6 数列中的新情境、新定义问题
基础打底
1．给定一个数列{an}，若bn=an＋1－an，则把数列{bn}称为{an}的一阶差数列．若数列{cn}的一阶差数列{tn}的通项公式为tn=n＋2n－1，c1=1，则c9=( C )
A．556 B．557
C．292 D．291
【解析】 根据题意，tn=cn＋1－cn=n＋2n－1，则c9－c8＋c8－c7＋…＋c2－c1=t8＋t7＋…＋t1=＋=291，即c9－c1=291，又因为c1=1，所以c9=292．
2．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{Pn}(P1=0，P2=1，Pn＋2=2Pn＋1＋Pn，n∈N*)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{an}．记{an}的前n项和为Sn，则S20=( C )
A．16 B．12
C．10 D．8
【解析】 因为P1=0，P2=1，Pn＋2=2Pn＋1＋Pn，n∈N*，所以P3=2P2＋P1=2×1＋0=2，P4=2P3＋P2=2×2＋1=5，P5=2P4＋P3=2×5＋2=12，P6=2P5＋P4=2×12＋5=29，P7=2P6＋P5=2×29＋12=70，P8=2P7＋P6=2×70＋29=169，…，可以看出数列{an}的前20项为1，0，1，0，…，1，0，故S20=10×1＋10×0=10．
3．下面给出一个“三角形数阵”，该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列．记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100=__1 792__．
【解析】 由1＋2＋…＋13==91＜100，1＋2＋…＋14==105≥100，100－91=9，知a100是第14行的第9个数．而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第14行的第一个数是＋=7．又因为每一行成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于7×29－1=7×256=1 792．
4．(人A选必二例题)如图，正方形ABCD的边长为5 Cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和为__ cm2__．
【解析】 设正方形ABCD的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1=25．由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1=ak．因此{an}是以25为首项，为公比的等比数列，S10==50×=．
强技提能
新情境问题
例1－1 如图，有一列曲线P0，P1，P2，…．已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积，则数列的通项公式为__Sn=－×n__．
【解析】 设P0图形的边长为a．由题意可知，a2=1，边数是3；根据图形规律，P1图形边长为，边数为P0每一条边都扩大4倍，即3×4；P2图形边长为，边数为3×42；以此类推，Pn－1图形边长为，边数为3×4n－1；Pn图形边长为，边数为3×4n．而根据图形规律可知曲线Pn所围成图形的面积Sn等于曲线Pn－1所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，每一条边增加的小等边三角形面积为×2，则Sn=Sn－1＋(3×4n－12)××2=Sn－1＋×n－1．又P1图形的面积S1=1＋3××2=，S2=S1＋×1，S3=S2＋×2，…，Sn=Sn－1＋×n－1，由累加法可得Sn=S1＋×=－×n．
例1－2 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知双曲线C：x2－y2=m(m＞0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0＜k＜1．按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)，过Pn－1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn)．
(1) 若k=，求x2，y2；
【解答】 因为P1(5，4)在C上，所以25－16=m，解得m=9，所以C：x2－y2=9．过点P1(5，4)且斜率为k=的直线方程为y－4=(x－5)，即x－2y＋3=0．联立解得或故Q1(－3，0)，P2(3，0)．因为过点Pn－1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，且Pn为Qn－1关于y轴的对称点，所以x2=3，y2=0．
(2) 求证：数列{xn－yn}是公比为的等比数列．
【解答】 因为Pn(xn，yn)关于y轴的对称点是Qn－1(－xn，yn)，Pn－1(xn－1，yn－1)，Pn－1，Qn－1都在同一条斜率为k的直线上，xn－1≠－xn，则=k．因为Pn－1，Qn－1都在双曲线上，所以两式相减可得(xn－xn－1)(xn＋xn－1)=(yn－yn－1)(yn＋yn－1)，而yn－yn－1=－k(xn＋xn－1) ①，所以xn－xn－1=－k(yn＋yn－1) ②，由②－①可得xn－yn－(xn－1－yn－1)=k(xn－yn)＋k(xn－1－yn－1)，则(1－k)(xn－yn)=(1＋k)(xn－1－yn－1)，所以=，故数列{xn－yn}是公比为的等比数列．
当数列与其他知识相融合时，如数列与解析几何、数列与三角函数、数列与导数等，需要认清大背景、大主题，如在数列情境下研究解析几何，还是在解析几何情境下研究数列，虽然相互融合，但分析的侧重不同，考查的主干知识不同．
变式1 如图，已知点列An(xn，yn)在曲线y2=x上，点列Bn(an，0)在x轴上，A1(1，1)，B1(0，0)，△BnAnBn＋1为等腰直角三角形．
(1) 求a1，a2，a3；(直接写出结果)
【解答】 由△BnAnBn＋1为等腰直角三角形，A1(1，1)，B1(0，0)，可得a1=0，x1=1，a1＋a2=2x1，解得a2=2．由所以可得可得－=1，解得a3=6．
(2) 求数列{an}的通项公式．
【解答】 由题意可得所以所以所以所以－=1(n∈N*)，所以是以=为首项，1为公差的等差数列，所以=＋(n－1)×1，所以an=2－=n(n－1)．
新定义问题
例2－1 (2025·唐山一模)已知费马数是形如F(n)=22n＋1(n∈N)的素数，如第一个费马数为F(0)=3，则F(2)=__17__．正多边形的边数若能写成2k与m个不同的费马数的乘积(k∈N，m∈N)，则正多边形就可以用尺规作图．将这种正多边形的边数按从小到大排列，记为数列{an}(注：若m=0，边数可以取22=4等；若m=1，边数可以取20×3=3等)，则a9=__16__．
【解析】 由F(n)=＋1(n∈N)知，将n=2代入得F(2)=＋1=24＋1=17．当m=1时，F(0)=3，边数可以是3；当k=2时，22=4，边数可以是4；当m=1时，F(1)=5，边数可以是5；当m=1，k=1时，21×F(0)=2×3=6，边数可以是6；当k=3时，23=8，边数可以是8；当m=1，k=1时，21×F(1)=2×5=10，边数可以是10；当m=1，k=2时，22×F(0)=22×3=12，边数可以是12；当m=2时，F(0)×F(1)=3×5=15，边数可以是15；当k=4时，24=16，边数可以是16；当m=1时，F(2)=222＋1=17，边数可以是17，故a9=16．
例2－2 (2025·黄山一模节选)记数列{an}前k项的最大值bk依次构成一个新的数列{bn}，称数列{bn}为{an}的“生成子列”．记数列{bn}所有项组成的集合为A．
(1) 已知数列{an}，{bn}都只有4项，{bn}为{an}的“生成子列”．
①若数列{an}为3，2，1，4，求数列{bn}；
②若数列{an}各项均不相等且ai∈{1，2，3，4}，它的“生成子列”的通项公式bn=4，写出所有符合条件的数列{an}．
【解答】 ①当数列{an}为3，2，1，4时，根据数列{bn}的定义有b1=3，b2=3，b3=3，b4=4，所以数列{bn}为3，3，3，4．
②因为{an}只有4项，且{an}各项均不相等且ai∈{1，2，3，4}，所以{1，2，3，4}中4个元素都出现．又因为{an}的“生成子列”的通项公式bn=4，所以数列{an}中a1=4，所以符合条件的{an}有4，1，2，3；4，1，3，2；4，2，1，3；4，2，3，1；4，3，2，1；4，3，1，2，共6种可能．
(2) 若an=(n＋a)n(n∈N*)，且A中有4个元素，求实数a的取值范围．
【解答】 因为an=(n＋a)n(n∈N*)，所以an＋1=(n＋1＋a)·n＋1(n∈N*)，an＋1－an=n·－n·=n·，因为n＞0，6＞0，所以当－n＋5－a＞0，即n＜5－a时，数列{an}单调递增；当－n＋5－a＜0，即n＞5－a时，数列{an}单调递减．因为A中有4个元素，结合数列的单调性可知，a3＜a4且a4≥a5，即整理得解得1≤a＜2，所以a∈［1，2)．
新定义数列的处理方法
(1) 理解定义：仔细研读新定义，明确新数列的特征、规律或运算规则等关键信息．
(2) 列举归纳：对于一些复杂的新定义数列，可先根据定义求出数列的前几项；通过观察这些项的规律，推测出数列的通项公式或其他性质．
(3)转化为熟悉的数列问题．
变式2 (2025·鹰潭二模)若A=(a1，a2，a3，…，an)为一个有序实数组，其中ai∈{－1，0，1}(i=1，2，3，…，n)，f(A)表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1得到的新的有序实数组，例如：A=(－1，0，1)，则f(A)=(－1，0，－1，1，0，1)．定义Ak＋1=f(Ak)，k=1，2，3，…．若A1=(－1，1)，An中有bn项为1，则{bn}的前2 025项和为____．
【解析】 因为A1=(－1，1)，依题意得，A2=(－1，0，0，1)，A3=(－1，0，－1，1，－1，1，0，1)，显然，A1中有2项，其中1项为－1，1项为1；A2中有4项，其中1项为－1，1项为1，2项为0；A3中有8项，其中3项为－1，3项为1，2项为0．由此可得An中共有2n项，其中1和－1的项数相同都为bn，设An中有cn项为0，则2bn＋cn=2n，b1=1，从而2bn－1＋cn－1=2n－1(n≥2) ①．因为f(A)表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则bn=bn－1＋cn－1(n≥2) ②，①＋②整理得bn＋bn－1=2n－1(n≥2) ③，所以bn＋1＋bn=2n ④，所以{bn}的前2 025项和为b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 024＋b2 025)=1＋22＋24＋26＋…＋22 024=1＋=．
配套热练
1．(2025·濮阳一模)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1~9这九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图)．已知数列{an}(n∈N*)的通项公式为an=2n＋2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为( C )
A．60 B．72
C．76 D．80
【解析】 由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为=38×8，由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为=76．
2．(2025·常德测试)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数．把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{an}．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数．则在三角数列{an}中，第二个正方形数是( B )
A．28 B．36
C．45 D．55
【解析】 由题意可得，三角数列{an}的通项为an=，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…．设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为{bn}，则bn=n2，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，所以在三角数列{an}中，第二个正方形数是36．
3．(2025·福州二模)金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸．我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录．K系列的矩形金箔K0，K1，K2，…，K13共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔(K13除外)对裁后，可以得到两张后一序号的金箔．比如1张K1金箔对裁后可以得到2张K2金箔．若K4金箔的较短边长为210 mm，则K11金箔的较长边长约为( D )
A．9 mm B．13 mm
C．18 mm D．26 mm
【解析】 设矩形金箔K0，K1，K2，…，K13的较长边长分别为b0，b1，b2，b3，…，b13，较短边长分别为a0，a1，a2，a3，…，a13，则===…=，且bn=an－1，an=，n≥1，所以bn=an－1=，n≥1，所以=，所以b5=a4=210 mm，所以b11=b5×3=210×==26(mm)．
4．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19……如图所示．在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，例如a3，2=9，a4，2=15，a5，4=23．若ai，j=2 025，则i＋j=( C )
A．64 B．65
C．68 D．72
【解析】 由题意，令2n－1=2 025，解得n=1 013，则2 025是第1 013个奇数．因为宝塔形数表第i行有i个数，所以前i行共有1＋2＋3＋…＋i=个数，又=990，=1 035，所以2 025在宝塔形数表的第45行中，且2 025为第45行从左往右数第23个数，即a45，23=2 025，所以i＋j=45＋23=68．
5．(2025·福州二模)(多选)若数列{an}为递增数列且数列也为递增数列，则称{an}为“重增数列”．下列数列是“重增数列”的有( AB )
A．{3n} B．{n5}
C．{log2n} D．{sin n}
【解析】 对于A，因为n≥2时，=3＞1，所以{3n}为递增数列；又n≥2时，==3－＞1，所以数列也为递增数列，故A正确．对于B，因为n≥2时，=5＞1，所以{n5}为递增数列；又n≥2时，==4＞1，所以数列也为递增数列，故B正确．对于C，因为=，所以不是递增数列，故C错误．对于D，因为＞0＞，所以不是递增数列，故D错误．
6．(2025·河南五市联考(一))(多选)对于给定数列{cn}，如果存在常数p，q使得cn＋1=pcn＋q对于任意n∈N*都成立，那么我们称数列{cn}是“H数列”．下列说法正确的有( AB )
A．若an=2n＋1，n∈N*，则数列{an}是“H数列”
B．若bn=3·2n－1，n∈N*，则数列{bn}是“H数列”
C．若数列{an}是“H数列”，则数列{an＋an＋1}不是“H数列”
D．若数列{an}满足a1=2，an＋an＋1=3t·2n(n∈N*)，t为常数，则数列{an}的前2 024项和为2t(41 011－1)
【解析】 对于A，由an=2n＋1，得an＋1=2(n＋1)＋1，则an＋1=an＋2，n∈N*，故数列{an}是“H数列”，故A正确；对于B，由bn=3·2n－1，得bn＋1=3·2n，则bn＋1=2bn，n∈N*，故数列{bn}是“H数列”，故B正确；对于C，若数列{an}是“H数列”，则存在常数p，q使得an＋1=pan＋q对于任意n∈N*都成立，显然an＋2=pan＋1＋q对于任意n∈N*都成立，因此an＋2＋an＋1=p(an＋1＋an)＋2q对于任意n∈N*都成立，故数列{an＋an＋1}也是“H数列”，对应的常数分别为p，2q，故C错误；对于D，由an＋an＋1=3t·2n(n∈N*)，得a1＋a2=3t·21，a3＋a4=3t·23，…，a2 023＋a2 024=3t·22 023，所以数列{an}的前2 024项和为S2 024=(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)=3t·21＋3t·23＋…＋3t·22 023=3t·(21＋23＋…＋22 023)=3t·=2t(41 012－1)，故D错误．
7．(2025·菏泽一模节选)定义正方形数阵{a(i，j)}满足a(i，j)=i2－j2，其中i，j∈N*．
(1) 若i＋j=100，求数阵{a(i，j)}所有项的和T；
【解答】 若i＋j=100，则(i，j)的所有取值情况为(1，99)，(2，98)，(3，97)，…，(50，50)，…，(97，3)，(98，2)，(99，1)，故数阵{a(i，j)}共99项．由a(i，j)=i2－j2，知a(50，50)=0，a(1，99)＋a(99，1)=a(2，98)＋a(98，2)=…=a(i，j)＋a(j，i)=0，所以T=a(1，99)＋a(2，98)＋a(3，97)＋…＋a(50，50)＋…＋a(97，3)＋a(98，2)＋a(99，1)=0．
(2) 若m，n，p，q∈N*，求证：a(m，n)·a(p，q)也是数阵{a(i，j)}中的项．
【解答】 a(m，n)·a(p，q)=(m2－n2)(p2－q2)=(mp＋nq)2－(mq＋np)2，由m，n，p，q∈N*，知mp＋nq，mq＋np∈N*，故a(m，n)·a(p，q)=a(mp＋nq，mq＋np)，所以a(m，n)·a(p，q)也是数阵{a(i，j)}中的项．
8．(2025·九江二模节选)在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫做旋转变换．定点G叫做旋转中心，定角θ叫做旋转角(规定逆时针方向为正)．如果图形上的点P(x，y)经过旋转变为点P′(x′，y′)，那么这两个点叫做这个旋转变换的对应点．现将曲线xy=m(m≠0)绕定点G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为点(，1)在曲线E上．
(1) 求曲线E的方程并确定点G的位置．
【解答】 依题意得即所以(x′－y′)(x′＋y′)=2xy=2m，故曲线E的方程为x2－y2=2m．因为点(，1)在曲线E上，所以m=，故曲线E的方程为x2－y2=1．由对称性可知，点G为坐标原点O．
(2) 点P1的坐标为(1，0)，按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)：过点Pn－1作斜率为2的直线交E于另一点Qn－1，设Pn是点Qn－1关于x轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn)，求数列{xn＋yn}的前n项和Sn．
【解答】 依题意得得(xn－xn＋1)(xn＋xn＋1)=(yn－yn＋1)(yn＋yn＋1) ①．又因为直线PnQn的斜率为2且Pn(xn，yn)，Qn(xn＋1，－yn＋1)，所以yn＋yn＋1=2(xn－xn＋1) ②．将②代入①中，得xn＋xn＋1=2(yn－yn＋1) ③，将②和③相加，得3(xn＋1＋yn＋1)=xn＋yn，从而=，所以{xn＋yn}是首项为1，公比为的等比数列，所以Sn==．
9．(2025·湛江期末节选)若数列{an}的首项a1=1，对任意的n∈N*，都有an＋1－an≤k(k为常数，且k∈N*)，则称{an}为有界变差数列，其中k为数列{an}的相邻两项差值的上界．已知数列{an}是有界变差数列，{an}的前n项和为Sn．
(1) 当k=1时，求证：an≤n；
【解答】 当k=1时，an＋1－an≤1，则an=(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1≤1＋1＋1＋…＋1=n(n≥2)；当n=1时，a1=1，满足an≤n，故an≤n，当且仅当an－an－1=1时等号成立．
(2) 当{an}(n∈N*，n≥2)中各项都取最大值时，Sn＋nan≤3n3＋11n对任意的n≥2恒成立，求k的最大值．
【解答】 因为an＋1－an≤k，所以an=(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1≤(n－1)k＋1(n≥2)；当n=1时，a1=1满足上式．所以Sn≤k＋2k＋…＋(n－1)k＋n=，所以不等式Sn＋nan≤3n3＋11n可化为＋n［(n－1)k＋1］≤3n3＋11n，所以(n－1)k≤2n2＋6，因为n≥2，所以k≤==2(n－1)＋＋4，而2(n－1)＋＋4≥12，当且仅当n=3时等号成立，所以k≤12，因为k∈N*，所以kmax=12．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)6 数列中的新情境、新定义问题
基础打底
1．给定一个数列{an}，若bn=an＋1－an，则把数列{bn}称为{an}的一阶差数列．若数列{cn}的一阶差数列{tn}的通项公式为tn=n＋2n－1，c1=1，则c9=( )
A．556 B．557 C．292 D．291
2．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{Pn}(P1=0，P2=1，Pn＋2=2Pn＋1＋Pn，n∈N*)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{an}．记{an}的前n项和为Sn，则S20=( )
A．16 B．12 C．10 D．8
3．下面给出一个“三角形数阵”，该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列．记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100=____．
4．(人A选必二例题)如图，正方形ABCD的边长为5 Cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和为____．
强技提能
新情境问题
例1－1 如图，有一列曲线P0，P1，P2，…．已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积，则数列的通项公式为____．
例1－2 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知双曲线C：x2－y2=m(m＞0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0＜k＜1．按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)，过Pn－1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn)．
(1) 若k=，求x2，y2；
(2) 求证：数列{xn－yn}是公比为的等比数列．
当数列与其他知识相融合时，如数列与解析几何、数列与三角函数、数列与导数等，需要认清大背景、大主题，如在数列情境下研究解析几何，还是在解析几何情境下研究数列，虽然相互融合，但分析的侧重不同，考查的主干知识不同．
变式1 如图，已知点列An(xn，yn)在曲线y2=x上，点列Bn(an，0)在x轴上，A1(1，1)，B1(0，0)，△BnAnBn＋1为等腰直角三角形．
(1) 求a1，a2，a3；(直接写出结果)
(2) 求数列{an}的通项公式．
新定义问题
例2－1 (2025·唐山一模)已知费马数是形如F(n)=22n＋1(n∈N)的素数，如第一个费马数为F(0)=3，则F(2)=____．正多边形的边数若能写成2k与m个不同的费马数的乘积(k∈N，m∈N)，则正多边形就可以用尺规作图．将这种正多边形的边数按从小到大排列，记为数列{an}(注：若m=0，边数可以取22=4等；若m=1，边数可以取20×3=3等)，则a9=____．
例2－2 (2025·黄山一模节选)记数列{an}前k项的最大值bk依次构成一个新的数列{bn}，称数列{bn}为{an}的“生成子列”．记数列{bn}所有项组成的集合为A．
(1) 已知数列{an}，{bn}都只有4项，{bn}为{an}的“生成子列”．
①若数列{an}为3，2，1，4，求数列{bn}；
②若数列{an}各项均不相等且ai∈{1，2，3，4}，它的“生成子列”的通项公式bn=4，写出所有符合条件的数列{an}．
(2) 若an=(n＋a)n(n∈N*)，且A中有4个元素，求实数a的取值范围．
新定义数列的处理方法
(1) 理解定义：仔细研读新定义，明确新数列的特征、规律或运算规则等关键信息．
(2) 列举归纳：对于一些复杂的新定义数列，可先根据定义求出数列的前几项；通过观察这些项的规律，推测出数列的通项公式或其他性质．
(3)转化为熟悉的数列问题．
变式2 (2025·鹰潭二模)若A=(a1，a2，a3，…，an)为一个有序实数组，其中ai∈{－1，0，1}(i=1，2，3，…，n)，f(A)表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1得到的新的有序实数组，例如：A=(－1，0，1)，则f(A)=(－1，0，－1，1，0，1)．定义Ak＋1=f(Ak)，k=1，2，3，…．若A1=(－1，1)，An中有bn项为1，则{bn}的前2 025项和为____．
配套热练
1．(2025·濮阳一模)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1~9这九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图)．已知数列{an}(n∈N*)的通项公式为an=2n＋2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为( )
A．60 B．72
C．76 D．80
2．(2025·常德测试)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数．把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{an}．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数．则在三角数列{an}中，第二个正方形数是( )
A．28 B．36
C．45 D．55
3．(2025·福州二模)金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸．我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录．K系列的矩形金箔K0，K1，K2，…，K13共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔(K13除外)对裁后，可以得到两张后一序号的金箔．比如1张K1金箔对裁后可以得到2张K2金箔．若K4金箔的较短边长为210 mm，则K11金箔的较长边长约为( )
A．9 mm B．13 mm
C．18 mm D．26 mm
4．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19……如图所示．在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，例如a3，2=9，a4，2=15，a5，4=23．若ai，j=2 025，则i＋j=( )
A．64 B．65
C．68 D．72
5．(2025·福州二模)(多选)若数列{an}为递增数列且数列也为递增数列，则称{an}为“重增数列”．下列数列是“重增数列”的有( )
A．{3n} B．{n5}
C．{log2n} D．{sin n}
6．(2025·河南五市联考(一))(多选)对于给定数列{cn}，如果存在常数p，q使得cn＋1=pcn＋q对于任意n∈N*都成立，那么我们称数列{cn}是“H数列”．下列说法正确的有( )
A．若an=2n＋1，n∈N*，则数列{an}是“H数列”
B．若bn=3·2n－1，n∈N*，则数列{bn}是“H数列”
C．若数列{an}是“H数列”，则数列{an＋an＋1}不是“H数列”
D．若数列{an}满足a1=2，an＋an＋1=3t·2n(n∈N*)，t为常数，则数列{an}的前2 024项和为2t(41 011－1)
7．(2025·菏泽一模节选)定义正方形数阵{a(i，j)}满足a(i，j)=i2－j2，其中i，j∈N*．
(1) 若i＋j=100，求数阵{a(i，j)}所有项的和T；
(2) 若m，n，p，q∈N*，求证：a(m，n)·a(p，q)也是数阵{a(i，j)}中的项．
8．(2025·九江二模节选)在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫做旋转变换．定点G叫做旋转中心，定角θ叫做旋转角(规定逆时针方向为正)．如果图形上的点P(x，y)经过旋转变为点P′(x′，y′)，那么这两个点叫做这个旋转变换的对应点．现将曲线xy=m(m≠0)绕定点G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为点(，1)在曲线E上．
(1) 求曲线E的方程并确定点G的位置．
(2) 点P1的坐标为(1，0)，按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)：过点Pn－1作斜率为2的直线交E于另一点Qn－1，设Pn是点Qn－1关于x轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn)，求数列{xn＋yn}的前n项和Sn．
9．(2025·湛江期末节选)若数列{an}的首项a1=1，对任意的n∈N*，都有an＋1－an≤k(k为常数，且k∈N*)，则称{an}为有界变差数列，其中k为数列{an}的相邻两项差值的上界．已知数列{an}是有界变差数列，{an}的前n项和为Sn．
(1) 当k=1时，求证：an≤n；
(2) 当{an}(n∈N*，n≥2)中各项都取最大值时，Sn＋nan≤3n3＋11n对任意的n≥2恒成立，求k的最大值．
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专题三
6 数列中的新情境、新定义问题
数 列
基础打底
1．给定一个数列{an}，若bn＝an＋1－an，则把数列{bn}称为{an}的一阶差数列．若数列{cn}的一阶差数列{tn}的通项公式为tn＝n＋2n－1，c1＝1，则c9＝ ( )
A．556 B．557
C．292 D．291
【解析】
C
2．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{Pn}(P1＝0，P2＝1，Pn＋2＝2Pn＋1＋Pn，n∈N*)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{an}．记{an}的前n项和为Sn，则S20＝ ( )
A．16 B．12
C．10 D．8
【解析】
因为P1＝0，P2＝1，Pn＋2＝2Pn＋1＋Pn，n∈N*，
所以P3＝2P2＋P1＝2×1＋0＝2，
P4＝2P3＋P2＝2×2＋1＝5，
P5＝2P4＋P3＝2×5＋2＝12，
P6＝2P5＋P4＝2×12＋5＝29，
P7＝2P6＋P5＝2×29＋12＝70，
P8＝2P7＋P6＝2×70＋29＝169，…，
可以看出数列{an}的前20项为1，0，1，0，…，1，0，故S20＝10×1＋10×0＝10．
【答案】C
3．下面给出一个“三角形数阵”，该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列．记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
【解析】
1 792
4．(人A选必二例题)如图，正方形ABCD的边长为5 Cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和为___________．
【解析】
强技提能
目标
1
新情境问题
1－1
【解析】
1－2
【解答】
【解答】
1－2
当数列与其他知识相融合时，如数列与解析几何、数列与三角函数、数列与导数等，需要认清大背景、大主题，如在数列情境下研究解析几何，还是在解析几何情境下研究数列，虽然相互融合，但分析的侧重不同，考查的主干知识不同．
变式1 如图，已知点列An(xn，yn)在曲线y2＝x上，点列Bn(an，0)在x轴上，A1(1，1)，B1(0，0)，△BnAnBn＋1为等腰直角三角形．
(1)求a1，a2，a3；(直接写出结果)
【解答】
变式1 如图，已知点列An(xn，yn)在曲线y2＝x上，点列Bn(an，0)在x轴上，A1(1，1)，B1(0，0)，△BnAnBn＋1为等腰直角三角形．
(2)求数列{an}的通项公式．
【解答】
目标
2
新定义问题
2－1
【解析】
【答案】 17 16
(2025·黄山一模节选)记数列{an}前k项的最大值bk依次构成一个新的数列{bn}，称数列{bn}为{an}的“生成子列”．记数列{bn}所有项组成的集合为A．
(1)已知数列{an}，{bn}都只有4项，{bn}为{an}的“生成子列”．
①若数列{an}为3，2，1，4，求数列{bn}；
②若数列{an}各项均不相等且ai∈{1，2，3，4}，它的“生成子列”的通项公式bn＝4，写出所有符合条件的数列{an}．
2－2
【解答】
①当数列{an}为3，2，1，4时，根据数列{bn}的定义有b1＝3，b2＝3，b3＝3，b4＝4，所以数列{bn}为3，3，3，4．
②因为{an}只有4项，且{an}各项均不相等且ai∈{1，2，3，4}，所以{1，2，3，4}中4个元素都出现．
又因为{an}的“生成子列”的通项公式bn＝4，所以数列{an}中a1＝4，所以符合条件的{an}有4，1，2，3；4，1，3，2；4，2，1，3；4，2，3，1；4，3，2，1；4，3，1，2，共6种可能．
2－2
【解答】
新定义数列的处理方法
(1)理解定义：仔细研读新定义，明确新数列的特征、规律或运算规则等关键信息．
(2)列举归纳：对于一些复杂的新定义数列，可先根据定义求出数列的前几项；通过观察这些项的规律，推测出数列的通项公式或其他性质．
(3)转化为熟悉的数列问题．
变式2 (2025·鹰潭二模)若A＝(a1，a2，a3，…，an)为一个有序实数组，其中ai∈{－1，0，1}(i＝1，2，3，…，n)，f(A)表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1得到的新的有序实数组，例如：A＝(－1，0，1)，则f(A)＝(－1，0，－1，1，0，1)．定义Ak＋1＝f(Ak)，k＝1，2，3，…．若A1＝ (－1，1)，An中有bn项为1，则{bn}的前2 025项和为________．
【解析】
因为A1＝(－1，1)，依题意得，A2＝(－1，0，0，1)，A3＝(－1，0，－1，1，－1，1，0，1)，显然，A1中有2项，其中1项为－1，1项为1；A2中有4项，其中1项为－1，1项为1，2项为0；A3中有8项，其中3项为－1，3项为1，2项为0．
热练
1．(2025·濮阳一模)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1~9这九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图)．已知数列{an}(n∈N*)的通项公式为an＝2n＋2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为 ( )
A．60 B．72 C．76 D．80
【解析】
C
2．(2025·常德测试)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21， …这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数．把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{an}．类似地，数1，4，9，16， …叫做正方形数．则在三角数列{an}中，第二个正方形数是 ( )
A．28 B．36
C．45 D．55
【解析】
【答案】B
3．(2025·福州二模)金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸．我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录．K系列的矩形金箔K0，K1，K2，…，K13共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔(K13除外)对裁后，可以得到两张后一序号的金箔．比如1张K1金箔对裁后可以得到2张K2金箔．若K4金箔的较短边长为210 mm，则K11金箔的较长边长约为 ( )
A．9 mm B．13 mm
C．18 mm D．26 mm
【解析】
【答案】D
4．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19……如图所示．在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，例如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23．若ai，j＝2 025，则i＋j＝ ( )
A．64 B．65
C．68 D．72
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】AB
6．(2025·河南五市联考(一))(多选)对于给定数列{cn}，如果存在常数p，q使得 cn＋1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，那么我们称数列{cn}是“H数列”．下列说法正确的有 ( )
A．若an＝2n＋1，n∈N*，则数列{an}是“H数列”
B．若bn＝3·2n－1，n∈N*，则数列{bn}是“H数列”
C．若数列{an}是“H数列”，则数列{an＋an＋1}不是“H数列”
D．若数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝3t·2n(n∈N*)，t为常数，则数列{an}的前2 024项和为2t(41 011－1)
【解析】
对于A，由an＝2n＋1，得an＋1＝2(n＋1)＋1，则an＋1＝an＋2，n∈N*，故数列{an}是“H数列”，故A正确；
对于B，由bn＝3·2n－1，得bn＋1＝3·2n，则bn＋1＝2bn，n∈N*，故数列{bn}是“H数列”，故B正确；
对于C，若数列{an}是“H数列”，则存在常数p，q使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，显然an＋2＝pan＋1＋q对于任意n∈N*都成立，因此an＋2＋an＋1＝p(an＋1＋ an)＋2q对于任意n∈N*都成立，故数列{an＋an＋1}也是“H数列”，对应的常数分别为p，2q，故C错误；
【答案】AB
7．(2025·菏泽一模节选)定义正方形数阵{a(i，j)}满足a(i，j)＝i2－j2，其中i，j∈N*．
(1)若i＋j＝100，求数阵{a(i，j)}所有项的和T；
【解答】
若i＋j＝100，则(i，j)的所有取值情况为(1，99)，(2，98)，(3，97)，…，(50，50)，…，(97，3)，(98，2)，(99，1)，故数阵{a(i，j)}共99项．
由a(i，j)＝i2－j2，知a(50，50)＝0，a(1，99)＋a(99，1)＝a(2，98)＋a(98，2)＝…＝a(i，j)＋a(j，i)＝0，所以T＝a(1，99)＋a(2，98)＋a(3，97)＋…＋a(50，50)＋…＋a(97，3)＋a(98，2)＋a(99，1)＝0．
7．(2025·菏泽一模节选)定义正方形数阵{a(i，j)}满足a(i，j)＝i2－j2，其中i，j∈N*．
(2)若m，n，p，q∈N*，求证：a(m，n)·a(p，q)也是数阵{a(i，j)}中的项．
【解答】
a(m，n)·a(p，q)＝(m2－n2)(p2－q2)＝(mp＋nq)2－(mq＋np)2，
由m，n，p，q∈N*，知mp＋nq，mq＋np∈N*，故a(m，n)·a(p，q)＝a(mp＋nq，mq＋np)，所以a(m，n)·a(p，q)也是数阵{a(i，j)}中的项．
【解答】
【解答】
9．(2025·湛江期末节选)若数列{an}的首项a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1－an≤k (k为常数，且k∈N*)，则称{an}为有界变差数列，其中k为数列{an}的相邻两项差值的上界．已知数列{an}是有界变差数列，{an}的前n项和为Sn．
(1)当k＝1时，求证：an≤n；
【解答】
当k＝1时，an＋1－an≤1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1≤1＋1＋1＋…＋1＝n(n≥2)；当n＝1时，a1＝1，满足an≤n，故an≤n，当且仅当an－an－1＝1时等号成立．
9．(2025·湛江期末节选)若数列{an}的首项a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1－an≤k(k为常数，且k∈N*)，则称{an}为有界变差数列，其中k为数列{an}的相邻两项差值的上界．已知数列{an}是有界变差数列，{an}的前n项和为Sn．
(2)当{an}(n∈N*，n≥2)中各项都取最大值时，Sn＋nan≤3n3＋11n对任意的n≥2恒成立，求k的最大值．
【解答】
