3 圆锥曲线中的长度计算和面积转化
基础打底
1．已知椭圆＋y2=1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 在椭圆＋y2=1中，a=3，b=1，则c==2，故点F(－2，0)．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，直线AB的方程为y=(x＋2)，即x=y－2，联立可得12y2－4y－1=0，Δ=16×6＋4×12=144＞0，由韦达定理可得y1＋y2=，y1y2=－，所以|AB|==2=2．
2．已知抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点为F(0，2)，斜率为2的直线过点F，且与抛物线E交于A，B两点，则线段AB的长为( B )
A．20 B．40
C．60 D．80
【解析】 因为F(0，2)为抛物线E的焦点，所以=2，解得p=4，故抛物线E：x2=8y．因为直线AB：y=2x＋2，所以由得x2－16x－16=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=16，所以y1＋y2=2x1＋2＋2x2＋2=2(x1＋x2)＋4=36，所以|AB|=y1＋y2＋p=36＋4=40．
3．(2025·亳州期末)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线2x－y－4=0与C交于P，Q两点，则△FPQ的面积为( B )
A．2 B．3
C．6 D．8
【解析】 联立消去y，得(2x－4)2=4x，即x2－5x＋4=0，解得x=1或x=4．如图，可得P(4，4)，Q(1，－2)，由题可得F(1，0)，则|FQ|=2，点P到FQ的距离为d=3，则△FPQ的面积为|FQ|·d=×2×3=3．
4．(2025·漳州一模)已知双曲线C：x2－y2=4，M为C上一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为( B )
A．1 B．2
C．4 D．6
【解析】 如图，双曲线C：x2－y2=4，即－=1，为等轴双曲线，渐近线的夹角为90°，则四边形OAMB为矩形．设点M(m，n)，则m2－n2=4，点M(m，n)到渐近线x－y=0的距离为，点M(m，n)到渐近线x＋y=0的距离为，则四边形OAMB的面积为==2．
强技提能
长度问题
例1 (1) (2025·济南质检)已知双曲线C：－y2=1，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若|MN|=，则点P的坐标为__(，0)__．
【解析】 直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为，可设直线l的方程为y=x＋m，与双曲线方程－y2=1联立，化简可得8x2＋6mx＋3m2＋3=0，由Δ=108m2－32(3m2＋3)=12m2－96＞0，得m＞2或m＜－2．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2=－＞0，x1x2=＞0，则m＜0，所以m＜－2．由|MN|=·|x1－x2|=2=2 ==，解得m=3(舍去)或m=－3，所以直线l的方程为y=x－3，令y=0，可得x=，故点P的坐标为(，0)．
(2) (2025·长沙调研)如图所示，由半椭圆C1：＋=1(y≤0)和两个半圆C2：(x＋1)2＋y2=1(y≥0)，C3：(x－1)2＋y2=1(y≥0)组成曲线C：F(x，y)=0，其中A1，A2依次为C1的左、右顶点，B为C1的下顶点，F1，F2依次为C1的左、右焦点，且点F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心．若过点F1，F2作两条平行线l1，l2分别与C1，C2和C1，C3交于点M，N和P，Q，则|MN|＋|PQ|的最小值为__5__．
【解析】 由两圆的方程知，圆心分别为C2(－1，0)，C3(1，0)，即F1(－1，0)，F2(1，0)，所以b2＋1=4，解得b2=3，所以C1：＋=1(y≤0)．由题意知|MN|＋|PQ|=|MF1|＋|PF2|＋2，因为l1∥l2，所以由对称性可知|MF1|＋|PF2|为椭圆＋=1截直线l2的弦长．设l2：x=my＋1，其与椭圆＋=1交于点(x1，y1)和(x2，y2)．由得(3m2＋4)y2＋6my－9=0，则Δ=36m2＋36(3m2＋4)=144(m2＋1)＞0，所以y1＋y2=－，y1y2=－，所以|MF1|＋|PF2|= ==4－，当m=0时，|MF1|＋|PF2|取得最小值4－1=3，所以|MN|＋|PQ|的最小值为3＋2=5．
弦长公式的两种形式
1．若A，B是直线y=kx＋m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程px2＋qx＋r=0，则|AB|=·|xA－xB|=．
2．若A，B是直线x=my＋n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程py2＋qy＋r=0，则|AB|=·|yA－yB|=．
变式1 (2025·保定质检改编)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，若|DE|=6，则|DF1|＋|AD|的值为____．
【解析】 因为椭圆的离心率为e==，所以a=2c，所以b2=a2－c2=3c2，所以椭圆的方程为＋=1，即3x2＋4y2－12c2=0．不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为|AF2|=a，|OF2|=c，a=2c，所以∠AF2O=，所以△AF1F2为正三角形．因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，斜率的倒数为，直线DE的方程为x=y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2=0，整理得13y2－6cy－9c2=0，Δ=(6c)2＋4×13×9c2=62×16×c2，所以|DE|=·|y1－y2|=2×=2×=6，所以c=，得a=2c=．因为DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|=|DF2|，所以|DF1|＋|AD|=|DF1|＋|DF2|=2a=．
三角形面积
例2 设椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1．
(1) 求椭圆方程及其离心率；
【解答】 如图，由题意得解得a=2，c=1，所以b==，所以椭圆的方程为＋=1，离心率为e==．
(2) 已知P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP的面积的两倍，求直线A2P的方程．
【解答】 由题意知直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为＋=1可得A2(2，0)，设直线A2P的方程为y=k(x－2)，联立消去y，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12=0，由韦达定理得xA2·xP=，所以xP=，所以P，Q(0，－2k)．所以=×4×|yQ|， =×1×|yP|，=×4×|yP|，所以=＋ =2＋，所以2|yQ|=3|yP|，即2|－2k|=3，解得k=±，所以直线A2P的方程为y=±(x－2)．
1．三角形面积的处理方法
(1) S△=·底·高；
(2) S△=·水平宽·铅锤高；
(3) 在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则△OMN的面积为S=|x1y2－x2y1|．
2．三角形面积比的处理方法
对顶角模型(图(1))、共角模型(图(2))
图(1)
图(2)
==．
变式2 已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
(1) 求双曲线的标准方程；
【解答】 由已知得渐近线方程为bx±ay=0，右焦点F(c，0)，所以=，又a2＋b2=c2，所以=，即b=．因为离心率e==2，所以b2=c2－a2=3a2=3，所以a=1，c=2，故双曲线的标准方程为x2－=1．
(2) 若P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求△FMN的面积的最小值．
【解答】 x2－=1的渐近线方程为y=±x．当直线l的斜率不存在时，此时P(1，0)，直线l的方程为x=1，代入渐近线方程，得y=±，故|MN|=2，又F(2，0)，故△FMN的面积S△FMN=|MN|·|PF|=×2×1=．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx＋m，联立消去y，得(k2－3)x2＋2kmx＋m2＋3=0，因为直线l与双曲线相切，所以Δ=4k2m2－4(k2－3)(m2＋3)=0，解得m2=k2－3＞0．另设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去y，得(k2－3)x2＋2kmx＋m2=0，所以x1＋x2===，x1x2==1，则y1＋y2=k(x1＋x2)＋2m===－，y1y2=k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2=k2＋km·＋m2=－3．在△OMN中，可得|OM|=2x1，|ON|=2x2，所以S△OMN =|OM|·|ON|·sin∠MON=2x1x2·=，所以S△FMN=S△OFM＋S△OFN－S△OMN =|OF|·|y1－y2|－=－=－，因为m2=k2－3＞0，所以S△FMN=－＞2－=．综上所述，S△FMN≥，其最小值为．
四边形面积
例3 已知抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率为1时，|AB|=8．
(1) 求C的方程；
【解答】 由题意，直线l的斜率必存在．设直线l的方程为y=kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－2pkx－p2=0(*)，所以当k=1时，x1＋x2=2p，此时|AB|=y1＋y2＋p=＋＋p=(x1＋x2)＋2p=4p=8，即p=2，所以C的方程为x2=4y．
(2) 若点P的横坐标为2，求|QE|；
【解答】 由(1)知，x1＋x2=2pk=4k，则xQ=2k，代入直线y=kx＋1得yQ=2k2＋1，则AB的中点为Q(2k，2k2＋1)．因为x2=4y，所以y′=，则直线PA的方程为y－y1=(x－x1)，即y=x1x－．同理，直线PB的方程为y=x2x－，所以xP===2k，yP=－==－1，所以P(2k，－1)．若xP=2，则2k=2，即k=1，此时Q(2，3)，P(2，－1)，所以直线PQ的方程为x=2，代入x2=4y，得y=1，所以E(2，1)，所以|QE|=2．
(3) 设C在点E处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值．
【解答】 由(2)知Q(2k，2k2＋1)，P(2k，－1)，所以直线PQ的方程为x=2k，代入x2=4y，得y=k2，所以E(2k，k2)，所以E为PQ的中点．因为C在点E处的切线斜率y′=×2k=k，所以C在点E处的切线平行于AB．又因为E为PQ的中点，所以S四边形ABNM=S△ABP．由(1)中(*)式得x2－4kx－4=0，所以x1＋x2=4k，因为直线AB的方程为y=kx＋1，所以|AB|=y1＋y2＋p=(kx1＋1)＋(kx2＋1)＋2=k(x1＋x2)＋4=4k2＋4．又P(2k，－1)到直线AB的距离h==2，所以S△ABP=|AB|·h=·(4k2＋4)·2=4(k2＋1)≥4(当且仅当k=0时取“=”)，所以S四边形ABNM=S△ABP≥3，所以四边形ABNM面积的最小值为3．
四边形面积的处理方法：(1)分割成两个三角形分别求解；(2)四边形面积可通过割补或比例转化成与某个三角形面积相关，从而求三角形面积即可．
配套热练
1．(2025·泉州二检)已知点A，B为椭圆C：＋y2=1的上、下顶点，点M(2λ，0)，N(2，λ－1)，其中λ∈R，且λ≠1，直线AM与BN交于点P．
(1) 证明：点P在椭圆C上；
【解答】 由题可知A(0，1)，B(0，－1)．若λ=0，则M(0，0)，N(2，－1)，此时P(0，－1)，经检验符合椭圆C的方程，所以点P在C上．若λ≠0，则直线AM的方程为y=－x＋1，直线BN的方程为y=x－1．由可得①×②，消去λ，得(y－1)(y＋1)=－x2，即＋y2=1，所以点P在椭圆C上．综上，点P在椭圆C上．
(2) 若直线MN交椭圆C于S，T两点，且|MS|·|MT|=，求|ST|．
【解答】 方法一：因为直线MN的斜率kMN==－，所以直线MN的方程为y=－(x－2λ)，即x＋2y－2λ=0．由方程组消去x，得2y2－2λy＋λ2－1=0．由Δ＞0得(2λ)2－4×2(λ2－1)=8－4λ2＞0，解得－＜λ＜．设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则y1＋y2=λ，y1y2=，则|MS|=·|y1－0|=|y1|，|MT|=|y2|，所以|MS|·|MT|=5|y1y2|=．又|MS|·|MT|=，所以=，解得λ2=或λ2=．又|ST|=|y1－y2|===，所以|ST|=或|ST|=．
方法二：由于直线MN的斜率kMN==－，设直线MN的方程为(t为参数)，代入椭圆方程，得2＋2=1，即－λt＋λ2－1=0，由|MS|=|t1|，|MT|=|t2|，得|MS|·|MT|=|t1t2|==，解得λ2=或λ2=．又|ST|=|t1－t2|=，且t1＋t2=λ，t1t2=，所以|ST|===，所以|ST|=或|ST|=．
2．(2025·石家庄三模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线方程为y=±x，且经过点(，)．
(1) 求双曲线C的方程．
【解答】 由双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，得=，即b=a，又双曲线C经过点(，)，所以－=1，解得a=1，b=，所以双曲线C的方程为x2－=1．
(2) 设过原点的直线l与C交于M，N两点且点M在第一象限．
①若以MN为直径的圆恰好过右焦点F2，求点M的坐标；
②连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN的面积为6，求直线NF2的方程．
【解答】 ①由题意知，点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，设点M(x0，y0)，则＋=4，又点M在双曲线C上，所以－=1，可得因为点M在第一象限，所以M．
②设直线NE的方程为x=my＋2，设点E(x1，y1)，N(x2，y2)，联立可得(3m2－1)y2＋12my＋9=0，由题意可得如图，由双曲线的对称性可知MF1∥NF2，S△EMN= S△EF1N =|F1F2|·|y1－y2|=2 =2==6，解得m2=1或m2=－(舍去)，因为y1y2=＞0，所以3m2－1＞0，满足题意，由图可知m＞0，所以m=1，则直线NF2的方程为x－y－2=0．
3．(2025·衢州、丽水、湖州质检)已知双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，圆(x－)2＋y2=1与E的渐近线相切．
(1) 求双曲线E的标准方程；
【解答】 由题意得2c=2，解得c=．因为双曲线的渐近线方程为ay±bx=0，所以=1，解得b=1，所以a=1，故双曲线方程为x2－y2=1．
(2) 若E上两点A，B满足=λ(λ＞1)，且四边形AF1F2B的面积为，求λ的值．
【解答】 由，同向可知，直线F1A，F2B与E均有两个交点．设直线F1A：x=ty－，它与E的另一个交点记为C．由双曲线的对称性可知，|F1C|=|F2B|，故△AF2B的面积等于△CF1F2的面积，所以四边形AF1F2B的面积等于△ACF2的面积．如图(1)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立方程消去x，得(t2－1)y2－2ty＋1=0，得Δ=4(t2＋1)＞0，y1＋y2=，y1y2=，S△ACF2=|F1F2|·|y1－y2|===，整理得14t4－37t2＋5=0，解得t2=或t2=．当t2=＞1时，y1y2=＞0，故点A，C同在x轴上方或下方，不妨令t=，此时解得或画出图象如图(2)，此时，反向，故舍去；同理可得t=－也不满足要求．当t2=时，可验证得，同向，符合题意，若t=－，由解得y=－或，由于λ＞1，所以yA=－，yC=，故λ====3；若t=，同理可得λ===3．综上，λ=3．
图(1)
图(2)
4．已知定点F(2，0)，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：x=4的距离分别为dP，dQ，且=，记点P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？
【解答】 设P(x，y)，Q(－x，－y)．由=有=，|x|≠4，两边平方得(x＋4)2(x2＋y2＋4－4x)=(x－4)2(x2＋y2＋4＋4x)，化简得x(x2＋2y2－8)=0，即曲线C的方程为＋=1或x=0．曲线C是以点(－2，0)，(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆与y轴组成的曲线．
(2) 已知点M，N是直线m：x=y＋2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为M1，N1(M1，N1不同于原点O)，且直线M1N与直线l：x=4相交于点R，求△RMN 与△RM1N1面积的比值．
【解答】 设直线m与椭圆相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则M1(x1，0)，N1(x2，0)．令=t，将x=ty＋2代入＋=1，并整理，得(t2＋2)y2＋4ty－4=0，则y1＋y2=－，y1y2=－．直线M1N的方程为y=(x－x1)，设R(4，y0)，则y0==，同理，设直线MN1与直线l：x=4相交于点R′(4，y′0)，则y′0=．则y0－y′0=－=，其中2(y2＋y1)－2ty2y1=－＋=0，从而y0=y′0，R与R′重合．因为MM1∥NN1，所以＝．又＝S△RMN＝，则=1．所以△RMN与△RM1N1面积的比值为1．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3 圆锥曲线中的长度计算和面积转化
基础打底
1．已知椭圆＋y2=1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
2．已知抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点为F(0，2)，斜率为2的直线过点F，且与抛物线E交于A，B两点，则线段AB的长为( )
A．20 B．40
C．60 D．80
3．(2025·亳州期末)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线2x－y－4=0与C交于P，Q两点，则△FPQ的面积为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
4．(2025·漳州一模)已知双曲线C：x2－y2=4，M为C上一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
强技提能
长度问题
例1 (1) (2025·济南质检)已知双曲线C：－y2=1，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若|MN|=，则点P的坐标为___．
(2) (2025·长沙调研)如图所示，由半椭圆C1：＋=1(y≤0)和两个半圆C2：(x＋1)2＋y2=1(y≥0)，C3：(x－1)2＋y2=1(y≥0)组成曲线C：F(x，y)=0，其中A1，A2依次为C1的左、右顶点，B为C1的下顶点，F1，F2依次为C1的左、右焦点，且点F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心．若过点F1，F2作两条平行线l1，l2分别与C1，C2和C1，C3交于点M，N和P，Q，则|MN|＋|PQ|的最小值为____．
弦长公式的两种形式
1．若A，B是直线y=kx＋m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程px2＋qx＋r=0，则|AB|=·|xA－xB|=．
2．若A，B是直线x=my＋n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程py2＋qy＋r=0，则|AB|=·|yA－yB|=．
变式1 (2025·保定质检改编)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，若|DE|=6，则|DF1|＋|AD|的值为____．
三角形面积
例2 设椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1．
(1) 求椭圆方程及其离心率；
(2) 已知P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP的面积的两倍，求直线A2P的方程．
1．三角形面积的处理方法
(1) S△=·底·高；
(2) S△=·水平宽·铅锤高；
(3) 在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则△OMN的面积为S=|x1y2－x2y1|．
2．三角形面积比的处理方法
对顶角模型(图(1))、共角模型(图(2))
图(1)
图(2)
==．
变式2 已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
(1) 求双曲线的标准方程；
(2) 若P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求△FMN的面积的最小值．
四边形面积
例3 已知抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率为1时，|AB|=8．
(1) 求C的方程；
(2) 若点P的横坐标为2，求|QE|；
(3) 设C在点E处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值．
四边形面积的处理方法：(1)分割成两个三角形分别求解；(2)四边形面积可通过割补或比例转化成与某个三角形面积相关，从而求三角形面积即可．
配套热练
1．(2025·泉州二检)已知点A，B为椭圆C：＋y2=1的上、下顶点，点M(2λ，0)，N(2，λ－1)，其中λ∈R，且λ≠1，直线AM与BN交于点P．
(1) 证明：点P在椭圆C上；
(2) 若直线MN交椭圆C于S，T两点，且|MS|·|MT|=，求|ST|．
2．(2025·石家庄三模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线方程为y=±x，且经过点(，)．
(1) 求双曲线C的方程．
(2) 设过原点的直线l与C交于M，N两点且点M在第一象限．
①若以MN为直径的圆恰好过右焦点F2，求点M的坐标；
②连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN的面积为6，求直线NF2的方程．
3．(2025·衢州、丽水、湖州质检)已知双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，圆(x－)2＋y2=1与E的渐近线相切．
(1) 求双曲线E的标准方程；
(2) 若E上两点A，B满足=λ(λ＞1)，且四边形AF1F2B的面积为，求λ的值．
4．已知定点F(2，0)，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：x=4的距离分别为dP，dQ，且=，记点P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？
(2) 已知点M，N是直线m：x=y＋2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为M1，N1(M1，N1不同于原点O)，且直线M1N与直线l：x=4相交于点R，求△RMN 与△RM1N1面积的比值．
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专题六
微切口3 圆锥曲线中的长度计算和面积转化
解析几何
基础打底
【解析】
【答案】A
2．已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F(0，2)，斜率为2的直线过点F，且与抛物线E交于A，B两点，则线段AB的长为 ( )
A．20 B．40 C．60 D．80
【解析】
B
3．(2025·亳州期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线2x－y－4＝0与C交于P，Q两点，则△FPQ的面积为 ( )
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】
B
4．(2025·漳州一模)已知双曲线C：x2－y2＝4，M为C上一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为 ( )
A．1 B．2 C．4 D．6
【解析】
B
强技提能
目标
1
长度问题
1
【解析】
1
【解析】
【答案】5
【解析】
目标
2
三角形面积
2
【解答】
(2) 已知P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP的面积的两倍，求直线A2P的方程．
【解答】
2
图(1) 图(2)
【解答】
【解答】
目标
3
四边形面积
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率为1时，|AB|＝8．
(1) 求C的方程；
3
【解答】
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率为1时，|AB|＝8．
(2) 若点P的横坐标为2，求|QE|；
3
【解答】
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率为1时，|AB|＝8．
(3) 设C在点E处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值．
3
【解答】
四边形面积的处理方法：(1)分割成两个三角形分别求解；(2)四边形面积可通过割补或比例转化成与某个三角形面积相关，从而求三角形面积即可．
热练
【解答】
由题可知A(0，1)，B(0，－1)．
若λ＝0，则M(0，0)，N(2，－1)，此时P(0，－1)，经检验符合椭圆C的方程，所以点P在C上．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
图(1)
图(2)
图(2)
【解答】
【解答】
