九年级数学上册试题 期末复习题 第二章 对称图形——圆---垂径定理--苏科版（含答案）

期末复习题---垂径定理
题型1：利用垂径定理求值
1．如图，为的直径，弦交于点E，将沿弦折叠，点C恰好落在的中点，若，则弦为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ．
3．如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ．
4．月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径．
5．如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型2：利用垂径定理求平行弦问题
6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
7．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
8．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点；
(2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点；
(3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点；
(4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点．
9．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
10．已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离．
题型3：利用垂径定理求同心圆问题
11．如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，．
(1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
12．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
13．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．90°
14．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
15．综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，．
(1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值．
题型4：利用垂径定理求解其他问题
16．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．
17.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使．
小亮同学很快就给出了下列思路：
①连接，作线段的垂直平分线，交于点E；
②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求．
(1)请你按小亮的步骤画出图形；
(2)请你利用图形，求证：．
18．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ．
19．如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．【问题提出】
(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴
即周长的最小值为
∵，
∴
∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．
(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
题型5：垂径定理的推论
21．如图，在中，弦与半径交于点．
(1)的半径为5， ，，垂足为E，则______．
(2)在中，，，，则______．
(3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______．
(4)，，弦，求的半径．
22．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画弧的中点D；
(2)如图（2），延长至格点F处，连接．
①直接写出∠F的度数；
②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明．
23．如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________．
【探究证明】
（2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．

题型6：垂径定理的实际应用
26．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．
(1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
(2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）．
27．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长．
28．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C．
(1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
29．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为
30．某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ．
参考答案
题型1：利用垂径定理求值
1．A
解：连接，令的中点为，如图，
∵将沿弦折叠，点C恰好落在的中点上，
∴，，
又∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴，
故，
∵CD为的直径，弦交CD于点E，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
2．
解：是的直径，，
，．
，，
．
．
．
．
故答案为：．
3．5
解：连接，设的半径是，则，，
∵是的直径，弦于点M， ，
∴，
由勾股定理得，
∴，
解得∶，
即的半径是，
故答案为：5．
4．解：如图，连接，
设圆的半径为．
∵，，，
∴，．
在中，根据勾股定理，
∴．
展开得．
解得．
答：这个圆形“月亮门”的半径为．
5．A
解：过作于，于，连接，，则，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，，
∵，
∴，，
中，，则，
中，，则，
∴，
整理得，
把代入得，
解得，
当时，，不合题意；
当时，，此时，，，，
∴，，
∴，
故选：A．
题型2：利用垂径定理求平行弦问题
6．A
解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接，
，，，
则，
，
，，
，
此时弦与的距离为17；
当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，
同理，，
，，
，
此时弦与的距离为7，
弦与的距离为17或7．
故选：A．
7．A
解：如图所示，当点B与点M重合时，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，
故选：A．
8．（1）如图，找中点，连接，交与点，
∴点即为所求；
（2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可，
∴点即为所求；
（3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点，
∴点即为所求；
（4）如图，已知图中，
延长交于点，
∴，根据网格作高的特点，作的高，
∴，延长交于点，
根据同弧所对的圆周角相等，则，
∴，
∴，
∴ ，
∴点即为所求．
9．C
解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
10．如图，过点O作OE⊥CD于E，交AB于点F，
∵，
∴OE⊥AB，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=AB=3，∴OF=4，
在Rt△COE中，OC=5，CE=CD=4，∴OE=3，
当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=4-3=1；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=3+4=7，
故答案为：1或7.

题型3：利用垂径定理求同心圆问题
11．（1）解：作图如下，
（2）解：设圆P的半径为r，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
12．B
解：如图
作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
13．C
①当△ABC时锐角三角形时，
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴ ，
∵OB=2
∴∠BOD=60°
∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，
∵=，
∴；
②当△ABC时钝角三角形时，如图，
由①可知∠E=60°，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠E+∠A=180°，
∴∠A=180°-60°=120°.
故∠A的度数为60°或120°.
故答案为：C
14．16
解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
15．（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
同理可得，，，
∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
题型4：利用垂径定理求解其他问题
16．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：过O作于F，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
17.（1）解：如图所示，点P即所求．
（2）证明：如图，
，，
，
，，
，
18．
解：连接，过点作于点，
∵与轴相切于点，∴轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴，
∴，∵直线恰好平分的面积，
∴点在直线上，
∴，解得．
故答案为：．
19．（1）证明：∵点为的中点，
∴，
又∵弦，是直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为，连接，，

∵，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，，
则，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴．
20．（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：∵，，点D是的中点，
∴，，，
作的垂直平分线，交于点，连接，
则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在；理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画圆，分别作点关于，的对称点，，则点，在上，连接，分别交，于点，，此时的周长最小．
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
过点作于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵为定值，
∴最小时，的值最大，此时的面积最大，
过点作于点，则 ，
∴当时，即O点与Q点重合时，的值最大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
此时是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴的最大值．
题型5：垂径定理的推论
21．（1）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
（2）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：5．
（3）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（4）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
设半径为，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得，
∴的半径为5．
22．（1）解：如图所示；
（2）解：①∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
故答案为：45；
②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示.
理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形，
∴.
∵直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴将绕点B旋转得到.
23．B
解：点是弧的中点，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
24．C
解：∵为的直径，C为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
25．（1）解：∵点，是线段的勾股分割点，
∴分两种情况：
当为斜边时，．
当为斜边时，．
∴或；
故答案为：或；
（2）证明： ，
，
将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．

∵，，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵ ，
∴在中，，即 ，
∴点，是线段的勾股分割点．
（3）解：如图，当点P在上方时，连接，

∵点在上，
∴是的内接三角形，
∴分别在的垂直平分线上，
∵，
∴都是等腰三角形，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵圆心角，
∴，
由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则．
∴，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
当点P在下方时，如图，

∵，
∴，
同理得点A，B是线段的勾股分割点，
∴，
同理上一种情况得，
设，则，
∴，
解得：（负值舍去），
∴；
综上，的长为或．
题型6：垂径定理的实际应用
26．（1）解：经过圆心O，且弦，
；
（2）解：连接，
∵，
∴，
设的半径为m，则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴这个月亮门的最大宽度为．
27．解：如图，连接，连接交于点，
由题意得，米，米，，
∴米，
设的半径为米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为米．
28．（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：连接交于点D．连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
在中，，
解得．
29．
解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H，
设，
最高点E到地面的距离为6mm，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
30．
解：如图1所示，过点E作于T，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，
设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图3所示，

构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接，
∴，
∴，
由图2可知，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴大货车的最大高度（包括货物）为，
故答案为：．