专题六 解析几何
1 直线与圆中常见的“代数关系与几何关系的转化”
基础打底
1．若直线x＋y－3=0截圆x2＋y2=r2所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 令劣弧的两个端点分别为A，B，圆心为O，则△OAB为正三角形，圆心O(0，0)到直线AB：x＋y－3=0的距离为r，即=r，解得r=．
2．已知直线l：2mx＋y－m－1=0与圆C：x2＋(y－2)2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为( D )
A．x－4y＋3=0 B．2x－4y－3=0
C．2x＋4y＋1=0 D．2x－4y＋3=0
【解析】 由2mx＋y－m－1=0，得(2x－1)m＋y－1=0，令解得故直线l过定点P．由x2＋(y－2)2=4，得圆心C(0，2)，半径r=2．易知点P在圆C内，如图，所以当AB⊥CP时，弦AB最短．由于直线CP的斜率kCP==－2，则直线l的斜率kAB=，故直线l的方程为y－1=，即2x－4y＋3=0．
3．如图，斜率为的直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，与圆C：x2＋(y－1)2=1相切于点B，则|AD|=__2__．
【解析】 由题意知，|BC|=1，tan ∠ADO=，则tan ∠ACB==，则|AB|=，|AC|==2，则|AO|=3，|DO|==，则|AD|==2．
4．已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2=r2(r＞0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为__［5，15］__．
【解析】 如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M．因为A(－6，0)，B(0，8)，所以圆M：(x＋3)2＋(y－4)2=25．依题意知圆M与圆C至少有一个公共点．因为圆心C(5，－2)，M(－3，4)，所以|CM|==10，由|r－5|≤|CM|≤5＋r，解得5≤r≤15．
5．若点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8=0的距离的最小值为__2－__．
【解析】 设C(x，y)，由题知=，即=，化简得(x－2)2＋y2=3，所以点C的轨迹是以D(2，0)为圆心，为半径的圆．因为圆心D到直线x－2y＋8=0的距离d==2，所以点C到直线x－2y＋8=0的距离的最小值为2－．
强技提能
隐圆问题
例1 (1) (多选)已知A，B是平面内两个定点，且|AB|=6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是( BC )
A．|PA|＋|PB|=6 B．=－1
C．|PA|=2|PB| D．|PA|2＋|PB|2=18
【解析】 对于A，|PA|＋|PB|=6=|AB|，显然点P的轨迹是线段AB，故A错误．以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A(－3，0)，B(3，0)，P(x，y)，则=(－3－x，－y)，=(3－x，－y)．对于B，=x2＋y2－9=－1，则x2＋y2=8，所以点P的轨迹是圆，故B正确．对于C，由两点间距离公式得|PA|=，|PB|=，代入|PA|=2|PB|中化简得x2－10x＋y2＋9=0，即(x－5)2＋y2=16，所以点P的轨迹是圆，故C正确．对于D，代入|PA|2＋|PB|2=18中化简得x2＋y2=0，显然点P的轨迹是一个点，故D错误．
(2) 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2=16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP，故点P的轨迹C1是以AB为直径的圆(不包含端点A，B)，故其轨迹方程为x2＋y2=m2(x≠0)．因为点P在圆C：(x－1)2＋(y＋2)2=16上，所以两圆有交点，又|CC1|==3，所以|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得m∈［－7，－1］ ［1，7］，故m的最大值为7．
(3) 已知单位向量a与向量b=(0，2)垂直，若向量c满足|a＋b＋c|=1，则|c|的取值范围为( C )
A．［1，－1］ B．
C．［－1，＋1］ D．
【解析】 由题意，不妨设a=(1，0)，设c=(x，y)，则a＋b＋c=(1，0)＋(0，2)＋(x，y)=(1＋x，2＋y)．因为|a＋b＋c|=1，所以(1＋x)2＋(2＋y)2=1，即表示圆心为(－1，－2)，半径为1的圆，设圆心为P，则|OP|==．因为|c|=表示圆P上的点到坐标原点的距离，则－1≤|c|=≤＋1，所以|c|的取值范围为［－1，＋1］．
发现隐圆的主要方法：
(1) 由定义判断(动点到定点的距离为定值)；
(2) 由垂直关系判断；
(3) 由两定点A，B，动点P满足=λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程，确定圆；
(4) 由两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定圆；
(5) 由两定点A，B，动点P满足=λ(λ＞0，λ≠1)，确定圆(阿波罗尼斯圆)．
变式1 (1) (2025·漯河期末)已知A(－4，0)，B，若圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2=4上存在点P满足|PA|=|PB|，则实数a的取值范围是( C )
A．［－3，2］ B．［－2，1］
C．［－1，2］ D．［－2，3］
【解析】 根据题意，设点P(x，y)，由A(－4，0)，B，且点P满足|PA|=|PB|，得(x＋4)2＋y2=，整理得x2＋y2=9，则点P的轨迹方程为x2＋y2=9．若圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2=4上存在符合题意的点P，则圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2=4与圆x2＋y2=9有公共点，又圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2=4的圆心为(a＋1，3a－2)，半径为2，圆x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，所以1≤≤5，解得－1≤a≤2，即实数a的取值范围是［－1，2］．
(2) (2025·安庆三模)已知点P在圆2＋y2=上，A(－2，0)，M(1，1)，则|PA|＋|PM|的最小值为( B )
A．1 B．
C．2 D．
【解析】 设P(x，y)，B(a，0)，|PA|=|PB|，则=，整理得x2＋y2－x＋=0．将已知点P轨迹方程展开并整理得x2＋y2－5x＋4=0，对照得解得a=2，所以B(2，0)．如图，可得|PA|＋|PM|=|PB|＋|PM|≥|MB|==，当P，B，M三点共线且P在B，M之间时取等号．
距离公式的应用
例2 (1) 已知y=(x－a)2＋(xln x－a＋3)2(a∈R)，则y的最小值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 设点P(x，xln x)是函数f(x)=xln x图象上的点，点Q(a，a－3)是直线l：y=x－3上的点，则|PQ|=，所以y=|PQ|2．作出直线l与f(x)=xln x的图象如图所示，设函数f(x)在点M(x0，y0)处的切线l1与直线l平行．因为f′(x)=ln x＋1，所以f′(x0)=ln x0＋1=1，解得x0=1，则点M(1，0)，所以|PQ|的最小值为点M(1，0)到直线l的距离d==，所以y=(x－a)2＋(xln x－a＋3)2的最小值为2．
(2) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆x2＋y2=16上的两点，若∠AOB=，则|x1＋y1－2|＋|x2＋y2－2|的最大值为( B )
A．16 B．12
C．8 D．4
【解析】 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆x2＋y2=16上，∠AOB=，所以|OA|=|OB|=4，则△AOB是等腰直角三角形．|x1＋y1－2|＋|x2＋y2－2|可表示点A，B到直线l：x＋y－2=0的距离之和的倍，且原点O到直线l：x＋y－2=0的距离d==．如图，过点A，B分别作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，设E是AB的中点，过点E作EF⊥l于点F，可知OE⊥AB，|AC|＋|BD|=2|EF|，|OE|=|AB|=2，所以|EF|≤|OE|＋d=3，当且仅当O，E，F三点共线，且E，F在O的两侧时等号成立．又|EF|=(|BD|＋|AC|)，所以|BD|＋|AC|的最大值为6，则|x1＋y1－2|＋|x2＋y2－2|的最大值为×6=12．
(3) 若非零实数对(a，b)满足关系式|a＋b＋1|=|7a－7b＋1|=5，则=__－或__．
【解析】 由|a＋b＋1|=|7a－7b＋1|=5，可得==5，可以看成点A(1，1)到直线ax＋by＋1=0的距离d1，可以看成点B(7，－7)到直线ax＋by＋1=0的距离d2，则d1=d2=5．因为|AB|==10，d1＋d2=10，所以当点A，B在直线ax＋by＋1=0同侧时，直线AB与直线ax＋by＋1=0平行；当点A，B在直线ax＋by＋1=0异侧时，点A，B关于直线ax＋by＋1=0对称．因为直线AB的斜率k==－，直线ax＋by＋1=0的斜率为－，所以－=－或×=－1，所以=或=－．
求类似a2＋b2，(a－b)2＋(c－d)2形式的表达式的最值或范围，考虑转化成两点之间的距离问题(可能是动点)；求类似|x＋y－m|形式的表达式的最值或范围，考虑转化成点到直线的距离．
变式2 ＋的最小值为( C )
A． B．3
C． D．2
【解析】 因为＋=＋，表示直线y=2x上一点P到A(0，1)，B(－2，0)两点的距离之和．设点B(－2，0)关于直线y=2x的对称点为C(x，y)，则解得即C．如图，由图知|PA|＋|PB|=|PA|＋|PC|≥|AC|==，即＋的最小值为．
配套热练
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3=0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a=0互相平行，则a的值为( A )
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
【解析】 因为直线l1：x＋ay＋3=0和l2：(a－2)x＋3y＋a=0，由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在，所以k1=－，k2=．由于两条直线互相平行，故k1=k2，即－=，解得a=3或a=－1，又当a=3时，两条直线重合，所以a=－1．
2．(2025·泰州一模)已知直线y=kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则实数k的取值范围为( C )
A．(－∞，－］ ［，＋∞) B．
C． D．［－，］
【解析】 圆(x－2)2＋(y－3)2=4的圆心坐标为(2，3)，半径为r=2，当弦长|AB|=2时，弦心距d===1．若|AB|≥2，则d≤1，即≤1，解得k∈．
3．(2025·全国Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( B )
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)的圆心E(0，－2)到直线y=x＋2的距离为d==2．如图，由图可知，当r=1时，圆E上有且仅有一个点(点A)到直线y=x＋2的距离等于1；当r=3时，圆E上有且仅有三个点(点B，C，D)到直线y=x＋2的距离等于1；当r∈(1，3)时，圆E上有且仅有两个点到直线y=x＋2的距离等于1．
4．(2025·徐州2月调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2=r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线y=x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2=4上，则r的取值范围是( B )
A．(3，7) B．［3，7］
C．(3，＋∞) D．［3，＋∞)
【解析】 圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2=r2(r＞0)的圆心为C1(－4，1)，设C1(－4，1)关于直线y=x＋1的对称点为C3(a，b)，则解得即C1(－4，1)关于直线y=x＋1的对称点为C3(0，－3)．由题意得，以C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，所以|r－2|≤|C2C3|≤r＋2，又C2(4，0)，所以|C2C3|=5，解得3≤r≤7．
5．(多选)已知圆O：x2＋y2=4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4=0，则下列说法正确的是( BCD )
A．两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x＋2
B．圆O上有2个点到直线x＋y＋2=0的距离为
C．两圆有两条公切线
D．若点E在圆O上，点F在圆M上，则|EF|的最大值为＋3
【解析】 对于A，两圆方程作差，得4x－2y＋4=－4，即y=2x＋4，所以公共弦所在的直线方程为y=2x＋4，故A错误．对于B，因为圆O：x2＋y2=4，所以圆心为O(0，0)，半径R=2．圆心O(0，0)到直线x＋y＋2=0的距离为d==，则R－d=2－＜，所以圆O上有2个点到直线x＋y＋2=0的距离为，故B正确．对于C，因为圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4=0，即(x＋2)2＋(y－1)2=1，所以圆心为M(－2，1)，半径r=1，则2－1＜|OM|=＜2＋1，所以两圆相交，所以两圆有两条公切线，故C正确．对于D，|EF|max=|OM|＋2＋1=＋3，故D正确．
6．(多选)已知圆M：(x－1)2＋(y＋2)2=2，直线l：x－3y＋3=0，P是直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A，则当切线长|PA|取最小值时，下列结论正确的是( ACD )
A．|PA|=2 B．|PA|=
C．直线PA的方程可以是y=－x＋1 D．直线PA的方程可以是y=7x＋1
【解析】 圆M：(x－1)2＋(y＋2)2=2的圆心为M(1，－2)，半径r=，则圆心M到直线l的距离d==．因为P是直线l上的动点，如图，过点P作圆M的切线PA，切点为A，则切线长|PA|的最小值为|PA|min==2，故A正确，B错误．设过点M(1，－2)与直线l垂直的直线方程为3x＋y＋n=0，则3－2＋n=0，解得n=－1，所以3x＋y－1=0．由解得所以P(0，1)．显然过点P(0，1)的切线的斜率存在，设切线PA的方程为y=kx＋1，则=，解得k=－1或k=7，所以切线PA的方程为y=－x＋1或y=7x＋1，故C，D正确．
B组 融会贯通——提能训练
7．(2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m=0和l2：x－my－3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为( C )
A．(x－1)2＋y2=4 B．(x＋1)2＋y2=4
C．(x－1)2＋y2=4(x≠－1) D．(x＋1)2＋y2=4(x≠1)
【解析】 由m·1＋1·(－m)=0，得l1⊥l2，由l1：(x＋1)m＋y=0，知直线l1过定点A(－1，0)，由l2：x－3－my=0，知直线l2过定点B(3，0)．易知动点P的轨迹是AB为直径的圆，圆心为(1，0)，半径r=2．由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是(－1，0)，则动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2=4(x≠－1)．
8．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(4，3)，动点P满足PA⊥PB，则|PC|的取值范围为( C )
A．［2，5］ B．［2，8］
C．［3，7］ D．［4，6］
【解析】 由题知点P在以AB为直径的圆上，设P(x，y)，则x2＋y2=4(P不与A，B重合)，所以|PC|的取值范围即为点C(4，3)到圆x2＋y2=4上点的距离的范围．又圆心(0，0)到点C的距离d==5，圆的半径为2，所以|PC|的取值范围为［d－r，d＋r］，即［3，7］．
9．(2025·湛江一模)已知A(－1，0)，B(1，0)，点P满足|PA|=|PB|，当∠PAB取到最大值时，△PAB的面积为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 设P(x，y)．由|PA|=|PB|得=×，即(x－2)2＋y2=3，则点P的轨迹是圆心为D(2，0)，半径为的圆．如图，当直线AP与圆D相切时，∠PAB最大，则AP⊥PD．又|PD|=，|AD|=3，所以|PA|==．又|AB|=|AD|，所以S△PAB=S△PAD=××|PA|·|PD|=．
10．已知M(－1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx＋ny－2m＋2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范围是( B )
A．［，2］ B．［，3］
C．［1，3］ D．［2，3］
【解析】 直线l：mx＋ny－2m＋2n=0，即(x－2)m＋(y＋2)n=0，令解得所以动直线l恒过定点P(2，－2)．坐标原点O(0，0)在动直线l：mx＋ny－2m＋2n=0上的投影为点N，故∠ONP=90°，所以N在以OP为直径的圆上，且该圆的圆心为Q(1，－1)，半径r==．又|MQ|==2，所以2－≤|MN|≤2＋，即|MN|的取值范围是［，3］．
11．已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|=0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 由题意知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|=0上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称．当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y=0，即2＋2=，故结合曲线对称性，作出曲线C如图所示．因为d=表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3=0的距离，可知d取最小值和最大值时，(a，b)分别位于曲线在第一、三象限内的圆弧上．当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y=0，即2＋2=，此时dmin=－=；当x＜0，y＜0时，曲线的方程为x2＋y2＋x＋y=0，即2＋2=，此时dmax=＋=．故d=的最小值与最大值之和为＋=3，所以|a＋b－3|的最小值与最大值之和为3×=6．
12．(多选)已知P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－5=0上一点，Q是直线l：(a＋2)x＋ay－3=0上一点，O为坐标原点，则( BC )
A．直线l不经过第二象限的充要条件是“－2＜a＜0”
B．线段OP的中点的轨迹方程为(x＋1)2＋2=
C．当a=－1时，|PQ|的最小值为
D．当a=－1时，|PQ|＋|OQ|的最小值为
【解析】 显然当a=0时，直线l的方程为x=，也不经过第二象限，故A不正确；设OP的中点为(x，y)，P(x0，y0)，则因为＋＋4x0－6y0－5=0，所以4x2＋4y2＋8x－12y－5=0，即线段OP的中点的轨迹方程为(x＋1)2＋2=，故B正确；易知圆C的圆心C(－2，3)，半径为3，当a=－1时，直线l的方程为x－y－3=0，因为圆心C到直线l的距离为=4，所以|PQ|的最小值为4－3=，故C正确；设O关于直线l的对称点为O′(x1，y1)，则解得即O′(3，－3)，因为|OQ|=|O′Q|，所以|PQ|＋|OQ|=|PQ|＋|O′Q|，所以|PQ|＋|OQ|的最小值为|O′C|－3=－3，故D不正确．
13．已知动点P在圆O：x2＋y2=1上，若点A，点C(1，1)，则2|PA|＋|PC|的最小值为____．
【解析】 设P(x，y)，不妨取B(x0，y0)，使得|PB|=2|PA|，所以(x－x0)2＋(y－y0)2=4，整理得x2＋x＋y2＋y=．此方程与x2＋y2=1为同一方程，所以解得即B(－2，0)，此时直线BC的方程为x－3y＋2=0，与圆O相交，所以2|PA|＋|PC|=|PB|＋|PC|≥|BC|(当且仅当P，B，C三点共线时等号成立)，此时|BC|==，所以2|PA|＋|PC|的最小值为．
14．已知实数x，y满足x－y=0，则－的最大值是____．
【解析】 －表示直线x－y=0上的点P(x，y)到点A(2，4)与B(1，0)的距离之差．如图，设点B(1，0)关于直线x－y=0的对称点为B′(a，b)，则解得即B′(0，1)，则|PA|－|PB|=|PA|－|PB′|≤|AB′|==，当且仅当P，A，B′三点共线时取等号，所以－的最大值为．
15．已知向量a，b，c满足|a|=4，|b|=2，a与b的夹角为，(a－c)·(b－c)=0，则|c|的最大值为__＋__．
【解析】 设=a，=b，=c，如图，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．因为|a|=4，|b|=2，a与b的夹角为，所以A(4，0)，B(2，2)．设C(x，y)，则=a=(4，0)，=b=(2，2)，=c=(x，y)，所以a－c=(4－x，－y)，b－c=(2－x，2－y)，因为(a－c)·(b－c)=0，所以x2－6x＋8＋y2－2y=0，即(x－3)2＋(y－1)2=2，圆心坐标为D(3，1)，半径r=，|c|表示点C到坐标原点的距离，即为圆D上的点到坐标原点的距离．因为圆心D(3，1)到原点的距离为d==，所以|c|max=d＋r=＋．
16．若恰有三组不全为0的实数对(a，b)满足关系式|a＋b＋3|=|5a－3b＋3|=t，则实数t的所有可能取值的和为__ 3＋__．
【解析】 由题意，易知t＞0，整理得==t，看成有且仅有三条直线满足：A(1，1)和B(5，－3)到直线l：ax＋by＋3=0(不过原点)的距离均为t．由|AB|==4，(1)当t==2，此时，易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线以及与直线AB 平行的两条直线；(2)当t＜=2时，有4条直线l会使得点A(1，1)和B(5，－3)到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去：设点A到l的距离为d，①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点M(3，－1)，其方程为x＋3y=0，此时t=d=＜2，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为x＋y=0，此时t=d=＜2，符合．综上，满足题意的实数t为2，，，它们的和为3＋．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共59张PPT)
专题六
微切口1 直线与圆中常见的“代数关系与几何关系的转化”
解析几何
基础打底
【解析】
C
2．已知直线l：2mx＋y－m－1＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为 ( )
A．x－4y＋3＝0 B．2x－4y－3＝0
C．2x＋4y＋1＝0 D．2x－4y＋3＝0
【解析】
【答案】D
【解析】
4．已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为____________．
【解析】
［5，15］
【解析】
强技提能
目标
1
隐圆问题
1
【解析】
【答案】BC
【解析】
1
C
1
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】B
目标
2
距离公式的应用
(1) 已知y＝(x－a)2＋(xln x－a＋3)2(a∈R)，则y的最小值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2
【解析】
A
【解析】
2
【答案】B
【解析】
2
求类似a2＋b2，(a－b)2＋(c－d)2形式的表达式的最值或范围，考虑转化成两点之间的距离问题(可能是动点)；求类似|x＋y－m|形式的表达式的最值或范围，考虑转化成点到直线的距离．
【解析】
【答案】C
热练
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为 ( )
A．－1 B．3 C．3或－1 D．－3
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
【答案】B
4．(2025·徐州2月调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2＝4上，则r的取值范围是 ( )
A．(3，7) B．［3，7］
C．(3，＋∞) D．［3，＋∞)
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】ACD
B组 融会贯通——提能训练
7．(2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m＝0和l2：x－my－3＝0相交于点P，则点P的轨迹方程为 ( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝4(x≠－1) D．(x＋1)2＋y2＝4(x≠1)
【解析】
由m·1＋1·(－m)＝0，得l1⊥l2，由l1：(x＋1)m＋y＝0，知直线l1过定点 A(－1，0)，由l2：x－3－my＝0，知直线l2过定点B(3，0)．
易知动点P的轨迹是AB为直径的圆，圆心为(1，0)，半径r＝2．由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是(－1，0)，则动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠－1)．
C
8．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(4，3)，动点P满足PA⊥PB，则|PC|的取值范围为 ( )
A．［2，5］ B．［2，8］
C．［3，7］ D．［4，6］
【解析】
C
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】B
11．已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】
由题意知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称．
【答案】C
【解析】
【答案】BC
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】专题六 解析几何
1 直线与圆中常见的“代数关系与几何关系的转化”
基础打底
1．若直线x＋y－3=0截圆x2＋y2=r2所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为( )
A． B．
C． D．
2．已知直线l：2mx＋y－m－1=0与圆C：x2＋(y－2)2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为( )
A．x－4y＋3=0 B．2x－4y－3=0
C．2x＋4y＋1=0 D．2x－4y＋3=0
3．如图，斜率为的直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，与圆C：x2＋(y－1)2=1相切于点B，则|AD|=____．
4．已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2=r2(r＞0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为____．
5．若点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8=0的距离的最小值为____．
强技提能
隐圆问题
例1 (1) (多选)已知A，B是平面内两个定点，且|AB|=6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是( )
A．|PA|＋|PB|=6 B．=－1
C．|PA|=2|PB| D．|PA|2＋|PB|2=18
(2) 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2=16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(3) 已知单位向量a与向量b=(0，2)垂直，若向量c满足|a＋b＋c|=1，则|c|的取值范围为( )
A．［1，－1］ B．
C．［－1，＋1］ D．
发现隐圆的主要方法：
(1) 由定义判断(动点到定点的距离为定值)；
(2) 由垂直关系判断；
(3) 由两定点A，B，动点P满足=λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程，确定圆；
(4) 由两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定圆；
(5) 由两定点A，B，动点P满足=λ(λ＞0，λ≠1)，确定圆(阿波罗尼斯圆)．
变式1 (1) (2025·漯河期末)已知A(－4，0)，B，若圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2=4上存在点P满足|PA|=|PB|，则实数a的取值范围是( )
A．［－3，2］ B．［－2，1］
C．［－1，2］ D．［－2，3］
(2) (2025·安庆三模)已知点P在圆2＋y2=上，A(－2，0)，M(1，1)，则|PA|＋|PM|的最小值为( )
A．1 B．
C．2 D．
距离公式的应用
例2 (1) 已知y=(x－a)2＋(xln x－a＋3)2(a∈R)，则y的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆x2＋y2=16上的两点，若∠AOB=，则|x1＋y1－2|＋|x2＋y2－2|的最大值为( )
A．16 B．12
C．8 D．4
(3) 若非零实数对(a，b)满足关系式|a＋b＋1|=|7a－7b＋1|=5，则=____．
求类似a2＋b2，(a－b)2＋(c－d)2形式的表达式的最值或范围，考虑转化成两点之间的距离问题(可能是动点)；求类似|x＋y－m|形式的表达式的最值或范围，考虑转化成点到直线的距离．
变式2 ＋的最小值为( )
A． B．3
C． D．2
配套热练
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3=0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a=0互相平行，则a的值为( )
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
2．(2025·泰州一模)已知直线y=kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则实数k的取值范围为( )
A．(－∞，－］ ［，＋∞) B．
C． D．［－，］
3．(2025·全国Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
4．(2025·徐州2月调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2=r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线y=x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2=4上，则r的取值范围是( )
A．(3，7) B．［3，7］
C．(3，＋∞) D．［3，＋∞)
5．(多选)已知圆O：x2＋y2=4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4=0，则下列说法正确的是( )
A．两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x＋2
B．圆O上有2个点到直线x＋y＋2=0的距离为
C．两圆有两条公切线
D．若点E在圆O上，点F在圆M上，则|EF|的最大值为＋3
6．(多选)已知圆M：(x－1)2＋(y＋2)2=2，直线l：x－3y＋3=0，P是直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A，则当切线长|PA|取最小值时，下列结论正确的是( )
A．|PA|=2 B．|PA|=
C．直线PA的方程可以是y=－x＋1 D．直线PA的方程可以是y=7x＋1
B组 融会贯通——提能训练
7．(2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m=0和l2：x－my－3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋y2=4 B．(x＋1)2＋y2=4
C．(x－1)2＋y2=4(x≠－1) D．(x＋1)2＋y2=4(x≠1)
8．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(4，3)，动点P满足PA⊥PB，则|PC|的取值范围为( )
A．［2，5］ B．［2，8］
C．［3，7］ D．［4，6］
9．(2025·湛江一模)已知A(－1，0)，B(1，0)，点P满足|PA|=|PB|，当∠PAB取到最大值时，△PAB的面积为( )
A． B．
C． D．
10．已知M(－1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx＋ny－2m＋2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范围是( )
A．［，2］ B．［，3］
C．［1，3］ D．［2，3］
11．已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|=0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
12．(多选)已知P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－5=0上一点，Q是直线l：(a＋2)x＋ay－3=0上一点，O为坐标原点，则( )
A．直线l不经过第二象限的充要条件是“－2＜a＜0”
B．线段OP的中点的轨迹方程为(x＋1)2＋2=
C．当a=－1时，|PQ|的最小值为
D．当a=－1时，|PQ|＋|OQ|的最小值为
13．已知动点P在圆O：x2＋y2=1上，若点A，点C(1，1)，则2|PA|＋|PC|的最小值为____．
14．已知实数x，y满足x－y=0，则－的最大值是____．
15．已知向量a，b，c满足|a|=4，|b|=2，a与b的夹角为，(a－c)·(b－c)=0，则|c|的最大值为____．
16．若恰有三组不全为0的实数对(a，b)满足关系式|a＋b＋3|=|5a－3b＋3|=t，则实数t的所有可能取值的和为__ __．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
