(共53张PPT)
专题六
微切口2 离心率问题的几种常见模型
解析几何
基础打底
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
【答案】A
【解析】
D
强技提能
目标
1
以焦点三角形(四边形)为载体的离心率计算
1
【解析】
如图，设椭圆左焦点为F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1．设|CF|＝m(m＞0)，结合椭圆对称性得|AF1|＝|BF|＝3m，由椭圆定义得|AF|＝2a－3m，|CF1|＝2a－m，则|AC|＝2a－2m．
【答案】A
1
【解析】
【答案】B
与圆锥曲线焦点三角形、焦点四边形有关的离心率问题，一般要用到定义，结合勾股定理、余弦定理，甚至在不同的三角形中两次用到余弦定理，建立桥梁去求解．
【解析】
【答案】D
目标
2
以渐近线为载体的离心率计算
2
【解析】
【答案】2
【解析】
2
与双曲线渐近线有关的离心率问题，要关注基本量a，b，c与渐近线斜率的关系．另外还有一个小结论：焦点到渐近线的距离为b．
【解析】
目标
3
以内切圆为载体的离心率计算
3
【解析】
3
【解析】
如图，过I1分别作AF1，AF2，F1F2的垂线，垂足分别为D，E，F，则|AD|＝|AE|，|DF1|＝|F1F|，|EF2|＝|F2F|．
因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以(|AD|＋|DF1|)－(|AE|＋|EF2|)＝|F1F|－|F2F|＝2a，
又|F1F2|＝|F1F|＋|F2F|＝2c，则|F1F|＝|OF1|＋|OF|＝a＋c，所以|OF|＝a，即I1在直线x＝a上．
【答案】B
【解析】
【答案】A
热练
【解析】
【答案】 B
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
【答案】 A
【解析】
如图，设|AF2|＝m．因为|AF1|＋|AF2|＝2a，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－m．
又|BF1|＋|BF2|＝2a，|BF1|＝a，所以|BF2|＝a，所以|AB|＝a＋m．
【答案】 D
【解析】
【答案】 C
【解析】
【答案】 A
【解析】
因为|F1M|＋|F2M|－|F1F2|＝2r②，且由双曲线定义得|F1M|－|F2M| ＝2a ③，
由①②③解得r＝a，所以|F1M|＋|F2M|－|F1F2|＝2a，从而|F1M|＝c＋2a，|F2M|＝c．
【解析】
【解析】
11．(2025·南京期初)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cos∠F1AB最小时，C的离心率为______．
【解析】
【解析】
如图，设△AF1F2的内切圆圆心为I，且与三边分别相切于点Q，M，N，则|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1M|，|F2M|＝|F2N|．
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|－|AF2|＝|F1Q|－|F2N|＝|F1M|－|F2M|＝2a，
又|F1M|＋|F2M|＝2c，所以|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，所以M为双曲线的右顶点，则I的横坐标为a．2 离心率问题的几种常见模型
基础打底
1．(2025·全国Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．2
2．(2025·宿迁二调)已知椭圆C：＋y2=1(a＞0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
3．(2025·石家庄三模)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为20，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2=1(a＞1)和双曲线－y2=1(m＞0)，则椭圆与双曲线的离心率之积的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(0，1)
C． D．
5．(2025·景德镇三模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过右顶点A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B，若∠BFA=60°，则双曲线C的渐近线的斜率为( )
A．±1 B．±2
C．± D．±
强技提能
以焦点三角形(四边形)为载体的离心率计算
例1 (1) 已知右焦点为F的椭圆E：＋=1(a＞b＞0)上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且|BF|=3|CF|，则E的离心率是( )
A． B．
C． D．
(2) (2025·台州质检)已知F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且|AB|=|BF1|，cos∠ABF1=，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
与圆锥曲线焦点三角形、焦点四边形有关的离心率问题，一般要用到定义，结合勾股定理、余弦定理，甚至在不同的三角形中两次用到余弦定理，建立桥梁去求解．
变式1 (2025·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点M，N在C的右支上，且=3，点N关于坐标原点O的对称点为P．若PF⊥MN，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
以渐近线为载体的离心率计算
例2 (1) 已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若=，=0，则C的离心率为____．
已知O为原点，双曲线－y2=1(a＞0)上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为___．
与双曲线渐近线有关的离心率问题，要关注基本量a，b，c与渐近线斜率的关系．另外还有一个小结论：焦点到渐近线的距离为b．
变式2 已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2b，则C的离心率为____．
以内切圆为载体的离心率计算
例3 (1) 已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为椭圆上一点(异于左、右顶点)，△PF1F2的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为___．
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1，△BF1F2的内切圆I2的半径为r2，若r1r2=a2，则双曲线的离心率为( )
A． B．2
C． D．3
若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，MN是右支上的焦点弦，则：
(1) △MF1F2的内切圆圆心在直线x=a上(切于右顶点)；
(2) △MNF1的内切圆圆心在直线x=上．
注：当MN是左支上的焦点弦时，则(1)(2)对应的直线分别是x=－a和x=－．
变式3 如图，焦点在x轴上的椭圆＋=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=8，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
配套热练
1．(2025·杭州期末)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．2
2．(2025·广州一模)已知点P在双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于，则C的离心率为( )
A．3 B．2
C． D．
3．(2025·九江二模)已知点P在椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上，点Q在圆O：x2＋y2=b2上．若|PQ|的最大值等于椭圆C的焦距，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．(2025·聊城一模)设F是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为(m，n］，若n=3m，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．(2025·广州二模)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C相交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，|BF1|=a，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
6．(2025·南通一调)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行，若|AF2|=|F1F2|，则C的离心率为( )
A．2 B．2
C．3 D．3
7．(2025·赣州一模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，圆x2＋y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若∠PA2M的平分线与y轴平行，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
8．(2025·邯郸二模改编)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足∠F1MF2=90°，△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为____．
9．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点M(x0，y0)(x0＞c)是C上一点，点A是直线MF2与y轴的交点，△AMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=|F1F2|，则椭圆C的离心率e=___．
10．(2025·郑州二检)设F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且斜率为－的直线l与C的右支交于点A，与C的左支交于点B，点D满足=，=0，则双曲线C的离心率为____．
11．(2025·南京期初)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cos∠F1AB最小时，C的离心率为____．
12．已知双曲线－=1(b＞a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为___．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2 离心率问题的几种常见模型
基础打底
1．(2025·全国Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为( D )
A． B．2
C． D．2
【解析】 设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c．由题知b=a，于是c2=a2＋b2=a2＋7a2=8a2，则c=2a，所以离心率e==2．
2．(2025·宿迁二调)已知椭圆C：＋y2=1(a＞0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，则C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意得y2=8x的焦点为(2，0)，则a=2，而b=1，得c==，故椭圆C的离心率为=．
3．(2025·石家庄三模)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为20，则椭圆C的离心率为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 因为△AF1B的周长为20，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|=|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|=20，由椭圆定义可知4a=20，即a=5．又c=3，所以椭圆C的离心率为=．
4．已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2=1(a＞1)和双曲线－y2=1(m＞0)，则椭圆与双曲线的离心率之积的取值范围为( A )
A．(1，＋∞) B．(0，1)
C． D．
【解析】 由题可知，椭圆＋y2=1(a＞1)的焦点在x轴上，则c2=a－1，且双曲线－y2=1(m＞0)的焦点在x轴上，则c2=m＋1．因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以a－1=m＋1，即a=m＋2．设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1=，e2=，所以e1e2===＞1．
5．(2025·景德镇三模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过右顶点A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B，若∠BFA=60°，则双曲线C的渐近线的斜率为( D )
A．±1 B．±2
C．± D．±
【解析】 不妨取双曲线的一条渐近线方程为y=x，则B(a，b)，又∠BFA=60°，所以|AB|=|AF|，即b=(c－a)，故c2－a2=3c2＋3a2－6ac，即(c－2a)(c－a)=0，因为c＞a，所以c=2a，所以±=±=±．
强技提能
以焦点三角形(四边形)为载体的离心率计算
例1 (1) 已知右焦点为F的椭圆E：＋=1(a＞b＞0)上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且|BF|=3|CF|，则E的离心率是( A )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设椭圆左焦点为F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1．设|CF|=m(m＞0)，结合椭圆对称性得|AF1|=|BF|=3m，由椭圆定义得|AF|=2a－3m，|CF1|=2a－m，则|AC|=2a－2m．因为|OF|=|OF1|，|OA|=|OB|，所以四边形AF1BF为平行四边形，则AF1∥BF，而BF⊥AC，故AF1⊥AC，则|AF1|2＋|AC|2=|CF1|2，即9m2＋(2a－2m)2=(2a－m)2，解得m=．在Rt△FAF1中，|AF1|2＋|AF|2=|FF1|2，即9m2＋(2a－3m)2=(2c)2，即a2＋(2a－a)2=(2c)2，所以a2=2c2，故e==．
(2) (2025·台州质检)已知F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且|AB|=|BF1|，cos∠ABF1=，则双曲线C的离心率为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，由双曲线定义得|AF1|－|AF2|=|BF1|－|BF2|=2a，|F1F2|=2c，设|BF1|=|AB|=m，则|BF2|=m－2a，|AF2|=|AB|－|BF2|=2a，|AF1|=4a．在△ABF1中，由余弦定理得cos∠ABF1==，解得m=3a，所以|BF2|=m－2a=a．在△BF1F2中，由余弦定理得cos∠F2BF1=cos∠ABF1==，所以7a2=3c2，故离心率e===．
与圆锥曲线焦点三角形、焦点四边形有关的离心率问题，一般要用到定义，结合勾股定理、余弦定理，甚至在不同的三角形中两次用到余弦定理，建立桥梁去求解．
变式1 (2025·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点M，N在C的右支上，且=3，点N关于坐标原点O的对称点为P．若PF⊥MN，则C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设双曲线的左焦点为F1，连接PF，PF1，NF1，MF1．根据双曲线的对称性可知四边形PF1NF为平行四边形，又PF⊥MN，所以四边形PF1NF为矩形．设|NF|=t(t＞0)，因为=3，所以|MF|=3t．由双曲线的定义可得|NF1|=2a＋t，|MF1|=2a＋3t．因为△MNF1为直角三角形，所以|MN|2＋|NF1|2=|MF1|2，即(4t)2＋(2a＋t)2=(2a＋3t)2，解得t=a，所以|NF1|=3a，|NF|=a．因为△NFF1为直角三角形，|FF1|=2c，所以|NF|2＋|NF1|2=|FF1|2，即a2＋9a2=4c2，所以=，即e==．
以渐近线为载体的离心率计算
例2 (1) 已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若=，=0，则C的离心率为__2__．
【解析】 如图，由=，得|F1A|=|AB|．又|OF1|=|OF2|，所以OA是△F1F2B的中位线，即BF2∥OA，|BF2|=2|OA|．由=0，得F1B⊥F2B，则OA⊥F1A，|OB|=|OF1|，有∠AOB=∠AOF1．由OA与OB都是渐近线，得∠BOF2=∠AOF1．因为∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1=180°，所以∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°，又渐近线OB的斜率为=tan 60°=，所以该双曲线的离心率为e====2．
(2) 已知O为原点，双曲线－y2=1(a＞0)上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为____．
【解析】 如图，设P(m，n)，则m2－a2n2=a2．渐近线方程为x±ay=0，点P到直线x－ay=0距离为d=．由x－ay=0及(x－m)＋a(y－n)=0得A，则|OA|=，所以平行四边形OBPA的面积为|OA|×d===1，则a=2．又b=1，所以离心率为===．
与双曲线渐近线有关的离心率问题，要关注基本量a，b，c与渐近线斜率的关系．另外还有一个小结论：焦点到渐近线的距离为b．
变式2 已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2b，则C的离心率为__＋2__．
【解析】 如图，设一条平行线方程为y=(x－c)，与双曲线方程－=1(a＞0，b＞0)联立，解得x=，y=－．因为|AB|=2b，所以2×=2b，即b2=2ac，所以c2－2ac－a2=0，又e=，所以e2－2e－1=0，解得e=＋2(舍负值)．
以内切圆为载体的离心率计算
例3 (1) 已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为椭圆上一点(异于左、右顶点)，△PF1F2的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为____．
【解析】 如图，设内切圆的圆心为O1，连接PO1，O1F1，O1F2．＝=(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)r=(2a＋2c)r，由题意可得S△PF1F2=×2c×|yP|=(2a＋2c)r，所以当|yP|取到最大值b时，r有最大值，且最大值为，所以×2c·b=(2a＋2c)·c，整理可得b=(a＋c)，两边同时平方可得9b2=9(a2－c2)=a2＋2ac＋c2，所以8a2－2ac－10c2=0，所以5e2＋e－4=0，解得e=或e=－1(舍去)．
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1，△BF1F2的内切圆I2的半径为r2，若r1r2=a2，则双曲线的离心率为( B )
A． B．2
C． D．3
【解析】 如图，过I1分别作AF1，AF2，F1F2的垂线，垂足分别为D，E，F，则|AD|=|AE|，|DF1|=|F1F|，|EF2|=|F2F|．因为|AF1|－|AF2|=2a，所以(|AD|＋|DF1|)－(|AE|＋|EF2|)=|F1F|－|F2F|=2a，又|F1F2|=|F1F|＋|F2F|=2c，则|F1F|=|OF1|＋|OF|=a＋c，所以|OF|=a，即I1在直线x=a上．同理，I2在直线x=a上．连接I1F2，I2F2，I2F．因为∠I1F2A=∠I1F2F1，∠I2F2B=∠I2F2F1，则∠I1F2A＋∠I2F2B=∠I1F2F1＋∠I2F2F1=∠I2F2I1，所以∠I2F2I1=．又因为=，则|I1F|·|I2F|=|F2F|2，即r1r2=(c－a)2=a2，所以c=2a，故离心率为e==2．
若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，MN是右支上的焦点弦，则：
(1) △MF1F2的内切圆圆心在直线x=a上(切于右顶点)；
(2) △MNF1的内切圆圆心在直线x=上．
注：当MN是左支上的焦点弦时，则(1)(2)对应的直线分别是x=－a和x=－．
变式3 如图，焦点在x轴上的椭圆＋=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=8，则该椭圆的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设AF1，AF2与圆相切的切点分别为S，T．由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|=2a，即|F1Q|＋|QP|＋|PF2|=2a，由|TP|=|QP|，得|F1Q|＋|TP|＋|PF2|=2a，即|TF2|=2a－|F1Q|=2a－8．由对称性得|TF2|=|SF1|=|F1Q|=8，即2a－8=8，解得a=8，所以该椭圆的离心率为e===．
配套热练
1．(2025·杭州期末)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
【解析】 不妨取双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线bx＋ay=0，由双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，可得F(c，0)到直线bx＋ay=0的距离为=a，即=a，又a2＋b2=c2，所以a=b．故双曲线C的离心率为==．
2．(2025·广州一模)已知点P在双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于，则C的离心率为( D )
A．3 B．2
C． D．
【解析】 设点P(x0，y0)，则－=1，即b2－a2=a2b2．由双曲线方程可得C的两条渐近线方程分别为bx＋ay=0，bx－ay=0，则点P到C的两条渐近线的距离之积为d1·d2===，由题得=，所以a2=b2，则C的离心率e===．
3．(2025·九江二模)已知点P在椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上，点Q在圆O：x2＋y2=b2上．若|PQ|的最大值等于椭圆C的焦距，则椭圆C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，因为|OP|＋|OQ|≥|PQ|，所以|PQ|≤|OP|＋b≤a＋b，所以|PQ|max=a＋b=2c，则b2=(2c－a)2，即a2－c2=4c2－4ac＋a2，5c2=4ac，所以e==．
4．(2025·聊城一模)设F是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为(m，n］，若n=3m，则椭圆C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 令椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的右焦点为E(c，0)，|MF|＋|ME|=2a，|NF|＋|NE|=2a，△FMN的周长为|MN|＋|MF|＋|NF|=|MN|＋2a－|ME|＋2a－|NE|=4a＋|MN|－(|ME|＋|NE|)≤4a＋|MN|－|MN|=4a，当且仅当M，N，E三点共线时取等号，则3m=4a，即m=．又|MN|＋|MF|＋|NF|＞|MF|＋|MF|=2|MF|≥2(a－c)，因此m=2(a－c)，则=2(a－c)，解得=，所以椭圆C的离心率为．
5．(2025·广州二模)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C相交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，|BF1|=a，则C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设|AF2|=m．因为|AF1|＋|AF2|=2a，所以|AF1|=2a－|AF2|=2a－m．又|BF1|＋|BF2|=2a，|BF1|=a，所以|BF2|=a，所以|AB|=a＋m．又因为|AF1|=|AB|，所以2a－m=a＋m，解得m=a，所以|AF1|=2a－a=a．在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF2F1=．在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=．又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1=0，即＋=0，整理得3c2－a2=0，所以=，所以e==．
6．(2025·南通一调)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行，若|AF2|=|F1F2|，则C的离心率为( C )
A．2 B．2
C．3 D．3
【解析】 方法一：如图，设∠AF1F2=α，则tan α=，cos α=．因为|AF2|=|F1F2|=2c，所以由余弦定理得|AF2|2=|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos α，即4c2=|AF1|2＋4c2－2|AF1|·2c·，可得|AF1|=4a．因为|AF2|－|AF1|=2a，即2c－4a=2a，所以c=3a，故e==3．
方法二：如图，由题知|AF2|=|F1F2|=2c，则|AF1|=2c－2a．取AF1的中点M，连接MF2，则MF2⊥AF1，|MF1|=c－a，cos∠MF1F2=．因为AF1平行于双曲线的渐近线，所以cos∠MF1F2=，从而=，即c=3a，故e==3．
7．(2025·赣州一模)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，圆x2＋y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若∠PA2M的平分线与y轴平行，则C的离心率为( A )
A． B．2
C． D．
【解析】 如图，由题知，A1(－a，0)，A2(a，0)，双曲线过第一象限的渐近线方程为y=x，联立解得xM=，yM=，则kA1M=，所以直线A1M的方程为y=(x＋a)．设P(x0，y0)，则y0=(x0＋a) ①．因为∠PA2M的平分线与y轴平行，所以kMA2=－kPA2，即=－，整理得y0=－(x0－a) ②，联立①②解得x0=c，y0=b，代入双曲线方程得－=1，即e==．
8．(2025·邯郸二模改编)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足∠F1MF2=90°，△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为__＋1__．
【解析】 如图，记△F1MF2的内切圆Q分别与F1M，F2M，F1F2，y轴相切于点S，T，N，P，则四边形QSMT，OPQN都为正方形．设内切圆半径为r，由圆的切线性质，得|ON|=|MT|=r，则|F2M|=|F2O|=|F1F2| ①．因为|F1M|＋|F2M|－|F1F2|=2r ②，且由双曲线定义得|F1M|－|F2M|=2a ③，由①②③解得r=a，所以|F1M|＋|F2M|－|F1F2|=2a，从而|F1M|=c＋2a，|F2M|=c．在Rt△F1MF2中，由勾股定理得(c＋2a)2＋c2=(2c)2，即c2=2a2＋2ac，所以e2=2＋2e，解得e=＋1(舍去负值)．
9．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点M(x0，y0)(x0＞c)是C上一点，点A是直线MF2与y轴的交点，△AMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=|F1F2|，则椭圆C的离心率e=____．
【解析】 如图，设内切圆与AM相切于点Q，与AF1相切于点P．由切线性质知|MN|=|MQ|=|F1F2|=2c，|F1N|=|F1P|，|AP|=|AQ|，由对称性知|AF1|=|AF2|，所以|PF1|=|QF2|，即|NF1|=|QF2|，所以2a=|MF2|＋|MF1|=(|MQ|－|QF2|)＋(|MN|＋|NF1|)=|MQ|＋|MN|=4c，所以e===．
10．(2025·郑州二检)设F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且斜率为－的直线l与C的右支交于点A，与C的左支交于点B，点D满足=，=0，则双曲线C的离心率为____．
【解析】 如图，由=，得D为AB的中点．又=0，所以F1D⊥AB，所以|AF1|=|BF1|．设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义，得|BF2|=2a＋m，|AF2|=m－2a，所以|AB|=|BF2|－|AF2|=4a，从而|AD|=|AB|=2a，所以|DF2|=|AD|＋|AF2|=m．由直线l的斜率为－，得tan ∠AF2F1=，则cos∠AF2F1=．在Rt△DF1F2中，|DF2|=|F1F2|cos∠AF2F1，即m=2c·=c．在△AF1F2中，由余弦定理，得|AF1|2=|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2|·|AF2|·cos∠AF2F1，即2=4c2＋2－2·2c·，整理得25a2－7c2=0，解得=，所以e=．
11．(2025·南京期初)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cos∠F1AB最小时，C的离心率为____．
【解析】 设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)，其焦距为2c，如图，由题意可知|BF1|=|BF2|=a．设|AF2|=m，则|AF1|=2a－m，|AB|=a＋m，故cos∠F1AB====－1－=－1－．当m=时，2－a2取最小值－，此时cos∠F1AB取最小值，此时|AF2|=，|AF1|=a．在△AF1F2中，cos∠F1AF2===，整理得a2=3c2，故e==．
12．已知双曲线－=1(b＞a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为____．
【解析】 如图，设△AF1F2的内切圆圆心为I，且与三边分别相切于点Q，M，N，则|AQ|=|AN|，|F1Q|=|F1M|，|F2M|=|F2N|．由双曲线定义知|AF1|－|AF2|=2a，所以|AF1|－|AF2|=|F1Q|－|F2N|=|F1M|－|F2M|=2a，又|F1M|＋|F2M|=2c，所以|F1M|=a＋c，|F2M|=c－a，所以M为双曲线的右顶点，则I的横坐标为a．又△AF1F2的内切圆半径为，所以I．设∠IF2M=θ，则∠AF2M=2θ，所以tan θ===，因为AF2与双曲线的渐近线平行，且双曲线的渐近线方程为y=±x，所以tan 2θ=－tan(π－2θ)=－kAF2=，所以== ，整理可得2c2－5ac＋3a2=0，所以2e2－5e＋3=0，解得e=1或e=，又e＞1，所以e=．
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