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专题四
4 概率分布中的两类最值问题
统计与概率
基础打底
【解析】
【答案】ABC
【解析】
BD
3．(苏教选必二P133练习6改编)生态学家为估计某地区动物总数，先捕捉m=40只动物做标记后放回，一段时间后再捕捉n=80只，发现其中有标记的动物p=8只，利用上述试验方法估计该地区动物总数为______只．
【解析】
400
【解析】
10
强技提能
目标
1
二项分布中的最值问题
1－1
【解答】
1－1
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
1－2
【解答】
【解答】
1－2
1－2
【解答】
目标
2
超几何分布中的最值问题
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1)若N=5 000，求X的数学期望；
2
【解答】
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)．
2
【解答】
变式2 有一个包含1 000个个体的总体，其中具有某特定属性的个体数量记为M(2≤M≤992，且M是正整数)．从这个总体里不放回地抽取10个个体，把抽取到具有该特定属性个体的数量设为随机变量X．现在定义“抽取2个具有该特定属性个体”这件事的概率为P，当P最大时，X的数学期望E(X)= ( )
A．1.98 B．1.99
C．2.00 D．2.01
【解析】
【答案】C
热练
1．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
【解答】
1．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X=k(k=0，1，…，n)的概率记为P(X=k)，则n为何值时，P(X=6)的值最大？
【解答】
2．(2025·抚顺二模节选)“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”．某科技公司采购了一批共计n台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为p．
(1)若n=3，p=0.2，记X为一次计算中正常运行的计算机数量，求X的分布列和数学期望；
【解答】
X 0 1 2 3
P
2．(2025·抚顺二模节选)“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”．某科技公司采购了一批共计n台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为p．
(2)若n=24，p=0.16，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少．
【解答】
【解答】
【解答】
4．(2025·鹰潭二模)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品安全监督管理部门和卫生行政部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望．
【解答】
X 2 3 4
P
4．(2025·鹰潭二模)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品安全监督管理部门和卫生行政部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，专家如约参加会议．
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数．
(附：极大似然估计(MLE)即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当X=k时，概率P(X=k)取得最大值，则X的估计值为k)
【解答】4 概率分布中的两类最值问题
基础打底
1．(多选)在一个不透明口袋中，装有5个红球和4个黑球(球除颜色外完全相同)．现进行取球试验，方式一为有放回取3次球(每次1个)，设取到红球的个数为X；方式二为无放回取3个球，设取到红球的个数为Y．关于两种分布，下列说法正确的有( )
A．X服从二项分布，每次取到红球的概率为
B．Y服从超几何分布，其概率质量函数为P(Y=k)=(其中k=0，1，2，3)
C．超几何分布(Y)与二项分布(X)的均值相同
D．超几何分布(Y)与二项分布(X)的方差相同
2．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率为，则a=( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．(苏教选必二P133练习6改编)生态学家为估计某地区动物总数，先捕捉m=40只动物做标记后放回，一段时间后再捕捉n=80只，发现其中有标记的动物p=8只，利用上述试验方法估计该地区动物总数为 只．
4．如果X~B，那么P(X=k)取得最大值时，k= ．
强技提能
二项分布中的最值问题
例1－1 (2025·宜春二模节选)为提升服务品质，某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，针对4个基本滑雪动作(站姿、滑行、转弯、刹车)进行指导．根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立．若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门．
(1) 求初学者滑雪入门的概率；
(2) 现有一旅行团到该冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令X为滑雪入门的人数，求E(X)，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大．
对于X~B(n，p)，当p给定时，可以得到函数f(k)=pk(1－p)n－k，k=0，1，2，…，n，这是数列最值问题．
==1＋．
当k＜(n＋1)p时，f(k)＞f(k－1)，f(k)随k值的增加而增加；当k＞(n＋1)p时，f(k)＜f(k－1)，f(k)随k值的增加而减少．若(n＋1)p为正整数，则当k=(n＋1)p时，f(k)=f(k－1)，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，而k取(n＋1)p的整数部分，则f(k)是唯一的最大值．
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大．
变式1 (2025·枣庄期末)某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线——故宫探游”研学活动．游览规划：第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续线路①或线路②游览，最终在御花园集合，活动结束．已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立．
(1) 求甲同学在第二阶段选择路线①的概率；
(2) 记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一、二阶段都选路线①的人数为X，求X的数学期望、方差；
(3) 记班级内在第一、二阶段都选择路线①的人数为r的概率为f(r)，则r为何值时，f(r)取最大值？
例1－2 (2025徐州调研)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得－300分．设每次击鼓出现音乐的概率为p，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1) 若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2) 以(1)中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X)；
(3) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
对于f(p)=pk(1－p)n－k(n，k为常数)，f′(p)=pk－1(1－p)n－k－1(k－np)．
(1) 当k=0时，f′(p)＜0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递减，f(p)无最值．
(2) 当k=n时，f′(p)＞0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递增，f(p)无最值．
(3) 当k=1，2，…，n－1时，由于当p＜时，f′(p)＞0，f(p)单调递增；当p＞时，f′(p)＜0，f(p)单调递减，故当p=时，f(p)取得最大值，f(p)max=f．又当p→0时，f(p)→0，当p→1时，f(p)→0，从而f(p)无最小值．
超几何分布中的最值问题
例2 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1) 若N=5 000，求X的数学期望；
(2) 已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)．
超几何分布的概率最值 将从次品数为a的(a＋b)件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点，总数为，其中次品出现k次的可能为，令N=a＋b，则其概率为hk(N)=，=．令=λ，则当an＞kN时，λ＞1；当an＜kN时，λ＜1，即当N＜时，hk(N)是关于N的增函数；当N＞时，hk(N)是关于N的减函数，所以当N=时，hk(N)达到最大值．
变式2 有一个包含1 000个个体的总体，其中具有某特定属性的个体数量记为M(2≤M≤992，且M是正整数)．从这个总体里不放回地抽取10个个体，把抽取到具有该特定属性个体的数量设为随机变量X．现在定义“抽取2个具有该特定属性个体”这件事的概率为P，当P最大时，X的数学期望E(X)=( )
A．1.98 B．1.99
C．2.00 D．2.01
配套热练
1．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1) 求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2) 在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X=k(k=0，1，…，n)的概率记为P(X=k)，则n为何值时，P(X=6)的值最大？
2．(2025·抚顺二模节选)“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”．某科技公司采购了一批共计n台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为p．
(1) 若n=3，p=0.2，记X为一次计算中正常运行的计算机数量，求X的分布列和数学期望；
(2) 若n=24，p=0.16，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少．
3．(2025·邯郸一模)某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰．已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为p．假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响．
(1) 已知p=．
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率．
(2) 记甲同学的答题个数为X，求E(X)的最大值．
4．(2025·鹰潭二模)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品安全监督管理部门和卫生行政部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1) 设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望．
(2) 为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数．
(附：极大似然估计(MLE)即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当X=k时，概率P(X=k)取得最大值，则X的估计值为k)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4 概率分布中的两类最值问题
基础打底
1．(多选)在一个不透明口袋中，装有5个红球和4个黑球(球除颜色外完全相同)．现进行取球试验，方式一为有放回取3次球(每次1个)，设取到红球的个数为X；方式二为无放回取3个球，设取到红球的个数为Y．关于两种分布，下列说法正确的有( ABC )
A．X服从二项分布，每次取到红球的概率为
B．Y服从超几何分布，其概率质量函数为P(Y=k)=(其中k=0，1，2，3)
C．超几何分布(Y)与二项分布(X)的均值相同
D．超几何分布(Y)与二项分布(X)的方差相同
【解析】 有放回取球时，每次试验独立且取到红球的概率恒为=，3次取球构成3重伯努利试验，因此X服从二项分布B，A正确．无放回取3个球时，总体数量N=9(红球M=5，黑球4个)，抽取数量n=3，超几何分布的概率质量函数为“从M个红球中取k个，从剩余(N－M)个黑球中取(n－k)个的组合数，除以从总体中取n个球的组合数”，即P(Y=k)=(k=0，1，2，3)，B正确．二项分布的均值E(X)=np=3×=；而P(Y=0)==，P(Y=1)==，P(Y=2)==，P(Y=3)==，E(Y)=0×＋1×＋2×＋3×=，二者均值相同，C正确．二项分布的方差D(X)=np(1－p)=3××=；而D(Y)=2×＋2×＋2×＋2×=，二者计算结果不同，D错误．
2．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率为，则a=( BD )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 由题意知，=，整理得a2－10a＋16=0，解得a=2或8．
3．(苏教选必二P133练习6改编)生态学家为估计某地区动物总数，先捕捉m=40只动物做标记后放回，一段时间后再捕捉n=80只，发现其中有标记的动物p=8只，利用上述试验方法估计该地区动物总数为 400 只．
【解析】 方法一：设该地区动物总数为N，把第二次捕捉看作抽样，其中有标记动物数X服从超几何分布H(n，m，N)(n=80是第二次捕捉数，m=40是标记数，N是总数)．又超几何分布的期望E(X)=(这里M=m)，即E(X)=．由于实际捕捉中，有标记动物数为p=8，期望可通过试验结果估计，即=p．将m=40，n=80，p=8代入N=，可得N==400(只)．
方法二：设该地区动物总数为N，则由=，解得N=400．
4．如果X~B，那么P(X=k)取得最大值时，k= 10 ．
【解析】 因为X~B，所以P(X=k)=·＝·，由组合数的性质可知，当k=10时，最大，此时P(X=k)取得最大值．
强技提能
二项分布中的最值问题
例1－1 (2025·宜春二模节选)为提升服务品质，某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，针对4个基本滑雪动作(站姿、滑行、转弯、刹车)进行指导．根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立．若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门．
(1) 求初学者滑雪入门的概率；
【解答】 设事件Ai(i=1，2，3，4)分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，记滑雪初学者滑雪入门为事件B，所以P(B)=P(A1A2A3A4)＋P(A2A3A4)＋P(A1A3A4)＋P(A1A2A4)＋P(A1A2A3)=×××＋×××＋×××＋×××＋×××=．
(2) 现有一旅行团到该冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令X为滑雪入门的人数，求E(X)，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大．
【解答】 因为初学者是相互独立的，随机变量X为滑雪入门的人数，则X~B，可得P(X=r)=r30－rk(r=0，1，2，…，30)，E(X)=30×=．设有k人滑雪入门的概率最大，则解得≤k≤，因为k∈N*，所以k=9，即这30人中9人滑雪入门的概率最大．
对于X~B(n，p)，当p给定时，可以得到函数f(k)=pk(1－p)n－k，k=0，1，2，…，n，这是数列最值问题．
==1＋．
当k＜(n＋1)p时，f(k)＞f(k－1)，f(k)随k值的增加而增加；当k＞(n＋1)p时，f(k)＜f(k－1)，f(k)随k值的增加而减少．若(n＋1)p为正整数，则当k=(n＋1)p时，f(k)=f(k－1)，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，而k取(n＋1)p的整数部分，则f(k)是唯一的最大值．
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大．
变式1 (2025·枣庄期末)某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线——故宫探游”研学活动．游览规划：第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续线路①或线路②游览，最终在御花园集合，活动结束．已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立．
(1) 求甲同学在第二阶段选择路线①的概率；
【解答】 设Ai=“甲同学在第一阶段选择路线”，i=1，2，B=“甲同学在第二阶段选择路线①”，则P(A1)=P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×＋×=．
(2) 记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一、二阶段都选路线①的人数为X，求X的数学期望、方差；
【解答】 记C=“某位同学第一、第二两阶段都选择路线①”，则P(C)=×=，因为路线选择是相互独立的，所以X服从二项分布B，所以数学期望E(X)=np=4×=，方差D(X)=np(1－p)=4××=．
(3) 记班级内在第一、二阶段都选择路线①的人数为r的概率为f(r)，则r为何值时，f(r)取最大值？
【解答】 r的可能取值为0，1，2，…，30，此时r~B，所以f(r)=r·30－r，令
故
解得≤r≤，又r∈N*，所以当r=10时，f(r)取最大值．
例1－2 (2025徐州调研)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得－300分．设每次击鼓出现音乐的概率为p，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1) 若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
【解答】 由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)= p(1－p)2=3p3－6p2＋3p，f′(p)=3(3p－1)·(p－1)．由f′(p)=0，得p=或p=1(舍去)，当p∈时，f′(p)＞0；当p∈时，f′(p)＜0，所以f(p)在上单调递增，在上单调递减，所以当p=时，f(p)取最大值，即f(p)的最大值点p0=．
(2) 以(1)中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X)；
【解答】 由(1)可知，p=p0=，则每盘游戏出现音乐的概率为p1=1－3=．由题可知X~B，所以E(X)=3×=．
(3) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
【解答】 由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能取值为－300，50，100，150，所以P(ξ=－300)=(1－p)3，P(ξ=50)=p(1－p)2，P(ξ=100)=p2(1－p)，P(ξ=150)=p3，所以E(ξ)=－300(1－p)3＋50p(1－p)2＋100p2(1－p)＋150p3=300．令g(p)=p3－3p2＋p－1，则g′(p)=3p2－6p＋=3(p－1)2＋＞0，所以g(p)在上单调递增，所以g(p)＜g=－＜0，即有E(ξ)＜0，这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
对于f(p)=pk(1－p)n－k(n，k为常数)，f′(p)=pk－1(1－p)n－k－1(k－np)．
(1) 当k=0时，f′(p)＜0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递减，f(p)无最值．
(2) 当k=n时，f′(p)＞0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递增，f(p)无最值．
(3) 当k=1，2，…，n－1时，由于当p＜时，f′(p)＞0，f(p)单调递增；当p＞时，f′(p)＜0，f(p)单调递减，故当p=时，f(p)取得最大值，f(p)max=f．又当p→0时，f(p)→0，当p→1时，f(p)→0，从而f(p)无最小值．
超几何分布中的最值问题
例2 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1) 若N=5 000，求X的数学期望；
【解答】 依题意，X服从超几何分布，且N=5 000，M=200，n=500，故E(X)=n×=500×=20．
(2) 已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)．
【解答】 当N＜685时，P(X=15)=0，当N≥685时，P(X=15)=，记a(N)=，则=== =．由N2－698N＋499×199＞N2－683N－684，可得N＜≈6 665.7，则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)＞a(N)；当N≥6 666时，a(N＋1)＜a(N)，故当N=6 666时，a(N)最大，所以N的估计值为6 666．
超几何分布的概率最值 将从次品数为a的(a＋b)件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点，总数为，其中次品出现k次的可能为，令N=a＋b，则其概率为hk(N)=，=．令=λ，则当an＞kN时，λ＞1；当an＜kN时，λ＜1，即当N＜时，hk(N)是关于N的增函数；当N＞时，hk(N)是关于N的减函数，所以当N=时，hk(N)达到最大值．
变式2 有一个包含1 000个个体的总体，其中具有某特定属性的个体数量记为M(2≤M≤992，且M是正整数)．从这个总体里不放回地抽取10个个体，把抽取到具有该特定属性个体的数量设为随机变量X．现在定义“抽取2个具有该特定属性个体”这件事的概率为P，当P最大时，X的数学期望E(X)=( C )
A．1.98 B．1.99
C．2.00 D．2.01
【解析】 由题知，P(X=2)=，不妨设某特定属性的个体数量为M时P最大，则有即
整理得解得199.2≤M≤200.2，而M∈N*，则M=200，所以E(X)===2.00．
配套热练
1．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1) 求一个问题能被软件正确应答的概率；
【解答】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由题意可知P()=0.1，P(B|A)=0.8，P(B|)=0.3，则P(A)=1－P()=0.9，所以P(B)=P(B|)·P()＋P(B|A)P(A)=0.3×0.1＋0.8×0.9=0.75．
(2) 在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X=k(k=0，1，…，n)的概率记为P(X=k)，则n为何值时，P(X=6)的值最大？
【解答】 由(1)可知，P(B)=0.75=，则X~B，可得P(X=6)=6n－66=，令an=6n－66，则==，令＞1，解得n＜7，可知当n≤6时，an＋1＞an；令＜1，解得n＞7，可知当n≥8时，an＋1＜an；令=1，解得n=7，可得a8=a7，所以当n=7或n=8时，an最大，即n为7或8时，P(X=6)的值最大．
2．(2025·抚顺二模节选)“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”．某科技公司采购了一批共计n台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为p．
(1) 若n=3，p=0.2，记X为一次计算中正常运行的计算机数量，求X的分布列和数学期望；
【解答】由题意可知，X～B，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的数学期望为E(X)=3×=．
(2) 若n=24，p=0.16，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少．
【解答】 设由24台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为Y，则Y~B，且P(Y=k)= ·k·24－k(k=0，1，2，…，24)，由得其中1≤k≤23，k∈N，即解得20≤k≤21，所以同时正常运行的计算机数最有可能是20台或21台．
3．(2025·邯郸一模)某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰．已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为p．假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响．
(1) 已知p=．
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率．
【解答】①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为P＝＝．
②甲同学答对1题的情况如下：第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为P1＝＝；第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为P2＝＝，所以甲同学答对1道题的概率为P1＋P2＝＝．
(2) 记甲同学的答题个数为X，求E(X)的最大值．
【解答】由题意，X＝4，6，7，8，且P(X＝4)＝＝4p3(1－p)＋p4，P(X＝6)＝p2(1－p)2＝6p2(1－p)2，P(X＝7)＝p1(1－p)3＝4p(1－p)3，P(X＝8)＝p0(1－p)4＝(1－p)4，所以E(X)＝4[4p3(1－p)＋p4]＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝16p3－12p4＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝4p4－4p3－4p＋8，又≤p＜1，令f(p)＝4p4－4p3－4p＋8，则f′(p)＝4(4p3－3p2－1)，令g(p)＝4p3－3p2－1，则g′(p)＝6p(2p－1)，当≤p＜时，g′(p)＜0，即g(p)在上单调递减；当＜p＜1时，g′(p)＞0，即g(p)在上单调递增，又g＝－＜0，g(1)＝0，则在上g(p)＜0，所以在上f′(p)＜0恒成立，即f(p)在上单调递减，所以f(p)max＝f＝，故E(X)的最大值为．
4．(2025·鹰潭二模)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品安全监督管理部门和卫生行政部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1) 设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望．
【解答】 X的可能取值为2，3，4，则P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==，则X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×＋3×＋4×=．
(2) 为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品安全监督管理部门或卫生行政部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数．
(附：极大似然估计(MLE)即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当X=k时，概率P(X=k)取得最大值，则X的估计值为k)
【解答】 设食品安全监督管理部门邀请的代表记为集合A，卫生行政部门邀请的代表记为集合B，则收到两个部门邀请的代表的集合为A B．设参加会议的群众代表的人数为Y，则Y=Card(A B)．设Card(A B)=k，则Card(A B)=40－k，P(Y=k)==，P(Y=k＋1)=，==，同理，==，令得≤1≤，即≤1≤，解得35≤k≤36，又k∈Z，所以k=36，故由极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数为36．
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