2010北师大高中数学：点到直线的距离

课 题：§1.5点到直线的距离公式
教学目标：
1、知识与技能
（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及其简单应用；
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
2、过程与方法
（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；
（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法.
3、情感态度与价值观
引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。
教学重点： 点到直线距离公式和简单应用．
教学难点： 点到直线距离公式的推导．
教学方法： 小组讨论、合作探究学习，教师启发讲授。
教学手段: 多媒体教学。
教学过程:
一、复习回顾
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的位置关系，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.
问：1. 两直线的位置关系？2. 两直线的交点情况？3. 两点间的距离公式？
二、创设情境，引入课题
如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？
这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
引例：计算点P(-3,5)到直线 : 3x-4y-5=0 的距离。
（学生讨论思考，教师引入课题）
三、探究新知
1.请你思考解决上述引例的算法？
①生答（教师归纳）： ② 给出解答过程：
解：直线:3x-4y-5=0的斜率 k=3/4
与垂直直线’的斜率k’=-4/3
过点P垂直于的直线’的方程为：y-5=-4/3(x+3)
解方程组，得H(27/25,-11/25)
H即过点P作的垂线的垂足
由两点间的距离公式可得：
∣PH∣= .
2. 点到直线的距离公式
1）问：那么 点到直线的距离呢？请你仿照上述算法得出结果。
注：①.由学生自己得出结果，这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。而且对公式记忆更深。
②.学生回答后，教师给出解答过程 ，同时请学生课下思考用其它方法求此距离 。
2）归纳：点到直线的距离公式
点到直线的距离公式的推导还有向量法，在必修4平面向量中利用向量法给出推导。
注：由学生回答，教师归纳，同时请同学验证引例的结果。
四、例题讲解
例1. (1)求原点到直线l1: 5x-12y-9=0的距离
(2)求点P（-1，2）到直线l2 : 2x+y-10=0的距离。
生答（教师归纳）
解：(1) 原点到直线l1的距离 d=
(2) 点P到直线l2 的距离d=
例2 .已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
生答（教师归纳）
解：设AB边上的高为h，则S=
，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为 ： ， 即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为 : h= ，
因此，S=
注：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离公式理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
例3. 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．
生答（教师归纳）
解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．
注：要求学生能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
四、课堂练习：
P93 练习2 第1 ， 2 题 .
五、小结 ：
1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，
2.能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
1．求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.
2．已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：
3．已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
七．板书设计：略
求过点P垂直于l的直线l’的方程：y-y0= EQ \F(B,A) (x0-x)
得到点P到l的距离d=
求点P与点H的距离
求l与l’的交点H
求过点P垂直于l的直线l’的方程
求与l垂直直线的斜率k’=-1∕k
得到点P到l的距离
求点P与点H的距离：
求l与l’的交点H(,)
求与l垂直直线的斜率 k′= EQ \F(B,A)
确定直线l的斜率 k = EQ \F(-A,B)
确定直线l的斜率k
铁路
仓库
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