九年级数学上册试题 期末复习题 第2章 对称图形——圆----直线与圆的位置关系--苏科版（含答案）

期末复习题----直线与圆的位置关系
题型1：证明某直线是圆的切线
1．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
2.如图，是的外接圆，且，点D在上运动，过点D作，交的延长线于点E，连结．
(1)求证：；
(2)当点D运动到什么位置时，是的切线？请说明理由．
(3)当，求的半径．
3．如图，是的直径、是的弦，给出下列信息：
①于点；②平分；③切于点．
请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理由．
你选择的补充条件是________，结论是________(填序号)．
题型2：切线的性质定理
4．如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求平行四边形的面积．
6．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型3：切线的性质和判定的综合应用
7．如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点．
(1)若，则两个同心圆组成的圆环面积为______；
(2)若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由．
8．如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
9．九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看．
已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上．
(1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？
(2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值．
题型4：应用切线长定理求解
10．如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
11．如图，已知，．
(1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）；
(2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________；
(3)若，则所作内切圆半径___________．
12．已知线段、与相切，切点分别为、，，．
(1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）．
(2)求证：与相切．
(3)若，，求的半径．
题型5：应用切线长定理求证
13．如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，．
(1)求证：；
(2)求与的函数关系式？
(3)若、是方程的两个根，求、的值．
14．【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若，
(1)求的度数．
(2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：．
15．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
16．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ．
17．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．
题型7：圆外切四边形模型
19．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．

20．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ．
21．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.
题型8：三角形内心有关应用
22．如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
24．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知的半径是，，求的长．
题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
25．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ．
26．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
27．（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由．
题型10：三角形内切圆与外接圆综合
28．如图，锐角．
(1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系；
(3)如果，那么的度数是多少？
29．如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ．
30．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ．
题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
31．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：和外一点．
求作：过点的的切线．
作法：如图，
连接；
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
作直线，交于点；
以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点；
作直线，．
直线，即为所求作的切线．
(1)请根据上述作法完成尺规作图；
(2)连接，，可证，理由是 ；
(3)直线，是的切线，依据是 ．
32．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法：
下列判断正确的是（ ）
甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线．
A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误
C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误
33．如图，正方形中，是的直径，点是上的一动点（点不与点，重合，且在左侧）．

(1)尺规作图：做出点使得；
(2)在（1）的条件下，延长交于，求证．
题型12：圆内知识综合（圆的综合问题）
34.在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设．
(1)如图，当时．
①求的大小（用含的式子表示）；
②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)当时，请直接写出线段之间的数量关系．
35．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．4
36．已知为的直径，，为上一点，连接，．
(1)如图①，若为的中点，求的大小和的长；
(2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长．
题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题）
37．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若交于点H，连接，，求的长．
38．如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
39．如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E．
(1)写出图中与相等的一个角： ；
(2)求证：是的切线；
题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题）
40．点，，在上，将沿折叠后，与交于．
(1)若，求的度数．
(2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数．
41．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
42．如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
(1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ；
(2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值．
(3)连接，交于点，如图2，当时，求的值．
题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题）
43．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为 ．
44．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 ．
45．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为　　
A．3 B．2 C． D．
题型16：其他问题（圆的综合问题)
46．点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”．
(1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ；
(2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ．
47．如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
48．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．
参考答案
题型1：证明某直线是圆的切线
1．（1）证明：连接，
，
．
．
，
．
．
．
，
，
又是半径．
是的切线．
（2）解：设，
，
．
在中，
，，，
．
解得．
的半径是3．
2．（1）证明：在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：当点D是弧的中点时，是的切线．理由如下：
当点D是弧的中点时，则有，且过圆心O．
又∵，
∴．
∴ 是的切线．
（3）解：连结，并延长交于点F，则，
∵，
∴．
又∵，
∴．
设的半径为，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径是．
3．（1）选择的补充条件是①②，结论是③．
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵是圆的半径，
∴切于点．
（2）选择的补充条件是①③，结论是②．
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分．
（3）选择的补充条件是②③，结论是①．
证明：连接，
∵，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，
∴，，
即于点．
题型2：切线的性质定理
4．B
解：连接，，
，，，
，
与的切点分别为 D，E，F，
，，，，，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
的半径长为2，
故选：B．
5．（1）解：∵是的切线，
∴，
连接，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：过作于，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
由（）得
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的面积．
6．D
解：连接，，，，如图所示，
在矩形中，
∵，，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
∴四边形，是正方形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
故选：D．
题型3：切线的性质和判定的综合应用
7．（1）解：连接、，
大圆的弦是小圆的切线，切点为点，
，
，
，
两个同心圆组成的圆环面积为：
（），
故答案为：；
（2）解：补全图如下：
与小圆相切，
理由如下：连接、、、，过点作于E，
，，，
（），
，
与小圆相切．
8．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
9．（1）解：①如图1，
当点与点重合时，，，与半圆相切，
此时点运动了，所求运动时间为：．
②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为．
在中，，，
则，即等于半圆的半径，
所以与半圆所在的圆相切．
此时点运动了，所求运动时间为：．
③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切．
此时点运动了，所求运动时间为：．
④如图，当点运动到点的右侧，且时，
过点作，垂足为．
在中，，则，
即等于半圆所在的圆的半径，
所以直线与半圆所在的圆相切．
此时点运动了，所求运动时间为：．
综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切．
（2）解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，
假设切点为，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时点运动了，所求运动时间为：．
②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，
假设切点为，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
此时点运动了，所求运动时间为：．
③如图，
过点作，
∵，
∴，，
∵，
∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径，
所以边与半圆所在的圆相切．
当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：，
当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：，
故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，，
综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）．
题型4：应用切线长定理求解
10．A
解：连接，如图，
由切线性质知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，①正确；
由切线性质知，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴平分，③正确；
④若，则，即是等边三角形，
根据已知条件无法得到这一结论，故④错误．
故选：A．
11．（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心，
（2）解：连接，，
由切线长定理得，，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；
（3）解：设内切圆的半径为r，
∵在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：2．
12．（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、，
∴，
∵线段、与相切，切点分别为、，，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是的直径，即点在上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴与相切于点，
则即为所作；
（2）证明：由（1）知：即，且点在上，
∴与相切；
（3）解：设的半径为，
过点作于点，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵、、都是的切线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
题型5：应用切线长定理求证
13．（1）证明：、是的两条切线，
，
同理可得，，
为的直径，和是的两条切线，
∴，
，
，
，
；
（2）解：过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，，
切、、于、、，
，，
，，
在中，，即，
，
．
（3）解：、是方程的两个根，
，即，
整理得，，
解得，，，
则，，
，或，．
14．（1）是的切线
．
（2）根据题意，
如图，连接，
可得
，
又
是的切线
．
15．（1）证明：过点作于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴与相切，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
在中，设，
则，即，
解得：，
∴，
∴，
∴的长为．
题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
16．12
解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：12．
17．D
解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵，且，，，
∴，
解得：，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：D．
18．
解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是内切圆的圆心，，，，
，
设，
，，
，
解得：，
，
将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，
由图可得的坐标为：，即，
设的横坐标为，
根据切线长定理可得：，
解得：，
，
的坐标为，即，
每滚动3次为一个循环，
，
第2020次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8081，
，
故答案为：．
题型7：圆外切四边形模型
19．
解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，

∵正方形，正方形和正方形都在正方形内，
∴，
∵分别与，，，相切，
∴四边形是正方形，
∴过点，，
四边形为正方形，
， ，．
．
．
设的直径为，则
．
，
． ，
，
（）
解得： ．
即的直径为 ．
故答案为： ．
20．8
解：如图，
∵的外切四边形，
∴，
∴，
∵，
∴设、、，则，即，
∵四边形的周长为32，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
21．∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
题型8：三角形内心有关应用
22．B
解：如图，连接，
∵点O是的外心，
∴，
∵点I是的内心，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：B．
23．D
解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
24．（1）证明：∵为的直径，
，
点是的内心，
，，
，
，，
，
．
（2）解：如图，连接，过点作于，
为的直径，的半径是，，
，是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴．
题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
25．7
解：设三角形与相切于点，与相切于点．
由题意，得．
三角形纸片的周长为，，，
∴三角形纸片的周长．
故答案为：．
26．（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又 ，
，
，
则的长为．
27．解：（1）∵，，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）可以．
三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
所求圆的圆心是△的内心，
作和的平分线，交于点，
则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，
过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示：
设，的半径为，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
点为的内心，
，
，
，
即，
．
题型10：三角形内切圆与外接圆综合
28．（1）解：如图，
∴的外接圆、的内切圆即为所求；
（2）解：，理由，
如图，
∵点是外接圆的圆心，
∴，
∵点是内切圆的圆心
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（）得，，
∵，
∴．
29．
解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心．
四边形为正方形，
为的平分线，
点O在上．此时最短．
如图，当点O落在上时，最大．
过点M作于点F，于点G，于点K．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，，，，
四边形是正方形，
．
，，，
四边形为矩形，
，
．
，
，
．
在和中，，
，
，
为等腰直角三角形．
点O为的内心，
，
．
又，
，
，
的取值范围是．
30．65
解：∵I是的内心，
∴分别平分，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴．
故答案为：65．
题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
31．（1）解：如图，为所求；
（2）解：∵为直径，
∴；
故答案为：直径所对的圆周角为直角；
（3）解：∵，
∴，，
∵为的半径，
∴直线，是的切线．
故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
32．D
解：甲：连接、，
由作图知，是直径，
∴，
又∵、是的半径，
∴是的切线；
∴甲的作法正确；
乙：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
若是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定是的切线，
∴乙的作法不正确；
故选：D．
33．（1）解：如图，连接，作的垂直平分线，交于点K，以K为圆心，为半径作圆，交于一点，该点即为所求作的点E；

连接、，、，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵为的直径，
又∵直径所对的圆周角为直角，
∴点C在上，
∵是的直径，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长交于点G，如图所示：

∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，为半径，
∴、为的切线，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴为的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型12：圆内知识综合（圆的综合问题）
34．（1）解：①连接，，如下图
为边上一点，点与点关于直线对称，
，，，
．
在中，，
，，
．
，
，
，
．
②
证明：过点作交于,
∴.
∵
∴,
．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
∴，
，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
．
（2）
证明：同②的方法．
35．B
解：连接交于点F点，
为直径，
，
∴，
又为切线，
，
∴，
四边形是矩形，
，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，故B正确．
故选：B．
36．（1）解：为的直径，
，
为的中点，
，
，
；
（2）是的切线，
，
，，
四边形为矩形，
，
在中，，，，
则，
，
，
．
题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题）
37．（1）证明：连接，如图，
是的直径，C是的中点，
，
，
为的中位线，
，
，
是的切线；
（2）解：E是的中点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
为直径，
，
，
．
38．（1）证明：证明：如答图，连接．
∵平分，
.
，
，
，
.
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：是的直径，
.
，
.
，
，
.
，
，
在中，由勾股定理，得，
，
解得（负值已舍去），
，
的半径为．
39．（1）解： 平分，
，
故答案为：；（答案不唯一）
（2）证明： 平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题）
40．（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示：
则，，
，
；
（2）（2）由（1）得，
，，
，
点是翻折所得的中点，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由三角形内角和定理得：，
解得，
即．
41．C
解：如图所示，为的外接圆，
延长交于点，连接，则，
，当的半径最小时，最大，
∵点C在上，
∴当为的切线时，最大．
连接，过点O作于点F，则，
，
，
∴四边形为矩形，
，
，
．
故选择：C．
42．（1）解：如图，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵ ， ，
∴，，
∴，
∴的半径为，
∵，是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相离．
故答案为：；相离；
（2）解：①如图，
∵、运动的速度与、的比相等，
∴圆心在对角线上，
由图可知，和两点在时在点重合，
当时，直径为对角线，是的中点，
∴，由勾股定理，可得，
∴，
∴圆心的运动路径长是．
故答案为：；
②如图，当与相切时，
设切点为，连接并延长交于，
则，，
则，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得，
∴的值为；
（3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴的值为．
题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题）
43．2或或0
解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0．
当y=-1时，有-1=-x2+1，x=．
故答案是：2或或0．
44．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（5，a），
∴OC=5，PC=a，
把x=5代入y=x得y=5，
∴D点坐标为（5，5），
∴CD=5，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=，
AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=5，
∴PE=，
∴PD=PE=
∴a=5+．
故答案为：5+．
45．D
如图， 令直线y=x+与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=，则D（0，），
当y=0时，x+=0，解得x=-2，则C（-2，0），
∴，
∵OH CD=OC OD，
∴OH=.
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为.
故选D.
题型16：其他问题（圆的综合问题)
46．（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
，，
故答案为：．
（2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标．
由题意得 ．
①当时，．
∴．
②当时，．
∴（不合题意，舍）．
③当时，．
∴．
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，．
（3）解：设“垂距点”的坐标为，则
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，
∴
当过点时，上不存在“垂距点”，
此时
∴若存在“垂距点”，则的取值范围是．
故答案为：．
47．B
解：如图所示：连接．
∵四边形为正方形，
∴．
∵点D与点M关于对称，
∴．
∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上．
如图所示，当点在一条直线上时，有最小值．
∴的最小值 1．
故选：B．
48．
解：的半径为1，
，
如图，连接，
则当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
直线的表达式为，的坐标为，
的最小值为，
则的最小值为，
故答案为：．