4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线、定圆问题
基础打底
1．已知直线y=kx＋2与椭圆＋=1总有公共点，则m的取值范围是( D )
A．［4，＋∞) B．(0，9)
C．［4，9) D．［4，9) (9，＋∞)
【解析】 因为直线y=kx＋2恒过点(0，2)，为使直线y=kx＋2与椭圆＋=1恒有公共点，只需点(0，2)在椭圆＋=1上或椭圆内，所以＋≤1，即m≥4．又m≠9，所以m≥4且m≠9．
2．过双曲线x2－=1的左焦点F1作一条直线l交双曲线的左支于P，Q两点，若|PQ|=10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( A )
A．24 B．14
C．12 D．20
【解析】 由题得|PF2|－|PF1|=2，|QF2|－|QF1|=2．因为|PF1|＋|QF1|=|PQ|=10，所以|PF2|＋|QF2|－10=4，即|PF2|＋|QF2|=14．所以△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|=14＋10=24．
3．已知抛物线C：x2=2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为( A )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
【解析】 显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx＋2，由消去y得x2－2kx－4=0，所以x1x2=－4．从而kOA·kOB====－1．
4．已知离心率为的椭圆＋=1(a＞b＞0)内有个内接三角形ABC，O为坐标原点，边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，直线AB，BC，AC的斜率分别为k1，k2，k3，且均不为0，若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则＋＋=( C )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由题意可得=，所以4b2=3a2，不妨设椭圆方程为＋=1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则＋=1，＋=1，两式作差得=－，则=－，即－kAB=，则=－kOD，同理可得=－kOF，=－kOE，所以＋＋=－(kOD＋kOE＋kOF)=－．
强技提能
定点问题
例1 (2025·九江三模)已知双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点M(5，4)在E上，=32．
(1) 求双曲线E的方程；
【解答】 因为M(5，4)在E上，所以－=1 ①．因为A(－a，0)，B(a，0)，所以=(－a－5，－4)，=(a－5，－4)，所以=41－a2=32 ②．由①②解得a=3，b=3，故双曲线E的方程为－=1．
(2) 过点M的直线l交E于另一点N(异于A，B两点)，与x轴交于点G，直线NA与MB交于点H，证明：直线GH过定点．
【解答】 设直线NA的方程为x=my－3，直线MB的方程为y=2x－6．联立得H．联立消去x，整理得(m2－1)y2－6my=0，所以yN=，xN=，即N．所以直线MN的斜率为=，所以直线MN的方程为y=(x－5)＋4．令y=0，得x=，即G．所以直线GH的斜率为=，所以直线GH的方程为y=，即2m(x－y－3)＋x＋3=0．由解得x=－3，y=－6，故直线GH过定点(－3，－6)．
求解直线过定点问题的常用方法：
1．参数法：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标．
2．由特殊到一般：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
变式1 (2025·济南三月模考节选)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=2．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 由题设=且a2＋b2=c2，则a=b，c=a．由l⊥x轴时，|PQ|=2，不妨令P(a，)，代入双曲线得－=1，所以a2=b2=2，则所求方程为－=1．
(2) 过点P作直线x=1的垂线，垂足为N，证明：直线QN过定点．
【解答】 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(1，y1)．由于直线l的斜率不为0，设l：x=my＋2，与双曲线联立并整理得(m2－1)y2＋4my＋2=0，则m2－1≠0，Δ=16m2－8(m2－1)=8m2＋8＞0，所以y1＋y2=－，y1y2=，由x2≠1，得直线QN：y=(x－1)＋y1，如图，根据双曲线的对称性，直线QN所过定点必在x轴上，令y=0，则·(x－1)＋y1=0，得x=．因为x2=my2＋2，所以x=，而=－2m，即=my1y2，则x==，所以直线QN过定点M．
定值问题
例2 (2025·赣州一模)已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线x=a于R，且|PR|=|OR|=6(其中O为坐标原点)．
(1) 求椭圆C的标准方程．
【解答】 由题意可知P(－a，0)，Q(0，b)，R(a，2b)，所以|OR|==6，|PR|==6，则有又因为a＞0，b＞0，解得a=2，b=，所以椭圆方程为＋=1．
(2) 点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得＋为定值？若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由．
【解答】 假设存在点N(n，0)，使得＋为定值，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x=my＋n，联立整理得(2＋m2)y2＋2mny＋n2－12=0，则Δ=4m2n2－4(2＋m2)(n2－12)=48m2－8n2＋96＞0，即n2＜6m2＋12，由根与系数的关系得y1＋y2=，y1y2=，故＋=＋=======．因为＋为定值，所以2n2＋24=－4n2＋48，整理得n2=4，解得n=±2，此时＋==．当直线AB的斜率为0时，不妨设A(－2，0)，B(2，0)，N(2，0)，此时＋=＋=，符合题意，同理可证当点N的坐标为N(－2，0)时也符合题意，又n2=4＜12≤6m2＋12恒成立，所以存在点N(－2，0)或N(2，0)使得＋的值为(定值)．
求定值问题常见的两种方法：
1．从特殊入手，求出定值，再证明．
2．直接推理、计算．
定直线问题
例3 (2025·济宁一模节选)已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为E的左、右顶点，B为E的上顶点，且=－2．
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】 由题意知，A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，则=(－a，－b)，=(a，－b)，所以=b2－a2=－c2=－2，即c=．又e==，所以a=2，所以b2=a2－c2=6，所以椭圆E的方程为＋=1．
(2) 过椭圆E的右焦点F作斜率不为0的直线交E于M，N两点，设直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
【解答】 由于直线MN过点F(，0)且斜率不为0，所以可设直线MN的方程为x=my＋，由得(3m2＋4)y2＋6my－18=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2=－，y1y2=－，所以my1y2=(y1＋y2)．因为椭圆E的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，所以直线MA1的方程为y=(x＋2)，直线NA2的方程为y=(x－2)，联立直线MA1与NA2的方程，消去y得=== ===3，解得x=4，所以点P在定直线x=4上．
处理定直线问题的两个策略：
1．动点在定直线上的问题，所求定直线往往与坐标轴平行，所以此类问题可以从探索动点的横坐标或纵坐标开始．
2．遇到类似的式子的处理方法：利用根与系数的关系得则g(t)(x1＋x2)=f(t)x1x2，代入之后进行代换消元处理(积化和)．
定圆问题
例4 已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)，离心率e=，C的左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为2．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 由e==，a2=b2＋c2，三角形面积S=·2a·b=ab=2，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的方程为＋=1．
(2) M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，kMN·kAB=－1，kPM·kPN=1，kPA＋kPB=2，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．
【解答】 由(1)得P(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，直线MN：y=kx＋m，AB：y=k′x＋m′．联立消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4=0，则Δ=16k2m2－8(m2－2)(2k2＋1)=32k2＋16－8m2＞0，则因为kPM·kPN===1，所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4=0，所以(k2－1)·＋(km＋2)·＋m2－4=0，整理得(m＋2k)(m＋6k)=0．若m=－2k，则y=kx－2k=k(x－2)，则直线MN过定点P(2，0)，与题意矛盾；若m=－6k，则y=kx－6k=k(x－6)，则直线MN过定点(6，0)．同理可得又因为kPA＋kPB=＋=2，所以2(x3－2)(x4－2)=x3y4＋x4y3－2(y3＋y4)，所以2x3x4－4(x3＋x4)＋8=x3(k′x4＋m′)＋x4(k′x3＋m′)－2［k′(x3＋x4)＋2m′］，所以(2k′－2)x3x4＋(m′－2k′＋4)(x3＋x4)－4m′－8=0，所以(2k′－2)·＋(m′－2k′＋4)·－(4m′＋8)=0，整理得(2k′＋m′＋1)(2k′＋m′)=0．若m′=－2k′，则y=k′x－2k′=k′(x－2)，则直线AB过定点P(2，0)，与题意矛盾；若m′=－2k′－1，则y=k′x－2k′－1=k′(x－2)－1，则直线AB过定点(2，－1)．又因为kMN·kAB=－1，所以AB⊥MN，所以直线AB与MN的交点在以(6，0)和(2，－1)所连线段为直径的定圆上．
证明动点在定圆上的两种思路：
①证明动点是两动垂直直线的交点；
②利用圆的定义，证明动点与一定点的距离为定值．
配套热练
1．(2025·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点．
(1) 求椭圆E的标准方程；
【解答】 设椭圆E的方程为mx2＋ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)．由题意知，m·2＋n·()2=1，m·2＋n=1，解得m=1，n=，所以椭圆E的方程为x2＋=1．
(2) 若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，|OP|为半径的圆与圆C：x2＋(y＋)2=5的公共弦为MN，证明：△CMN的面积为定值，并求出该定值．
【解答】 设P(x0，y0)，则＋=1，且圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2=＋，即圆P的方程为x2＋y2－2x0x－2y0y=0．因为圆C的方程为x2＋(y＋)2=5，将圆P的方程与圆C的方程作差得x0x＋(＋y0)y－1=0，所以直线MN的方程为x0x＋(＋y0)y－1=0，则点C(0，－)到直线MN的距离d======2，又|MN|=2=2，所以△CMN的面积为S△CMN=|MN|·d=×2×2=2，为定值．
2．(2025·安庆三模)已知点A(2，0)为椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的右顶点，椭圆E 的离心率为，过点P(2，2)的直线l与椭圆E交于B，C两点，直线AB，AC分别与y轴交于点M，N．
(1) 求椭圆E的标准方程．
【解答】 由题意得=，a=2，又a2=b2＋c2，解得a=2，b=1，c=，所以椭圆E的标准方程为＋y2=1．
(2) 试判断线段MN的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标；若不是，请说明理由．
【解答】 设B(x1，y1)，C(x2，y2)．因为直线l经过点P(2，2)且与椭圆E交于B，C两点，所以直线BC的斜率一定存在，故设直线BC的方程为y=kx＋m，其中m=2(1－k)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4=0，由Δ=64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＞0，得k＞，则x1＋x2=，x1x2=．又因为直线AB的方程为y=(x－2)，令x=0，得M，同理N．由＋=－2·=－2·=－2·=－2·===1，故MN的中点为，为定点，其纵坐标为．
3．(2025·龙岩3月质检节选)已知椭圆M：＋=1(a＞b＞0)的右焦点F为抛物线N：y2=4x的焦点，过点F的直线交椭圆M于A，B两点，当直线AB垂直于x轴时，|AB|=3．
(1) 求椭圆M的方程；
【解答】 设F(c，0)，依题意得c=1，当x=c时，|y|==，又a2=b2＋c2，所以a=2，b=，故椭圆M的标准方程为＋=1．
(2) 当直线AB不垂直于x轴时，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记直线AD与BC的交点为P，证明：点P在定直线l上，并求出l的方程．
【解答】 因为直线AB与坐标轴不垂直，设直线AB的方程为x=my＋1(m≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则C(x1，0)，D(x2，0)．由得(4＋3m2)y2＋6my－9=0，则y1＋y2=－，y1y2=－，可得=．又由条件知直线AD，BC的斜率均存在，则直线AD的方程为y=(x－x2)，直线BC的方程为y=(x－x1)，联立直线AD和BC的方程，消去y，得交点P的横坐标为x0===＋1=4．同理，消去x，得交点P的纵坐标为y0==(y0≠0)，所以点P的坐标为(m≠0)．所以点P在定直线l上，且定直线l的方程为x=4(y≠0)．
4．已知双曲线C：－=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F2到双曲线C的一条渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 根据题意可知C的一条渐近线方程为y=x=x，设F2(c，0)(c＞0)，则点F2到渐近线y=x的距离为d==，所以c=2，c2=4=a2＋3a2，解得a2=1，所以双曲线C的方程为x2－=1．
(2) 过双曲线C的左顶点且不与x轴重合的直线交双曲线C的右支于点B，交直线x=于点P，过点F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：点Q在定圆上．
【解答】 设双曲线C的左顶点为A，则A(－1，0)，故直线x=为线段AF2的垂直平分线，所以可设PA，PF2的斜率分别为k，－k，故直线AP的方程为y=k(x＋1)．与双曲线C的方程联立有(3－k2)x2－2k2x－k2－3=0，设B(x1，y1)，则－1＋x1=，即x1=，所以B．当BF2⊥x轴时，|BF2|=|AF2|=3，△AF2B是等腰直角三角形，所以∠PF2A=∠BF2P=．当BF2不垂直于x轴时，直线BF2的斜率为，故tan ∠BF2A=，因为tan ∠PF2A=－k，所以tan 2∠PF2A==tan ∠BF2A，所以∠BF2A=2∠PF2A，∠PF2A=∠BF2P．因为QF1∥PF2，所以∠F2F1Q=∠PF2A=∠BF2P=∠F1QF2，所以|QF2|=|F1F2|=4，为定值，所以点Q在以F2为圆心且半径为4的定圆上．
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专题六
微切口4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线、定圆问题
解析几何
基础打底
【解析】
D
【解析】
由题得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2．因为|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，所以|PF2|＋|QF2|－10＝4，即|PF2|＋|QF2|＝14．所以△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24．
A
3．已知抛物线C：x2＝2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
【解析】
A
【解析】
【答案】C
强技提能
目标
1
定点问题
1
【解答】
1
【解答】
求解直线过定点问题的常用方法：
1．参数法：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标．
2．由特殊到一般：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【解答】
【解答】
目标
2
定值问题
2
【解答】
2
【解答】
求定值问题常见的两种方法：
1．从特殊入手，求出定值，再证明．
2．直接推理、计算．
目标
3
定直线问题
3
【解答】
3
【解答】
目标
4
定圆问题
4
【解答】
4
【解答】
证明动点在定圆上的两种思路：
①证明动点是两动垂直直线的交点；
②利用圆的定义，证明动点与一定点的距离为定值．
热练
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
因为QF1∥PF2，所以∠F2F1Q＝∠PF2A＝∠BF2P＝∠F1QF2，所以|QF2|＝|F1F2|＝4，为定值，所以点Q在以F2为圆心且半径为4的定圆上．4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线、定圆问题
基础打底
1．已知直线y=kx＋2与椭圆＋=1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．［4，＋∞) B．(0，9)
C．［4，9) D．［4，9) (9，＋∞)
2．过双曲线x2－=1的左焦点F1作一条直线l交双曲线的左支于P，Q两点，若|PQ|=10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．24 B．14
C．12 D．20
3．已知抛物线C：x2=2y，过点M(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
4．已知离心率为的椭圆＋=1(a＞b＞0)内有个内接三角形ABC，O为坐标原点，边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，直线AB，BC，AC的斜率分别为k1，k2，k3，且均不为0，若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则＋＋=( )
A．－ B．
C．－ D．
强技提能
定点问题
例1 (2025·九江三模)已知双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点M(5，4)在E上，=32．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 过点M的直线l交E于另一点N(异于A，B两点)，与x轴交于点G，直线NA与MB交于点H，证明：直线GH过定点．
求解直线过定点问题的常用方法：
1．参数法：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标．
2．由特殊到一般：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
变式1 (2025·济南三月模考节选)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=2．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 过点P作直线x=1的垂线，垂足为N，证明：直线QN过定点．
定值问题
例2 (2025·赣州一模)已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线x=a于R，且|PR|=|OR|=6(其中O为坐标原点)．
(1) 求椭圆C的标准方程．
(2) 点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得＋为定值？若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由．
求定值问题常见的两种方法：
1．从特殊入手，求出定值，再证明．
2．直接推理、计算．
定直线问题
例3 (2025·济宁一模节选)已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为E的左、右顶点，B为E的上顶点，且=－2．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 过椭圆E的右焦点F作斜率不为0的直线交E于M，N两点，设直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
处理定直线问题的两个策略：
1．动点在定直线上的问题，所求定直线往往与坐标轴平行，所以此类问题可以从探索动点的横坐标或纵坐标开始．
2．遇到类似的式子的处理方法：利用根与系数的关系得则g(t)(x1＋x2)=f(t)x1x2，代入之后进行代换消元处理(积化和)．
定圆问题
例4 已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)，离心率e=，C的左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为2．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，kMN·kAB=－1，kPM·kPN=1，kPA＋kPB=2，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．
证明动点在定圆上的两种思路：
①证明动点是两动垂直直线的交点；
②利用圆的定义，证明动点与一定点的距离为定值．
配套热练
1．(2025·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点．
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，|OP|为半径的圆与圆C：x2＋(y＋)2=5的公共弦为MN，证明：△CMN的面积为定值，并求出该定值．
2．(2025·安庆三模)已知点A(2，0)为椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的右顶点，椭圆E 的离心率为，过点P(2，2)的直线l与椭圆E交于B，C两点，直线AB，AC分别与y轴交于点M，N．
(1) 求椭圆E的标准方程．
(2) 试判断线段MN的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标；若不是，请说明理由．
3．(2025·龙岩3月质检节选)已知椭圆M：＋=1(a＞b＞0)的右焦点F为抛物线N：y2=4x的焦点，过点F的直线交椭圆M于A，B两点，当直线AB垂直于x轴时，|AB|=3．
(1) 求椭圆M的方程；
(2) 当直线AB不垂直于x轴时，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记直线AD与BC的交点为P，证明：点P在定直线l上，并求出l的方程．
4．已知双曲线C：－=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F2到双曲线C的一条渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 过双曲线C的左顶点且不与x轴重合的直线交双曲线C的右支于点B，交直线x=于点P，过点F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：点Q在定圆上．
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