九年级数学上册试题 第二章 对称图形—圆 复习题 （2.6-2.8）--苏科版（含答案）

第2章《对称图形—圆》复习题 （2.6-2.8）
考点01：正多边形和圆的综合
1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
考点02：求正多边形的中心角
3．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　）
A． B． C． D．
4．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？
问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形；
问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，）
问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积．
考点03：已知正多边形的中心角求边数
5．如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若．
（1）连接，则与的位置关系是 ；
（2）的值是 ．
6．如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．

考点04：尺规作图—正多边形
7．尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
8．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；
（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；
（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．
考点05：求弧长
9．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上的一个点，于点D．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、．
(1)画出关于原点成中心对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转后的，并求出点旋转到的轨迹的长；
(3)在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为__________．
考点06：求扇形半径
11．如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为( )
A． B． C． D．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm．
考点07：求圆心角
13．如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．
x年x月x日星期日 错题积累 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交，于点E，F． … [自勉] 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根
任务：
(1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：与相切于点D；
(3)若，劣弧的长为，求度数．
14．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)已知，．
①求的半径长；
②若劣弧的长度为，求的度数
考点08：求某点的弧形运动路径长度
15．在边长为1的正方形方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．
(1)画出向左平移4个单位后得到的，并写出点的坐标______；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标______；
(3)在（2）的条件下，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）．
16．如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则旋转过程中，点所经过的路径的长为 ．（结果保留）
考点09：求扇形面积
17．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
18．如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若．
(1)求的度数；
(2)若，，求扇形的面积．
考点10：求图形旋转后扫过的面积
19．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出将绕原点O顺时针方向旋转后得到的；
(2)求（1）中线段扫过的图形面积．
20．如图，点O B的坐标分别为 ，将绕点O按逆时针方向旋转得．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)求旋转过程中点B所经过路径的长度；
(3)求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积
考点11：求弓形面积
21．如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F．
(1)求证：是圆的切线．
(2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号）
考点12：求其他不规则图形的面积
23．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π
24．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的中点，，求图中阴影部分的面积．
考点13：求圆锥侧面积
25．如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求：
(1)围成的圆锥的侧面积．
(2)围成的圆锥的全面积．
26．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留）
考点14：求圆锥底面半径
27．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为，
(1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹）
(2)写出点的坐标：C_______、D_______；
(3)外接圆的半径=_______；
(4)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______；
(5)若，试判断直线与的位置关系并说明理由．
28．如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点15：求圆锥的高
29．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． B． C． D．
30．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
考点16：求圆锥侧面展开图的圆心角
31．综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示．
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草 ，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
32．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A． B． C． D．
考点17：圆锥的实际问题
33．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
34．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
考点18：圆锥侧面上最短路径问题
35．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如．
(1)__________，__________，的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，）
36．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
参考答案
考点01：正多边形和圆的综合
1．B
解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、，
∵，
∴．
故选：B．
2．D
解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，

∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
由中，由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，
∴4次一个循环，
∵，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同，
∵过点作轴于P，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为，
故选：D．
考点02：求正多边形的中心角
3．C
解：如图，连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成，
每个顶角的度数为：，
故答案为：45；
问题二：作的中垂线交于D，交于E，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形，
正八边形的边长为，
∴，
，
正方形的边长为，
正八边形的面积．
考点03：已知正多边形的中心角求边数
5． 平行 12
解：（1）如图，连接，
假设正边形的外接圆为，
根据正多边形的性质可得，
∴，
，
故答案为：平行；
（2）如图，连接，
∵，
，
∴，
∴正边形中心角为，
，
故答案为：12．
6．
解：过点作轴于点，
∵正六边形，点A的坐标为
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为，
故答案为：．

考点04：尺规作图—正多边形
7．（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：如图，点、即为所求，
8．解：（1）如图1，直线AF即为所求作．
（2）如图2，直线GH即为所求作．
（3）如图3，直线EF即为所求作．
考点05：求弧长
9．B
解：，点O是所在圆的圆心，，
，，，
．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
解得（负值已舍去），即，
．
10．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
由题意得，，
∴点旋转到的轨迹的长为；
（3）解：如图，作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，
∵，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：．
考点06：求扇形半径
11．B
解：如图，连接，
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵劣弧的弧长为，设，
∴
解得：
∴，
故选：B．
12．
解：圆锥的底面周长，
由题意可得，解得，
所以该圆锥的母线长为，
故答案为．
考点07：求圆心角
13．（1）解：根据题目要求补全图形如下：
（2）证明：连接，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切于点D；
（3）解：设，
∵，劣弧的长为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∴．
14．（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，，
∴，即，
解得，
∴的半径长为5；
②设，
∵劣弧的长度为，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
考点08：求某点的弧形运动路径长度
15．（1）解：如图：即为所画，；
故答案为：；
（2）解：如图：即为所画，；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴点在旋转过程中所经过的路径长．
16．
解：如图所示，连接、，
由旋转的性质可知，，，
，
，
在中，，
，，
，，即旋转角为，
，
在中，，
的长为．
考点09：求扇形面积
17．（1）解：直线与相切；
理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
而为半径，
直线与相切；
（2）解：，
，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
阴影部分的面积
．
18．（1）解：，，
，
，
是圆的直径，
，
，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
在中，，
即， 解得，
即，
扇形的面积为： ．
考点10：求图形旋转后扫过的面积
19．（1）解：画出将绕原点顺时针方向旋转后得到的，如下图所示：
；
（2）解：连接、、、，如图，
由旋转可知：，
，
∴（1）中线段扫过的图形面积为，
，
，
即（1）中线段扫过的图形面积为．
20．（1）解：如图，
则；
（2）解：由图可知，
则旋转过程中点B所经过路径的长度；
（3）解：由图可知，
则线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积．
考点11：求弓形面积
21．（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
22．（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
又∵是圆的半径，
∴是圆的切线．
（2）解：如图，连接，，其中交于点，
∵，，
∴，
∵圆的半径是，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
考点12：求其他不规则图形的面积
23．A
解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点E是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
24．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知，为直角三角形．
点是的中点，
，
又，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
设，则，
由勾股定理得，，
解得．
，
，
．
考点13：求圆锥侧面积
25．（1）解：圆锥的侧面积是．
（2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是，
则围成的圆锥的全面积是．
26．
圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）．
由底面直径为，得底面半径；
圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理： ；
因此，侧面积为．
故答案为：．
考点14：求圆锥底面半径
27．（1）解：根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦的垂直平分线，以及的垂直平分线，两直线的交点即为圆心；
（2）根据图形得：，．
故答案为：，；
（3）在中，，，
根据勾股定理得：，
则的半径为．
故答案为：；
（4）由题意可得出：，设该圆锥的底面半径，
扇形是一个圆锥的侧面展开图，
则该圆锥的底面周长为：，
，解得．
故答案为：；
（5）直线与的位置关系为相切，理由为：
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，则与圆相切．
28．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴的长度，
设围成圆锥后，底面圆的半径为，
∴，
解得，，
∴该圆锥底面半径为1，
故选：A ．
考点15：求圆锥的高
29．C
解：圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
则这个圆锥形容器的高为（），
故选：C．
30．A
解：∵半径为的圆形，
∴底面圆的半径为2，周长为，
扇形弧长为：，
∴，即母线为，
∴圆锥的高为：．
故选：A．
考点16：求圆锥侧面展开图的圆心角
31．（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则，
解得，
故答案为：相等，6．
（2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得，
解得．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴够长．
32．A
解：∵圆锥的底面直径是，,
∴圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角的大小为，则，
∴，
故选：．
考点17：圆锥的实际问题
33．C
解：设的长为 ，
四边形为正方形，
则 ，，
，
，
扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
，
解得 ，
故选：C．
34．（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
考点18：圆锥侧面上最短路径问题
35．（1）解：如图1，
由，得，
∴，
如图2，
∵，
∴作于D，则，，
∴，则，
∴
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
36．（1）解：如图1，
，则，
∴，
如图2，
，作于D，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．