别为k1，k2，是否存在实数t(t≠2)，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 存在t=1，使得为定值－1．设直线l的方程为x=my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x，整理得(m2＋2)y2＋4my＋2=0，由Δ=16m2－8(m2＋2)=8m2－16＞0，得m2＞2，所以y1＋y2=，y1y2=，则my1y2=－(y1＋y2)．依题意，k1=，k2=，所以=====，要使为定值，则=－×，即t2－3t＋2=0，解得t=1或t=2(舍去)，所以存在t=1，使得为定值－1．
3．(2025·枣庄3月模拟节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的右焦点为F，C上一动点D到F的距离的取值范围为［－2，＋2］．
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】 设椭圆C：＋=1的半焦距为c，则a－c≤|DF|≤a＋c，而点D到F的距离的取值范围为［－2，＋2］，因此解得则b2=2，所以椭圆C的标准方程为＋=1．
(2) 设斜率为k(k≠0)的直线l过点F，交C于A，B两点，记线段AB的中点为N，直线ON交直线x=3于点M，求∠MFA的大小．
【解答】 由(1)知点F(2，0)，则直线l的方程为y=k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6=0，Δ=144k4－24(2k2－1)(3k2＋1)=24(k2＋1)＞0，x1＋x2=，x1x2=，则y1＋y2=k(x1＋x2)－4k=，故线段AB的中点为N，直线ON的斜率kON=－，直线ON：y=－x交直线x=3于点M，因此直线MF的斜率kMF==－，即kMF·kAB=－1，则直线MF与直线AB垂直，所以∠MFA=．
4．(2025·晋城二模节选)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过F的直线l与C交于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=c．
(1) 求双曲线C的离心率；
【解答】 当l⊥x轴时，由－=1，解得y=±．由|PQ|=c，得=c，所以2(c2－a2)=ac，整理得2e2－e－2=0，解得e=或e=－(舍去)，故双曲线C的离心率为．
(2) 若C经过点B(4，)，M为C的左支上一动点，D(0，)，N为C的右支上一动点，若M，A，N三点不共线，且AD平分∠MAN，证明：直线MN恒过定点．
【解答】 由(1)知，e==，又c2=a2＋b2，所以a=b，所以C的方程为x2－y2=a2．将B(4，)代入，得a2=16－14=2，故C的方程为x2－y2=2．因为A(－，0)，D(0，)，所以直线AD的方程为y=x＋．因为AD平分∠MAN，所以直线AM与AN关于直线AD对称，所以直线AM与AN的斜率之积为1．显然直线MN的斜率存在，设其方程为y=kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立得(1－k2)x2－2ktx－t2－2=0，则1－k2≠0，且Δ=(－2kt)2＋4(1－k2)(t2＋2)=4(t2＋2－2k2)＞0，x1＋x2=，x1x2=－，kAM·kAN====1，整理得(k2－1)x1x2＋(kt－)(x1＋x2)＋t2－2=0，所以(k2－1)×＋(kt－)×＋t2－2=0，即t(t－k)=0，解得t=0或t=k．当t=k时，直线MN的方程为y=kx＋t=k(x＋)，即直线MN恒过定点A(－，0)，M，A，N三点共线，舍去；当t=0，且Δ=8(1－k2)＞0时，此时直线MN恒过定点(0，0)．综上可知，直线MN恒过定点(0，0)．
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基础打底
1．已知抛物线C：y2=4x，过点M的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的斜率为( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
2．已知抛物线C：x2=2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
3．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．已知点A(－2，1)，直线l与抛物线x2=4y交于B，C两点(均不同于点A)．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且有k1＋k2=2k1k2，则直线l经过定点____．
强技提能
显性条件的表达
例1 (2025·青岛一模节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，离心率为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 记椭圆C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为－，证明：直线l过定点．
手电筒模型：P(x0，y0)是椭圆＋=1(a＞b＞0)上一点，若A，B是椭圆上的两个动点，且满足kPA＋kPB=λ(kPA·kPB=t)是定值，则
当λ=0时，直线AB的斜率为定值；(2) 当λ≠0时，直线AB恒过定点．
变式1 已知点A(0，)，B(0，－)，点P在以AB为直径的圆上运动，PD⊥y轴，垂足为D，点M满足=，点M的轨迹为C．
(1) 求C的方程；
(2) 过点N(0，1)的直线l交C于点E，F，设直线AE，BF的斜率分别为k1，k2，证明为定值，并求出该定值．
隐性条件的发掘
例2 (2025·东莞、揭阳、韶关期末节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，离心率e=，P，Q是椭圆C上的动点，且当PF1⊥F1F2时，|PF1|=1．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若∠PAQ的平分线经过点F1，证明：直线PQ恒过定点．
对于角平分线，常见的处理方式为利用斜率，或类似于本题利用角平分线性质．
变式2 已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)过A，B两点．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 已知Q(4，0)，过点P(1，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，证明：=．
配套热练
1．(2025·南昌一模节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率e=，如图，过点P(4，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点(A在B上方)，当l的斜率为－时，点A恰与椭圆的上顶点重合．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知M(1，0)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
2．在圆O：x2＋y2=2上任取一点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，点Q满足=，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C，过点M(2，0)且斜率不为0的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1) 求曲线C的方程．
(2) 已知点T(t，0)，设直线AT，BT的斜率分别为k1，k2，是否存在实数t(t≠2)，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．(2025·枣庄3月模拟节选)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的右焦点为F，C上一动点D到F的距离的取值范围为［－2，＋2］．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设斜率为k(k≠0)的直线l过点F，交C于A，B两点，记线段AB的中点为N，直线ON交直线x=3于点M，求∠MFA的大小．
4．(2025·晋城二模节选)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过F的直线l与C交于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=c．
(1) 求双曲线C的离心率；
(2) 若C经过点B(4，)，M为C的左支上一动点，D(0，)，N为C的右支上一动点，若M，A，N三点不共线，且AD平分∠MAN，证明：直线MN恒过定点．
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