6 比赛与闯关问题中的常见赛制研究
基础打底
1．(2025·济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( )
A． B．
C． D．
2．为弘扬航天精神，某大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得的奖品总额为X元，则X的数学期望为( )
A．300元 B． 元
C．350元 D． 元
3．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则此人为冠军，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则比赛进行四局结束的概率为 ．
4．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ．
强技提能
2n－1局n胜制
例1 (2025·辽宁省三模)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为p(0＜p＜1)．从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为p2，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为1－p．
(1) 当p=时，求甲第二局获胜的概率．
(2) 若甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．
①求p；
②记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与数学期望．
解决“2n－1局n胜制”问题的关键是区分“提前终结”与“打满局数”场景，组合数学结合概率公式精准计算．一般需要考虑以下问题：
1．胜负判定：比赛在n胜时结束，最多打满2n－1局(若前n局已决胜负则提前终止)．
2．关键概率：连胜速胜(如n局连胜，概率为pn或qn)；拉锯决胜(打满2n－1局，前2n－2局n－1胜，最后一局定胜负，概率为pnqn－1)．
3．期望局数：结合速胜与拉锯情况，用分布列计算期望(可递推或组合公式)．
变式1 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会，学校设置项目一“毛毛虫旱地龙舟”和项目二“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛，每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目一中甲班每一局获胜的概率为，在项目二中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1) 求甲班在项目一中获胜的概率；
(2) 设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
连胜制
例2 (2025·南宁三模节选)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
(1) 若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2) 已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率．
解决连胜制问题，核心抓两点：
1．拆解连胜路径：把“连胜结束比赛”的过程拆成不同局数的连胜组合(如2局连胜、3局连胜等)，明确每类组合的胜负排列，用独立事件概率乘法算单一路径概率，再用互斥事件加法汇总．
2．状态转移建模：对持续赛况，定义“当前擂主＋连胜次数”的状态(如甲擂主无连胜、甲擂主1次连胜等)，分析每局胜负后状态如何转移(胜则延续、升级连胜，败则换擂主、重置连胜)，通过递推方程联立求解，把连胜规则转化为可计算的概率模型．
变式2 (2025·安庆期末)某次比赛中，甲、乙两人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
(1) 若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲、乙获胜的概率均为．求甲、乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望E(X)．
(2) 若每局比赛甲获胜的概率为p=0.6，乙获胜的概率为1－p．已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值(X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得P(X=13)最大的n的值作为n的估计值)．
(3) 若每局比赛甲获胜的概率为p=0.6，规定在2n－1场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为pn，试说明pn的单调性并给出证明．
淘汰制
例3 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0＜p＜1)，且不同对阵的结果相互独立．
(1) 若p=0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．
(2) 依据p的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
解决淘汰制概率问题，核心抓三点：
1．吃透规则：明确单败、双败淘汰制的赛制流程，像单败是两两淘汰，双败有“胜区”“败区”不同晋级路径；
2．树形图分类：用树形图梳理所有可能的比赛进程，按胜负分支，清晰呈现不同轮次、对阵及结果，方便分类计算概率；
3．概率运算：基于树形图的分类，结合独立事件(对决结果独立)，用乘法算连续事件概率，加法算互斥路径概率，对比不同赛制结果．
比分差
例4 (2025·安庆三模)已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜m局．
(2) 如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜i(i=－3，－2，－1，0，1，2，3)局．设甲在净胜i局时，继续比赛甲获胜的概率为Pi，比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为Xi，期望为E(Xi)．
①求甲获胜的概率P0；
②求E(X0)．
解决比分差获胜问题的核心要领是：
1．状态建模：将比分差(如净胜局/分)设为状态，清晰界定“当前状态→赢/输球后新状态”的转移规则：
2．递推求解：基于状态转移，用“当前状态获胜概率=赢球后新状态概率×赢球概率＋输球后新状态概率×输球概率”建立递推关系，结合边界条件(如“已获胜”状态概率为1)解方程得结果．
轮空制
例5 (2025·郴州期中)甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为．
(1) 求甲连续打四局比赛的概率；
(2) 求在前四局中甲轮空两局的概率；
(3) 求第四局甲轮空的概率．
解决轮空制比赛问题的要领是：一是紧扣“胜者与轮空者对打、负者轮空”规则；二是用枚举法列出符合条件的赛况流转；三是结合概率公式(独立、互斥事件)计算结果．
主客场胜率问题
例6 甲、乙两支足球队进入某杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
(1) 若甲队先主场后客场，且p=．
①求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
②求甲队获得冠军的概率．
(2) 除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
解决主客场竞赛概率问题，关键抓“赛制驱动概率分层”，提炼核心两步：
1．解构赛制框架：锁定主客场“多轮次(主/客场)＋结果分支(胜/平/负)＋特殊续战(点球等)”的结构，明确“基础赛果→晋级判定→附加决胜”的递进规则，精准定义“夺冠”“单轮赢/平/输”“附加赛胜”等事件，理清概率计算的场景边界．
2．分层概率运算：单路径独立乘：主客场各轮次结果相互独立，用乘法公式算单条夺冠路径概率；多路径互斥加：夺冠有多种赛果组合，这些组合互斥，用加法公式整合所有路径概率，覆盖全部夺冠可能．
配套热练——练习1
1．(2025·新余一模)某次乒乓球比赛中，甲、乙对阵，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲以4∶2获胜的概率为( )
A． B．
C． D．
2．(2025·潍坊3月模拟)某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
3．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
4．(多选)甲、乙两人连续玩一种胜负游戏，首先连胜两局者游戏胜出，每局比赛结果相互独立，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．结合“恰好第n局甲胜出的概率”(记为Pn)和“第n局(含第n局)前甲胜出的概率”(记为Qn)相关推导，判断下列概率计算正确的是( )
A．n=2时，P2=2 B．n=3时，P3=×2
C．n=2时，Q2=P2=2 D．n=4时，P4=2
5．(2020·全国Ⅰ卷改编)(多选)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．则下列说法正确的有( )
A．甲连胜四场的概率为 B．需要进行第五场比赛的概率为
C．丙最终获胜的概率为 D．乙最终获胜的概率为
6．(2025·深圳一调)甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，输的概率为1－p，每局比赛的结果相互独立．
(1) 当p=时，求甲最终获胜的概率．
(2) 为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得－2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
7．(2025·南京盐城一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n∈N*，n≥2)关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功时，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为p(0＜p＜1)，乙每一关挑战成功的概率均为q(0＜q＜1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
(1) 已知甲先上场，p=，q=，n=2，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E(X)．
(2) 如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．
8．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
(1) 若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛的胜利且甲获胜”为B，试证明：P(A)=P(B)．
(2) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p＞0.5)，没有平局．若采用“赛满2n－1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n)．若采用“赛满2n＋1局，胜方至少取得n＋1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n＋1)，试比较P(n)与P(n＋1)的大小．
配套热练——练习2
1．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10∶10平后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为( )
A． B．
C． D．
2．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现A，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若A，B一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是( )
A． B．
C． D．
3．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 ．
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10∶10时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了10∶10，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率P(n)= ．
5．甲、乙、丙三人下围棋，已知甲胜乙、丙两人的胜率均为，乙胜丙的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空．以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者．
(1) 若第一场比赛甲轮空，则需要进行第四场比赛的概率为 ．
(2) 最终甲获胜的概率为 ．
6．有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．
(1) 求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2) 用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．
7．某场乒乓球，对阵双方为甲、乙，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
(1) 甲首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时乙连续发球2次，然后甲连续发球2次．根据以往比赛结果统计，甲发球时他自己得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，求该局比赛甲以9∶11落败的概率．
(2) 在本场比赛中，乙先以2∶0领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．
8．足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．甲足球队将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛．根据前期比赛成绩，甲队主场与A队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
(1) 求甲队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；
(2) 用X表示甲队与A队和B队比赛获得积分之和，求X的分布列与数学期望．
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专题四
6 比赛与闯关问题中的常见赛制研究
统计与概率
基础打底
【解析】
C
【解析】
【答案】 B
【解析】
4．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
【解析】
0.18
强技提能
赛制
1
2n－1局n胜制
1
【解答】
1
【解答】
X 2 3
P
【解答】
【解答】
X 0 1 2
P
赛制
2
连胜制
(2025·南宁三模节选)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
(1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
2
【解答】
甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：
甲连胜两局，概率为0.6×0.6＝0.36，乙连胜两局，概率为0.4×0.6＝0.24；
甲胜第一局乙连胜后两局，概率为0.6×0.4×0.6＝0.144；
乙胜第一局甲连胜后两局，概率为0.4×0.4×0.6＝0.096．
设事件A为比赛在前三局内结束，则P(A)＝0.36＋0.24＋0.144＋0.096＝0.84．故比赛在前三局内结束的概率为0.84．
(2025·南宁三模节选)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
(2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率．
2
【解答】
解决连胜制问题，核心抓两点：
1．拆解连胜路径：把“连胜结束比赛”的过程拆成不同局数的连胜组合(如2局连胜、3局连胜等)，明确每类组合的胜负排列，用独立事件概率乘法算单一路径概率，再用互斥事件加法汇总．
2．状态转移建模：对持续赛况，定义“当前擂主＋连胜次数”的状态(如甲擂主无连胜、甲擂主1次连胜等)，分析每局胜负后状态如何转移(胜则延续、升级连胜，败则换擂主、重置连胜)，通过递推方程联立求解，把连胜规则转化为可计算的概率模型．
【解答】
X 2 3 4 5
P
变式2 (2025·安庆期末)某次比赛中，甲、乙两人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
(2)若每局比赛甲获胜的概率为p＝0.6，乙获胜的概率为1－p．已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值(X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得P(X＝13)最大的n的值作为n的估计值)．
【解答】
变式2 (2025·安庆期末)某次比赛中，甲、乙两人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
(3) 若每局比赛甲获胜的概率为p＝0.6，规定在2n－1场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为pn，试说明pn的单调性并给出证明．
【解答】
赛制
3
淘汰制
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0＜p＜1)，且不同对阵的结果相互独立．
(1) 若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．
3
【解答】
记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4．
X＝2：甲连负两局得第四名，P(X＝2)＝(1－0.6)2＝0.16．
X＝3：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名，P(X＝3)＝0.62＋(1－0.6)×0.6×(1－0.6)＋0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.552．
X＝4：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛，P(X＝4)＝0.6×(1－0.6)×0.6＋(1－0.6)×0.6×0.6＝0.288．
故X的分布列为
所以E(X)＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128．
X 2 3 4
P 0.16 0.552 0.288
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0＜p＜1)，且不同对阵的结果相互独立．
(2) 依据p的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
3
【解答】
解决淘汰制概率问题，核心抓三点：
1．吃透规则：明确单败、双败淘汰制的赛制流程，像单败是两两淘汰，双败有“胜区”“败区”不同晋级路径；
2．树形图分类：用树形图梳理所有可能的比赛进程，按胜负分支，清晰呈现不同轮次、对阵及结果，方便分类计算概率；
3．概率运算：基于树形图的分类，结合独立事件(对决结果独立)，用乘法算连续事件概率，加法算互斥路径概率，对比不同赛制结果．
赛制
4
比分差
4
【解答】
4
【解答】
解决比分差获胜问题的核心要领是：
1．状态建模：将比分差(如净胜局/分)设为状态，清晰界定“当前状态→赢/输球后新状态”的转移规则：
2．递推求解：基于状态转移，用“当前状态获胜概率＝赢球后新状态概率×赢球概率＋输球后新状态概率×输球概率”建立递推关系，结合边界条件(如“已获胜”状态概率为1)解方程得结果．
赛制
5
轮空制
5
【解答】
5
【解答】
5
【解答】
解决轮空制比赛问题的要领是：一是紧扣“胜者与轮空者对打、负者轮空”规则；二是用枚举法列出符合条件的赛况流转；三是结合概率公式(独立、互斥事件)计算结果．
赛制
6
主客场胜率问题
6
【解答】
6
【解答】
解决主客场竞赛概率问题，关键抓“赛制驱动概率分层”，提炼核心两步：
1．解构赛制框架：锁定主客场“多轮次(主/客场)＋结果分支(胜/平/负)＋特殊续战(点球等)”的结构，明确“基础赛果→晋级判定→附加决胜”的递进规则，精准定义“夺冠”“单轮赢/平/输”“附加赛胜”等事件，理清概率计算的场景边界．
2．分层概率运算：单路径独立乘：主客场各轮次结果相互独立，用乘法公式算单条夺冠路径概率；多路径互斥加：夺冠有多种赛果组合，这些组合互斥，用加法公式整合所有路径概率，覆盖全部夺冠可能．
热练
【解析】
B
【解析】
D
3．(2022 全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则 ( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解析】
则p甲－p乙＝p1(p2＋p3)－2p1p2p3－［p2(p1＋p3)－2p1p2p3］＝(p1－p2)p3＜0，
p乙－p丙＝p2(p1＋p3)－2p1p2p3－［p3(p1＋p2)－2p1p2p3］＝(p2－p3)p1＜0，
即p甲＜p乙，p乙＜p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，D判断正确；B，C判断错误；p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关，A判断错误．
方法二：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D正确．
【答案】D
【解析】
【答案】ABC
【解析】
【答案】BD
【解答】
6．(2025 深圳一调)甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，输的概率为1－p，每局比赛的结果相互独立．
(2) 为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得－2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【解答】
由(1)可知P(C)＝P(A)＋P(B)＝3p2－2p3．
若选用方案一，记甲最终获得积分为X，则X的可能取值为3，－2，
P(X＝3)＝P(C)＝3p2－2p3，P(X＝－2)＝1－3p2＋2p3，
则X的分布列为
X 3 －2
P 3p2－2p3 1－3p2＋2p3
则E(X)＝9p2－6p3－2＋6p2－4p3＝－10p3＋15p2－2．
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y，则Y的可能取值为1，0，
P(Y＝1)＝P(C)＝3p2－2p3，P(Y＝0)＝1－3p2＋2p3，
则Y的分布列为
Y 1 0
P 3p2－2p3 1－3p2＋2p3
【解答】
7．(2025 南京盐城一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n∈N*，n≥2)关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功时，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为p(0＜p＜1)，乙每一关挑战成功的概率均为q(0＜q＜1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
(2) 如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．
【解答】
设甲先上场比赛挑战成功的概率为P1，乙先上场比赛挑战成功的概率为P2，
则P1＝pn＋pn－1(1－p)q＋pn－2(1－p)q2＋…＋(1－p)qn＝(pn＋pn－1q＋pn－2q2＋…＋qn)－(pnq＋pn－1q2＋pn－2q3＋…＋pqn)；
P2＝qn＋qn－1(1－q)p＋qn－2(1－q)p2＋…＋(1－q)pn＝(qn＋qn－1p＋qn－2p2＋…＋pn)－(qnp＋qn－1p2＋qn－2p3＋…＋qpn)．
由pn＋pn－1q＋pn－2q2＋…＋qn＝qn＋qn－1p＋qn－2p2＋…＋pn，pnq＋pn－1q2＋pn－2q3＋…＋pqn＝qnp＋qn－1p2＋qn－2p3＋…＋qpn，可得P1＝P2．
因此，甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率相同．
8．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
(1) 若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛的胜利且甲获胜”为B，试证明：P(A)＝P(B)．
【解答】
8．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
(2) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p＞0.5)，没有平局．若采用“赛满2n－1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n)．若采用“赛满2n＋1局，胜方至少取得n＋1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n＋1)，试比较P(n)与P(n＋1)的大小．
【解答】
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】B
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
X 0 1 2 3
P
7．某场乒乓球，对阵双方为甲、乙，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
(1) 甲首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时乙连续发球2次，然后甲连续发球2次．根据以往比赛结果统计，甲发球时他自己得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，求该局比赛甲以9∶11落败的概率．
【解答】
在8∶8后乙先发球的情况下，甲以9∶11落败的情况分三种．
第一种：后四球甲依次为胜败败败，概率为P1＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04；
第二种：后四球甲依次为败胜败败，概率为P2＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04；
第三种：后四球甲依次为败败胜败，概率为P3＝0.5×0.5×0.6×0.4＝0.06，
所以所求事件的概率为P1＋P2＋P3＝0.14．
【解答】
X 2 3 4 5
P
【解答】
【解答】
X 0 1 2 3 4 6
P6 比赛与闯关问题中的常见赛制研究
基础打底
1．(2025·济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，则P(A)=0.7×0.7＋2×0.7×0.3×0.7=0.784，P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294，所以P(B|A)===．
2．为弘扬航天精神，某大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得的奖品总额为X元，则X的数学期望为( B )
A．300元 B． 元
C．350元 D． 元
【解析】 由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，P(X=150)=××=，P(X=250)=××＋2×××=，P(X=350)=2×××＋××=，P(X=450)=××=，所以数学期望E(X)=150×＋250×＋350×＋450×=(元)．
3．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则此人为冠军，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则比赛进行四局结束的概率为 ．
【解析】 比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜．第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率P1=×××=，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2=×××=，故比赛进行四局结束的概率P=P1＋P2=＋=．
4．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 0.18 ．
【解析】 甲队要以4∶1获胜，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场、2个客场，于是分两种情况：主场输一场或客场输一场，故甲队以4∶1获胜的概率为×0.6×0.4×0.52×0.6＋0.62××0.5×0.5×0.6=0.18．
强技提能
2n－1局n胜制
例1 (2025·辽宁省三模)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为p(0＜p＜1)．从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为p2，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为1－p．
(1) 当p=时，求甲第二局获胜的概率．
【解答】 设Ai=“甲第i局获胜”，其中i=1，2，3，依题意得P(A1)=p，当p=时，由全概率公式得P(A2)=P(A1A2)＋P(A2)=P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|) =p·p2＋(1－p)2=3＋2=，所以当p=时，甲第二局获胜的概率为．
(2) 若甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．
①求p；
②记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【解答】 ①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为(1－p)2，依题意得(1－p)2=，解得p=．
②X的可能取值为2，3，P(X=2)=P(A1A2)＋P()=p·p2＋(1－p)p=3＋×=，P(X=3)=P(A1A3)＋P(A2A3)＋P(A1)＋P(A2)=p(1－p2)(1－p)＋(1－p)(1－p)p2＋p(1－p2)p＋(1－p)(1－p)(1－p2)=1－p3＋p2－p=1－3＋2－=，所以X的分布列为
X 2 3
P
所以E(X)=2×＋3×=．
解决“2n－1局n胜制”问题的关键是区分“提前终结”与“打满局数”场景，组合数学结合概率公式精准计算．一般需要考虑以下问题：
1．胜负判定：比赛在n胜时结束，最多打满2n－1局(若前n局已决胜负则提前终止)．
2．关键概率：连胜速胜(如n局连胜，概率为pn或qn)；拉锯决胜(打满2n－1局，前2n－2局n－1胜，最后一局定胜负，概率为pnqn－1)．
3．期望局数：结合速胜与拉锯情况，用分布列计算期望(可递推或组合公式)．
变式1 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会，学校设置项目一“毛毛虫旱地龙舟”和项目二“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛，每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目一中甲班每一局获胜的概率为，在项目二中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1) 求甲班在项目一中获胜的概率；
【解答】 记事件A=“甲班在项目一中获胜”，则P(A)＝＝，所以甲班在项目一中获胜的概率为．
(2) 设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解答】 记事件B=“甲班在项目二中获胜”，则P(B)＝＝．X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=P()=P()P()=×=，P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=×=，P(X=1)=1－P(X=0)－P(X=2)=，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×＋1×＋2×=，所以甲班获胜的项目个数的数学期望为．
连胜制
例2 (2025·南宁三模节选)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
(1) 若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
【解答】 甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为0.6×0.6=0.36，乙连胜两局，概率为0.4×0.6=0.24；甲胜第一局乙连胜后两局，概率为0.6×0.4×0.6=0.144；乙胜第一局甲连胜后两局，概率为0.4×0.4×0.6=0.096．设事件A为比赛在前三局内结束，则P(A)=0.36＋0.24＋0.144＋0.096=0.84．故比赛在前三局内结束的概率为0.84．
(2) 已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率．
【解答】 设事件B为比赛在第四局结束，事件C为甲最终获胜，事件D为乙最终获胜，则比赛在第四局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，故P(BC)=0.6×0.4×0.4×0.6=0.057 6．比赛在第四局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为P(BD)=0.4×0.4×0.4×0.6=0.038 4，故P(B)=P(BC)＋P(BD)=0.057 6＋0.038 4=0.096．故比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为P(C|B)===0.6．
解决连胜制问题，核心抓两点：
1．拆解连胜路径：把“连胜结束比赛”的过程拆成不同局数的连胜组合(如2局连胜、3局连胜等)，明确每类组合的胜负排列，用独立事件概率乘法算单一路径概率，再用互斥事件加法汇总．
2．状态转移建模：对持续赛况，定义“当前擂主＋连胜次数”的状态(如甲擂主无连胜、甲擂主1次连胜等)，分析每局胜负后状态如何转移(胜则延续、升级连胜，败则换擂主、重置连胜)，通过递推方程联立求解，把连胜规则转化为可计算的概率模型．
变式2 (2025·安庆期末)某次比赛中，甲、乙两人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
(1) 若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲、乙获胜的概率均为．求甲、乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望E(X)．
【解答】 由比赛规则可知，1局比赛后，甲、乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛局数不会超过5．由比赛规则可知，若比赛共进行了n(2≤n≤5)局，记随机事件Ai=“第i局比赛中甲获胜，i∈{1，2，3，4，5}”，P(X=2)=P(A1A2)＋P( )=2＋2=，P(X=3)=P(A2A3)＋P(A1)=3＋3=，P(X=4)=P(A1A3A4)＋P(A2 )=4＋4=，P(X=5)=1－P(X=2)－P(X=3)－P(X=4)=1－－－=．于是X的分布列为
X 2 3 4 5
P
故E(X)=2×＋3×＋4×＋5×=．
(2) 若每局比赛甲获胜的概率为p=0.6，乙获胜的概率为1－p．已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值(X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得P(X=13)最大的n的值作为n的估计值)．
【解答】 易得n≥13，X~B(n，p)，P(X=13)=p13(1－p)n－13，记f(n)=p13(1－p)n－13，则===×，由=×＞1，得n＜，即13≤n≤20，f(n)＜f(n＋1)；当n≥21时，f(n)＞f(n＋1)，故n=21时，P(X=13)最大，所以n的估计值为21．
(3) 若每局比赛甲获胜的概率为p=0.6，规定在2n－1场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为pn，试说明pn的单调性并给出证明．
【解答】在2n－1场比赛中甲获胜的概率为pn，则在2n＋1场比赛中甲获胜的概率为pn＋1，记乙在每场比赛中获胜的概率为q＝1－p，则pn＋1＝2pqpn＋p2＋q2＝pn＋pnqn(p－q)，由已知p＞q，所以pn单调递增．
淘汰制
例3 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0＜p＜1)，且不同对阵的结果相互独立．
(1) 若p=0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．
【解答】 记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4．X=2：甲连负两局得第四名，P(X=2)=(1－0.6)2= 0.16．X=3：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名，P(X=3)=0.62＋(1－0.6)×0.6×(1－0.6)＋0.6×(1－0.6)×(1－0.6)=0.552．X=4：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛，P(X=4)=0.6×(1－0.6)×0.6＋(1－0.6)×0.6×0.6=0.288．故X的分布列为
X 2 3 4
P 0.16 0.552 0.288
所以E(X)=2×0.16＋3×0.552＋4×0.288=3.128．
(2) 依据p的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
【解答】 在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率P1=p3＋p(1－p)p2＋(1－p)p3=(3－2p)p3；在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率P2=p2．P1－P2=p2(3p－2p2－1)=p2(2p－1)(1－p)，0＜p＜1，则当＜p＜1时，P1＞P2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；当0＜p＜时，P1＜P2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；当p=时，P1=P2，两种赛制下甲夺冠的概率一样．
解决淘汰制概率问题，核心抓三点：
1．吃透规则：明确单败、双败淘汰制的赛制流程，像单败是两两淘汰，双败有“胜区”“败区”不同晋级路径；
2．树形图分类：用树形图梳理所有可能的比赛进程，按胜负分支，清晰呈现不同轮次、对阵及结果，方便分类计算概率；
3．概率运算：基于树形图的分类，结合独立事件(对决结果独立)，用乘法算连续事件概率，加法算互斥路径概率，对比不同赛制结果．
比分差
例4 (2025·安庆三模)已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜m局．
(1) 如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率．
【解答】 若4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲、乙各胜一局，并且第3，4局甲胜，概率为×××2=；若4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲、乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为×××2=，所以恰好4局结束比赛的概率为＋=．
(2) 如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜i(i=－3，－2，－1，0，1，2，3)局．设甲在净胜i局时，继续比赛甲获胜的概率为Pi，比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为Xi，期望为E(Xi)．
①求甲获胜的概率P0；
②求E(X0)．
【解答】 ①在甲净胜－2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜－1局，继续比赛获胜的概率为P－1；若甲输，则甲的状态变为净胜－3局，比赛结束，根据全概率公式，P－2=P－1，同理P－1=P0＋P－2，P0=P1＋P－1，P1=P2＋P0，P2=＋P1．由P1=P2＋P0，P2=＋P1，得P1=＋P0，与P0=P1＋P－1联立消去P1，得P0=＋P－1，又P－2=P－1，P－1=P0＋P－2，得P－1=P0，与P0=＋P－1联立消去P－1，得P0=，所以甲获胜的概率为．
②在甲净胜－2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜－1局，继续比赛至结束，还需要X－1局，共进行了X－1＋1局；若甲输，则甲的状态变为净胜－3局，比赛结束，共进行了1局，则E(X－2)=［E(X－1)＋1］＋×1，即E(X－2)=E(X－1)＋1，同理E(X－1)=［E(X0)＋1］＋［E(X－2)＋1］，即E(X－1)=E(X0)＋E(X－2)＋1，E(X0)=［E(X1)＋1］＋［E(X－1)＋1］，即E(X0)=E(X1)＋E(X－1)＋1，E(X1)=［E(X2)＋1］＋［E(X0)＋1］，即E(X1)=E(X2)＋E(X0)＋1，E(X2)=×1＋［E(X1)＋1］，即E(X2)=E(X1)＋1．联立E(X1)=E(X2)＋E(X0)＋1与E(X2)=E(X1)＋1，得E(X1)=E(X0)＋，联立E(X－2)=E(X－1)＋1与E(X－1)=E(X0)＋E(X－2)＋1，得E(X－1)=E(X0)＋，代入E(X0)=E(X1)＋E(X－1)＋1，得E(X0)=＋＋1，所以E(X0)=7．
解决比分差获胜问题的核心要领是：
1．状态建模：将比分差(如净胜局/分)设为状态，清晰界定“当前状态→赢/输球后新状态”的转移规则：
2．递推求解：基于状态转移，用“当前状态获胜概率=赢球后新状态概率×赢球概率＋输球后新状态概率×输球概率”建立递推关系，结合边界条件(如“已获胜”状态概率为1)解方程得结果．
轮空制
例5 (2025·郴州期中)甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为．
(1) 求甲连续打四局比赛的概率；
【解答】 若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率为3=．
(2) 求在前四局中甲轮空两局的概率；
【解答】 在前四局中甲轮空两局的情况为：第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率为×=．
(3) 求第四局甲轮空的概率．
【解答】 甲第四局轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空；第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空．第1种情况的概率为×=；第2种情况的概率为××=，由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为＋=．
解决轮空制比赛问题的要领是：一是紧扣“胜者与轮空者对打、负者轮空”规则；二是用枚举法列出符合条件的赛况流转；三是结合概率公式(独立、互斥事件)计算结果．
主客场胜率问题
例6 甲、乙两支足球队进入某杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
(1) 若甲队先主场后客场，且p=．
①求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
②求甲队获得冠军的概率．
【解答】 ①记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，故P(A)=·p=p2(1－p)，因为p=，所以P(A)=××=，所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
②记甲队获得冠军为事件B，事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，所以P(B)=p2(1－p)＋p·p＋p·p＋p·p=p2－p3，将p=代入得，P(B)=p2－p3=×－×=，所以甲队获得冠军的概率为．
(2) 除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
【解答】 由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C，事件C包含甲队胜、甲队平同时点球胜，所以P(C)=p2＋p·p=p2，因为0＜p＋p＜1，所以0＜p＜，此时0＜p2＋p＜，满足题意．P(B)－P(C)=p2－p3－p2=p2－p3=p2(5－6p)，因为0＜p＜，p2＞0，5－6p＞0，所以P(B)－P(C)=p2(5－6p)＞0，故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠．
解决主客场竞赛概率问题，关键抓“赛制驱动概率分层”，提炼核心两步：
1．解构赛制框架：锁定主客场“多轮次(主/客场)＋结果分支(胜/平/负)＋特殊续战(点球等)”的结构，明确“基础赛果→晋级判定→附加决胜”的递进规则，精准定义“夺冠”“单轮赢/平/输”“附加赛胜”等事件，理清概率计算的场景边界．
2．分层概率运算：单路径独立乘：主客场各轮次结果相互独立，用乘法公式算单条夺冠路径概率；多路径互斥加：夺冠有多种赛果组合，这些组合互斥，用加法公式整合所有路径概率，覆盖全部夺冠可能．
配套热练——练习1
1．(2025·新余一模)某次乒乓球比赛中，甲、乙对阵，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲以4∶2获胜的概率为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 甲以4∶2获胜，即前5局甲胜3局、负2局，第6局甲获胜，所以甲以4∶2获胜的概率P=×3×2×=．
2．(2025·潍坊3月模拟)某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是( D )
A． B．
C． D．
【解析】 设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B，则P(A)=×＋×××=，P(AB)=×＋××=，所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是P(B|A)===．
3．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则( D )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解析】 方法一：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为p甲，则p甲=［(1－p2)p1p3＋p2p1(1－p3)］＋［(1－p3)p1p2＋p3p1(1－p2)］=p1(p2＋p3)－2p1p2p3；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则p乙=(1－p1)p2p3＋p1p2(1－p3)=p2(p1＋p3)－2p1p2p3；记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，则p丙=(1－p1)p3p2＋p1p3(1－p2)=p3(p1＋p2)－2p1p2p3，则p甲－p乙=p1(p2＋p3)－2p1p2p3－［p2(p1＋p3)－2p1p2p3］=(p1－p2)p3＜0，p乙－p丙=p2(p1＋p3)－2p1p2p3－［p3(p1＋p2)－2p1p2p3］=(p2－p3)p1＜0，即p甲＜p乙，p乙＜p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，D判断正确；B，C判断错误；p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关，A判断错误．
方法二：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D正确．
4．(多选)甲、乙两人连续玩一种胜负游戏，首先连胜两局者游戏胜出，每局比赛结果相互独立，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．结合“恰好第n局甲胜出的概率”(记为Pn)和“第n局(含第n局)前甲胜出的概率”(记为Qn)相关推导，判断下列概率计算正确的是( ABC )
A．n=2时，P2=2 B．n=3时，P3=×2
C．n=2时，Q2=P2=2 D．n=4时，P4=2
【解析】 当n=2时，恰好第2局甲胜出，甲需两局连胜，概率P2=2，A正确；当n=3时，P3=××=×2，B正确；当n=2时，第2局(含第2局)前甲胜出，即恰好第2局甲胜出，Q2=P2=2，C正确；当n=4时，P4=×2=≠2，D错误．
5．(2020·全国Ⅰ卷改编)(多选)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．则下列说法正确的有( BD )
A．甲连胜四场的概率为 B．需要进行第五场比赛的概率为
C．丙最终获胜的概率为 D．乙最终获胜的概率为
【解析】 对于A，若甲连胜四场，即甲在四场比赛中都获胜，每场获胜概率为，根据独立事件概率乘法公式，甲连胜四场的概率P=4=≠，A错误．对于B，记事件A表示甲输，事件B表示乙输，事件C表示丙输，四局内结束比赛的可能赛况有：ABAB，ACAC，BCBC，BABA，每种赛况发生的概率均为4，共4种赛况，所以四局内结束比赛的概率P′=4×4=，那么需要进行第五场比赛的概率为P=1－P′=1－=，B正确．对于C，D，先求甲赢的概率，甲赢下比赛的赛况有：BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以甲最终赢下比赛的概率P(M)=4＋7×5=．由对称性，乙最终赢下比赛的概率和甲最终赢下比赛的概率相等，所以丙最终赢下比赛的概率P(N)=1－2×=≠，C错误，D正确．
6．(2025·深圳一调)甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，输的概率为1－p，每局比赛的结果相互独立．
(1) 当p=时，求甲最终获胜的概率．
【解答】 记“甲最终以2∶1获胜”为事件A，“甲最终以2∶0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，于是C=A B，A与B为互斥事件．由于P(A)=·p·(1－p)·p=2p2(1－p)=，P(B)=p2=，则P(C)=P(A)＋P(B)=，即甲最终获胜的概率为．
(2) 为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得－2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【解答】 由(1)可知P(C)=P(A)＋P(B)=3p2－2p3．
若选用方案一，记甲最终获得积分为X，则X的可能取值为3，－2，P(X=3)=P(C)=3p2－2p3，P(X=－2)=1－3p2＋2p3，则X的分布列为
X 3 －2
P 3p2－2p3 1－3p2＋2p3
则E(X)=9p2－6p3－2＋6p2－4p3=－10p3＋15p2－2．
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y，则Y的可能取值为1，0，
P(Y=1)=P(C)=3p2－2p3，P(Y=0)=1－3p2＋2p3，则Y的分布列为
Y 1 0
P 3p2－2p3 1－3p2＋2p3
则E(Y)=3p2－2p3．
所以E(X)－E(Y)=－8p3＋12p2－2=－4(2p2－2p－1)，由于0＜p＜1，则2p2－2p－1=2p(p－1)－1＜0
．于是当p=时，两种方案都可以选；当0＜p＜时，E(X)＜E(Y)，应该选方案二；当＜p＜1时，E(X)＞E(Y)，应该选方案一．
7．(2025·南京盐城一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n∈N*，n≥2)关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功时，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为p(0＜p＜1)，乙每一关挑战成功的概率均为q(0＜q＜1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
(1) 已知甲先上场，p=，q=，n=2，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E(X)．
【解答】 ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，则P=(1－p)(1－q)=．
②依题可知，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=，P(X=1)=p(1－p)(1－q)＋(1－p)q(1－q)=××＋××=，P(X=2)=1－－=，所以E(X)=0×＋1×＋2×=．
(2) 如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．
【解答】 设甲先上场比赛挑战成功的概率为P1，乙先上场比赛挑战成功的概率为P2，则P1=pn＋pn－1(1－p)q＋pn－2(1－p)q2＋…＋(1－p)qn=(pn＋pn－1q＋pn－2q2＋…＋qn)－(pnq＋pn－1q2＋pn－2q3＋…＋pqn)；P2=qn＋qn－1(1－q)p＋qn－2(1－q)p2＋…＋(1－q)pn=(qn＋qn－1p＋qn－2p2＋…＋pn)－(qnp＋qn－1p2＋qn－2p3＋…＋qpn)．由pn＋pn－1q＋pn－2q2＋…＋qn=qn＋qn－1p＋qn－2p2＋…＋pn，pnq＋pn－1q2＋pn－2q3＋…＋pqn=qnp＋qn－1p2＋qn－2p3＋…＋qpn，可得P1=P2．因此，甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率相同．
8．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
(1) 若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛的胜利且甲获胜”为B，试证明：P(A)=P(B)．
【解答】由题意，P(A)＝p2·(1－p)2＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2＝6p5－15p4＋10p3，P(B)＝p5(1－p)0＝10p3(1－p)2＋5p4(1－p)＋p5＝10p5－20p4＋10p3＋5p4－5p5＋p5＝6p5－15p4＋10p3．综上，P(A)＝P(B)，得证．
(2) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p＞0.5)，没有平局．若采用“赛满2n－1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n)．若采用“赛满2n＋1局，胜方至少取得n＋1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n＋1)，试比较P(n)与P(n＋1)的大小．
【解答】 考虑赛满2n＋1局的情况，以赛完2n－1局为第一阶段，第二阶段为最后2局．设“赛满2n＋1局甲获胜”为事件C，结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为A1；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n－1局，记为A2，则C=A1C＋A2C，得P(C)=P(A1C)＋P(A2C)．若第一阶段甲获胜，即赛满2n－1局甲至少胜n局，有甲至少胜n＋1局和甲恰好胜n局两种情况．甲至少胜n＋1局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；甲恰好胜n局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为pn(1－p)n－1(1－p)2，所以P(A1C)=P(n)－pn(1－p)n－1(1－p) 2．若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n－1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=pn－1(1－p)np2，所以P(n＋1)＝P(C)＝pn－1(1－p)np2，则P(n＋1)－P(n)＝pn(1－p)n－1(1－p)2＝pn(1－p)n+1＝pn(1－p)n[p－(1－p)]＝pn(1－p)n(p－0.5)，由于p＞0.5，所以pn(1－p)n(p－0.5)＞0，得P(n＋1)＞P(n)．
配套热练——练习2
1．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10∶10平后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为×××=；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为×××=，所以所求事件的概率为＋=．
2．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现A，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若A，B一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 设恰好5局时游戏终止的事件为M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前3局输2局赢1局的事件为M2，则M=M1＋M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时A可以是输方，B也可以是输方，于是得P(M1)＝＝，P(M2)＝＝，P(M)=P(M1＋M2)=P(M1)＋P(M2)==，所以恰好5局时游戏终止的概率为．
3．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 ．
【解析】 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为；若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为．所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率P=××＋××=．
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10∶10时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了10∶10，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率P(n)= ．
【解析】 因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中两人的得分的差的绝对值为2，且n≥22，n为偶数，所以当n=2k－1，k≥11，k∈N时，P(n)=0；当n=22时，P(n)=2＋2==；当n=2k＞24，且n为偶数时，若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲胜一局比赛，所以事件甲赢得比赛的概率为k－112=k－11×2；同理乙赢得比赛的概率为k－11·2=k－11×2，所以P(n)=×k－11＋×k－11=×k－11=×，当n=22时，P(n)=符合上式，所以P(n)=×，n=2k，k≥11，k∈N．综上，P(n)=
5．甲、乙、丙三人下围棋，已知甲胜乙、丙两人的胜率均为，乙胜丙的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空．以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者．
(1) 若第一场比赛甲轮空，则需要进行第四场比赛的概率为 ．
(2) 最终甲获胜的概率为 ．
【解析】 (1) 当第一场比赛乙获胜时，则第二场甲获胜，第三场丙获胜，满足题意；当第一场比赛丙获胜时，则第二场甲获胜，第三场乙获胜，满足题意．所以需要进行第四场比赛的概率为××＋××=．
(2) 当甲第一场轮空时，若第一场乙胜丙输，则第二场甲胜乙输，第三场甲胜丙输，此时甲获胜的概率为×××=；若第一场丙胜乙输，则第二场甲胜丙输，第三场甲胜乙输，此时甲获胜的概率为×××=．则当甲第一场轮空时，甲获胜的概率P1=＋=．当甲第一场不轮空时，若第一场乙胜甲输，则第二场丙胜乙输，第三场甲胜丙输，第四场甲胜乙输，此时甲获胜的概率为××××=；若第一场甲胜乙输，则①第二场甲胜丙输，此时甲获胜的概率为××=；②第二场丙胜甲输，第三场乙胜丙输，第四场甲胜乙输，此时甲获胜的概率为××××=．所以当甲第一场不轮空且第一场乙与甲比赛时，甲获胜的概率为P2=＋＋=．同理，当甲第一场不轮空且第一场丙与甲比赛时，甲获胜概率为P3=．故最终甲获胜的概率为P=P1＋P2＋P3=．
6．有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．
(1) 求前3局比赛甲都取胜的概率；
【解答】 因为各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，则前3局甲都取胜的概率为P=××=．
(2) 用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．
【解答】 X的所有可能取值为0，1，2，3．其中，X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X=0)=×=；X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或第1局乙赢，且第2局乙输，则P(X=1)=×＋×=；X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则P(X=2)=××=；X=3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则P(X=3)=××=，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为E(X)=0×＋1×＋2×＋3×=．
7．某场乒乓球，对阵双方为甲、乙，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
(1) 甲首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时乙连续发球2次，然后甲连续发球2次．根据以往比赛结果统计，甲发球时他自己得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，求该局比赛甲以9∶11落败的概率．
【解答】 在8∶8后乙先发球的情况下，甲以9∶11落败的情况分三种．第一种：后四球甲依次为胜败败败，概率为P1=0.5×0.5×0.4×0.4=0.04；第二种：后四球甲依次为败胜败败，概率为P2=0.5×0.5×0.4×0.4=0.04；第三种：后四球甲依次为败败胜败，概率为P3=0.5×0.5×0.6×0.4=0.06，所以所求事件的概率为P1＋P2＋P3=0.14．
(2) 在本场比赛中，乙先以2∶0领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．
【解答】 随机变量X的可能取值为2，3，4，5，P(X=2)=×=，P(X=3)=×××=，P(X=4)=××2×＋4=，P(X=5)=××3×＋×3××=，所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
则数学期望为E(X)=2×＋3×＋4×＋5×=．
8．足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．甲足球队将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛．根据前期比赛成绩，甲队主场与A队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
(1) 求甲队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；
【解答】 设事件A1=“甲队主场与A队比赛获得积分为3分”，事件A2=“甲队主场与A队比赛获得积分为1分”，事件A3=“甲队主场与A队比赛获得积分为0分”，事件B1=“甲队客场与B队比赛获得积分为3分”，事件B2=“甲队客场与B队比赛获得积分为1分”，事件B3=“甲队客场与B队比赛获得积分为0分”，事件C=“甲队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分”，则P(A1B2)=×=，P(A1B3)=×=，P(A2B3)=×=，则P(C)=P(A1B2)＋P(A1B3)＋P(A2B3)=＋＋=，所以甲队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率为．
(2) 用X表示甲队与A队和B队比赛获得积分之和，求X的分布列与数学期望．
【解答】 由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，P(X=0)=×=，P(X=1)=×＋×==，P(X=2)=×=，P(X=3)=×＋×=，P(X=4)=×＋×==，P(X=6)=×=，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P
所以E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×=．
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