九年级数学上册试题 第2章 对称图形—圆 复习题 （2.1-2.5）--苏科版（含答案）

第2章《对称图形—圆》复习题 （2.1-2.5）
考点01：圆的周长和面积问题
1.如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示）
考点02：利用点与圆的位置关系求半径
3．已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．
4．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线．
(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？
考点03：点与圆上一点的最值问题
5．如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ．
6．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
考点04：求圆弧的度数
7．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ．
考点05：垂径定理的推论
9．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画弧的中点D；
(2)如图（2），延长至格点F处，连接．
①直接写出∠F的度数；
②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明．
10．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图．
(1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点；
(2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点．
考点06：垂径定理的实际应用
11.如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度
．
12．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为
考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解
13．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长．
考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证
15．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证：
(1)
(2)．
16．（1）如图①，过上一点P作两条弦，．若，则平分．为什么？
（2）如图②，若点P在内，过点P的两条弦，相等，则平分吗？为什么？
考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解
17．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
18．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线．
(1)如图1，若，求的大小；
(2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小．
考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等
19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径．
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求PE的长．
20．如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，连接，的面积为，求线段的长．
考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角
21．如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余；
(2)在图2中，过点作线段的中点．
22．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ．
考点12：90度的圆周角所对的弦是直径
23．如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．如图，已知，，，，，，，则 ．
考点13：求四边形外接圆的直径
25．已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．

26．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长？
(3)当时，求的最大值？
考点14：证明某直线是圆的切线
27．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
28．如图，在中，．
(1)尺规作图：
作的平分线交于点；
以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用证明：
在（1）的条件下，求证：与相切．
考点15：切线的性质定理
29．如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当为何值时，四边形为平行四边形？
(2)当为何值时，与相切？
30．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．
(1)如图，大圆的弦切小圆于点，求证：；
(2)若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示；
(3)如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______．
(4)如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
考点16：切线的性质和判定的综合应用
31．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
32．已知线段、与相切，切点分别为、，，．
(1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）．
(2)求证：与相切．
(3)若，，求的半径．
考点17：应用切线长定理求解
33．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
34.如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ．
考点18：应用切线长定理求证
35．如图，四边形 的顶点 A，B，C 在上，顶点D在外，连接，E是边的中点，和是的切线，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图（1），在上找一点 F，使得为等腰三角形；
(2)如图（2），在上找一点M，使得为等腰三角形．
36．【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若，
(1)求的度数．
(2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：．
考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
37．如图，已知，．
(1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）；
(2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________；
(3)若，则所作内切圆半径___________．
38．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．
考点20：圆外切四边形模型
39．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为
40．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
考点21：三角形内心有关应用
41．如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
42．如图，已知．
(1)利用直尺和圆规作出的内切圆；
(2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径．
考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
43．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
44．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点23：三角形内切圆与外接圆综合
45．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
46．如图，点是的内心，点是的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得．
(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
47．如图，是的弦．是延长线上一点．
(1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接．求证：．
48．（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
（2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ．
考点25：圆内知识综合（圆的综合问题)
49．如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ．
50．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题）
51．已知的两边分别与圆相切于点A，B，圆的半径为．
(1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由．
52．如下图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线，
(2)当的半径为2，时，求的长．
考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题）
53．【问题探究】
（1）如图1，已知的半径为7，点、是上的两个动点，则、之间的最大距离为_______；
（2）如图2，在中，点是边的中点，连接，若平分，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是一个草药种植区，，的长为定值，，点处是一个储水池，现要对该区域及周边重新规划，计划圈出一个（点、为动点，且始终都在经过点的一条直线上）区域来种植对湿度要求较高的药材，为方便灌溉，需沿线段和线段埋地下水管，沿修一条水渠．根据规划要求，的面积与的面积相等，经过勘测分析可知，所埋地下水管的长度最大值为（即的最大值为）．当所埋地下水管的长度最大时，求水渠的长度．
54．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ．
参考答案
考点01：圆的周长和面积问题
1．D
解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴的面积为，
故选：D．
2．2
的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
考点02：利用点与圆的位置关系求半径
3．（1）解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴点在内，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点在外；
（2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径r的取值范围是．
4．（1）解：，，，
，
，
，
半径，
， ，，
点在圆A上，点在圆A内，在圆A外；
（2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，，
，即，
圆A的半径的取值范围为．
易错考点03：点与圆上一点的最值问题
5．
解：取的中点，连接，，
∵为的弦，
∴，
∵沿弦折叠经过圆心，
∴是半径的一半，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的上，
∴当点共线时，有最小值，最小值为的长，
此时，是等腰直角三角形，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
6．B
解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），
∵A、B两点的坐标分别为、，，
∴
∵的圆心坐标为，原点在上，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：B.
考点04：求圆弧的度数
7．B
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B
8．
解：连接，如图，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是．
故答案为：．
考点05：垂径定理的推论
9．（1）解：如图所示；
（2）解：①∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
故答案为：45；
②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示.
理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形，
∴.
∵直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴将绕点B旋转得到.
10．（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∴点即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为半径，
∴，
∴，
∴点即为所求．
考点06：垂径定理的实际应用
11．2
解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴液体的最大深度，
故答案为：．
12．
解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H，
设，
最高点E到地面的距离为6mm，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解
13．B
解：连接、，如图，
，，
，，
，，
，
∴的度数为．
故选：B．
14．
解：如图，连接，
，
，，
，
，
，
．
考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证
15．（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
16．解：（1）平分，
如图，作直径，
，
，
，
，
平分．
（2）平分．
理由如下：
作于于，连接，如图，
则，
，
，
而，
，
平分．
考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解
17．C
解：连接，则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
18．（1）解：∵四边形内接于，，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∴．
考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等
19．解：（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
．
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（2），
．
，
，
．
是直径，
．
在中，，
．
20．（1）证明：如图1，延长交于M，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，连接，在上任取一点Q，连接、．
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过O作，，过D作．
∵、均为等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵的面积，
∴的面积，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴．
考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角
21．（1）如图所示，即为与互余的角．
∵
∴是圆的直径
∴
∵
∴
∵为的角平分线
∴
∴
∴
∴即为与互余的角；
（2）如图所示，点O即为所求．
∵
∴
∴点D在线段的垂直平分线上
∵
∴是等边三角形
∴
∴点F在线段的垂直平分线上
∴垂直平分
∴，即点O是中点．
22．
解：如图，取的中点O，连接，．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．
∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
考点12：90度的圆周角所对的弦是直径
23．（1）证明：∵为的直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
连接，如图：
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．
解：，
点，，，四点共圆，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
根据题意易得，
，，，，
，
故答案为：．
考点13：求四边形外接圆的直径
25．连接，

在中，，
∴，
在中，
，
∴
∴，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上．
26．（1）证明：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：延长到M使得，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴当为直径时，最大，
设圆心为O，连接，过点O作于M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
考点14：证明某直线是圆的切线
27．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
28．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：过点作于点，
平分，，，
，
即为的半径，
与相切．
考点15：切线的性质定理
29．（1）解：∵直角梯形，，
∴，
∴当时，四边形为平行四边形；
∵，，
∴，
解得：，
∴当时，四边形为平行四边形．
（2）设与相切于点，过点作，垂足为；
∵直角梯形，，
∴，
∵，，
∴，；
∵为的直径，，
∴，为的切线，
由三角形全等的性质可知，，
∴；
在中，，
∴，
即：，
∴，
，
∴，；
∵在边运动的时间为秒，
∵，
∴（舍去），
∴当秒时，与相切．
30．（1）证明：如图1，连接，
大圆的弦切小圆于点，
，
;
（2）解：如图1，连接，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图，连接、，作于点，则，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（4）解：如图3，作法：
作射线交于点；
作以为圆心，以长为半径的圆；
作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点；
连接，连接并且延长到点，使；
连接，作于点；
以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点；
过点、作直线交于点、，
弦就是所求的弦．
理由：连接，作于点，则，
，，
，
，
设，，
，
，，
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
弦就是所求的弦．
考点16：切线的性质和判定的综合应用
31．（1）证明：连接，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
32．（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、，
∴，
∵线段、与相切，切点分别为、，，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是的直径，即点在上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴与相切于点，
则即为所作；
（2）证明：由（1）知：即，且点在上，
∴与相切；
（3）解：设的半径为，
过点作于点，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵、、都是的切线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
考点17：应用切线长定理求解
33．C
解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
34．
解：作交于F，
∵、与切于点A、B，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵切于E，
∴，，
则，
在中，
由勾股定理得：，
整理得：，
∴y与x的函数关系式是．
故答案为：．
考点18：应用切线长定理求证
35．（1）解：如图，点F即为所求；
理由：∵和是的切线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：如图，点M即为所求．
理由：∵和是的切线，
∴点G为的中点，
∵E是边的中点，且与交于点H，
∴是边的中线，即点K为的中点，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
36．（1）是的切线
．
（2）根据题意，
如图，连接，
可得
，
又
是的切线
．
考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
37．（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心，
（2）解：连接，，
由切线长定理得，，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；
（3）解：设内切圆的半径为r，
∵在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：2．
38．
解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，
， 点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是内切圆的圆心，，，，
，
设，
，，
，
解得：，
，
将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，
由图可得的坐标为：，即，
设的横坐标为，
根据切线长定理可得：，
解得：，
，
的坐标为，即，
每滚动3次为一个循环，
，
第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099
，
故答案为：，．
考点20：圆外切四边形模型
39．
作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，
AB=AB1=，∠BAB1=30°，
∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30°
∴∠OAF=30°，∠AB1O=45°
∵OF⊥AB1
∴B1F=OF=OA
设B1F=x，则AF=-x
∴（-x）2+x2=（2x）2
解得x=或x=（舍去）
即四边AB1ED的内切圆的半径为.
故答案为.
40．(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
考点21：三角形内心有关应用
41．A
点是的垂心，
，，，
由，可得，
，
C、D、H、E四点共圆，
，
同理可证B、D、H、F四点共圆，
，
又，，
，
，
平分，
同理可证平分，平分，
点是三内角平分线的交点，即点是的内心．
故选：A．
42．（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，，
的周长为，
．
的面积为，，
，
，
它的内切圆的半径为．
考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
43．（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又 ，
，
，
则的长为．
44．C
解：∵是的内切圆，
∴、分别平分、，
∵，，
∴，，
∴．
故选：C．
考点23：三角形内切圆与外接圆综合
45．B
解：如图，连接、，
点是的外心，，
．
，
．
点是的内心，
，．
．
，
故选：B．
46．（1）解：如图所示，点D为所求：
∵点是的外心，
∴是的外接圆，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点是图中的外心，理由如下：
如图，连接，
由（1）知，
∴，即，
∴，
∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．
考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
47．（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图：
由作图可得：，
∴，
∴为的切线；
（2）解：连接，如图：
设，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
48．解：（1）如图，直线即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）∵，，
∴，
如图，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
故答案为：或．
考点25：圆内知识综合（圆的综合问题)
49．①③④
解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴，
∵，
∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示
∵，，，，
∴、是等腰直角三角形
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴D、A、C、E四点共圆，故①正确；
∵
∴，
∵点C为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④
50．D
连接，∵，∴，∵，∴，
要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，
则，
∴ ，
又，
∴，
∴，
故选D．
考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题）
51．（1）解：如图1，连接、
∵，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当时，四边形为菱形，
理由如下：
如图2：连接、
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∵点C运动到最大，
∴经过圆心，
∵、为的切线，
∴四边形为轴对称图形，
∵，，平分和，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
52．（1）证明：．
．
又．
是的直径，，
，
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2），
．
是直径，，
，
．
考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题）
53．解：（1）在圆中，直径是圆内最长的弦．已知的半径为7，根据直径（为半径），可得直径为，
点E，F是上的两个动点，当E，F在同一条直径的两个端点时，E，F之间的距离最大，这个最大距离就是圆的直径，
E，F之间的最大距离为14；
（2）是等腰三角形．
理由：过点作于点于点，如图2．
平分．
点是边的中点，，
，
，
是等腰三角形．
（3）在中，，
，
．
的面积与的面积相等，
．
取的中点，连接，如图3-1，
则为的中位线，
．
在（或的延长线）上截取，连接，如图3-1，
则是等边三角形，
．
作的外接圆，连接并延长交于另一点，连接，如图3-1，
则，
当为的直径时，的长最大，此时的长也最大，
的最大值为的直径为．
点在所在直线上，当取最大值时点与点重合，
当取最大值时，点在直径上．
是的直径，
，
当的长最大时，，即平分．
，结合（2）得当的长最大时，为等边三角形，如图3-2．
，
．
．
过点作于点，如图3-2，
则，
．
当所埋地下水管的长度最大时，水渠的长度为．
54．6
解：连接，
的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，，
过点C作，且使，
∴，
连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，
∵，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为5+1＝6，
故答案为：6．