专题二 三角函数与解三角形
1 三角恒等变换的三个思维起点——角、名、次
基础打底
1．(人A必一P218例3改)若α∈，sin α=，则tan =( )
A． B．7
C．－ D．－7
2．(2025·武汉4月调研)若tan =7，则cos 2α的值为( )
A． B．
C． D．
3．已知sin =，则sin ＋cos 2α=____．
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β=4，tan αtan β=＋1，则sin(α＋β)=____．
强技提能
角的变换
例1 已知2－cos 3x=，则sin =( )
A． B．－
C． D．－
通过作和、作差等运算，联系条件中的角(已知角)与问题中的角(未知角)，采用整体换元等策略，统一已知角与未知角，尽可能将问题转化为同角三角函数关系或可用已知角表示的三角函数关系．
变式1 (1) 已知a=2cos 73°，那么=( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
(2) 已知sin(α＋β)sin(α－β)=，sin α＋sin β=m，则sin α－sin β=( )
A． B．
C．－ D．－
名称的变换
例2 (2025·苏锡常镇一模)已知sin(α＋β)=，tan α=2tan β，则sin(α－β)=( )
A．－ B．
C． D．
化简求值问题，可以看作是消除条件与问题中的不同因素的过程，关注题目中三角函数名称之间的转化是常用的思维角度，如“切化弦”“1的整体代换”等，其目的就是“去异存同”，利用三角恒等变换相关公式解决问题．
变式2 (1) (2025·武汉调研)已知tan αtan β=2，cos(α－β)=，则cos(α＋β)=___．
(2) (2025·厦门一模)已知0＜α＜，若tan =2(sin α＋cos α)，则sin 2α=( )
A． B．
C． D．
次数的变换
例3 (2025·杭州质检)若sin x＋cos x=2sin α，sin xcos x=sin 2β，则( )
A．4cos 22α=cos 22β B．cos 22α=4cos 22β
C．4cos 2α=cos 2β D．cos 2α=4cos 2β
三角恒等变换，重在根据相关公式变形，其中统一三角函数的次数关系需借助倍角公式及其变换形式，打通已知角与未知角的相互关系，实现双向变换，实现次的变换，其与角的变换、名的变换并称“三角恒等变换的三大思维起点”．
变式3 (1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin 2β，则cos(2α＋β)=____．
(2) 已知锐角α，β满足tan α=cos2β，tan 2β=tan ，则的值为___．
配套热练
1．(2025·莆田二模)已知sin =，则=( )
A． B．－
C． D．－
2．(2025·阳泉期末)已知tan α=，tan(α＋β)=，则tan β=( )
A． B．－
C． D．
3．(2025·泉州二检)－=( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．(2025·深圳一调)已知=3，则=( )
A． B．
C．2 D．3
5．(2025·江门模拟)已知sin ＋cos α=，则=( )
A．－ B．
C．－ D．
6．(2025·鹰潭二模)若α∈，tan α=，则sin =( )
A． B．
C． D．
7．(2025·漳州一模)若tan α=2tan β，sin(α－β)=t，则sin(α＋β)=( )
A．2t B．－2t
C．3t D．－3t
8．(2025·苏州期末)－2=( )
A． B．
C． D．
9．(2025·南京、盐城一模)(多选)已知cos αcos β=，cos(α＋β)=，则( )
A．sin αsin β= B．cos(α－β)=
C．tan αtan β=－ D．sin 2αsin 2β=
10．(2025·沧州二模)(多选)下列化简正确的有( )
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°=－ B．sin 15°sin 30°sin 75°=
C．= D．=tan
11．(2025·苏北四市一调)(多选)已知α，β为锐角，cos(α＋β)=，tan α＋tan β=1，则( )
A．sin αcos β= B．cos(α－β)=1
C．tan αtan β= D．tan［2(α＋β)］=－
12．(2025·合肥二模)已知=，则sin 4θ＋cos 4θ=___．
13．(2025·郑州三模)已知tan(α＋β)tan β=，cos(α＋2β)=，则cos α=____．
14．已知cos α=sin α，则tan =____．
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专题二
1 三角恒等变换的三个思维起点——角、名、次
三角函数与解三角形
基础打底
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
【解析】
强技提能
目标
1
角的变换
1
【解析】
D
联系条件中的角(已知角)与问题中的角(未知角)，采用整体换元等策略，通过作和、作差等运算，统一已知角与未知角，尽可能将问题转化为同角三角函数关系或可用已知角表示的三角函数关系．
【解析】
C
【解析】
【答案】A
目标
2
名称的变换
2
【解析】
【答案】B
化简求值问题，可以看作是消除条件与问题中的不同因素的过程，关注题目中三角函数名称之间的转化是常用的思维，如“切化弦”“1的整体代换”等，其目的就是“去异存同”，利用三角恒等变换相关公式解决问题．
【解析】
【解析】
C
目标
3
次数的变换
(2025·杭州质检)若sin x＋cos x＝2sin α，sin xcos x＝sin 2β，则 ( )
A．4cos22α＝cos 22β B．cos22α＝4cos 22β
C．4cos2α＝cos 2β D．cos 2α＝4cos 2β
3
【解析】
将sin x＋cos x＝2sin α两边平方得1＋2sin xcos x＝4sin2α，结合sin xcos x＝sin2 β可得1＋2sin2β＝4sin2α，即1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α－cos 2β＝2(1－2sin2α)－(1－2sin2β)＝1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α＝cos 2β，故C，D错误．
又4cos22α－cos22β＝(2cos 2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)＝0，所以4cos22α＝cos22β，故A正确，B错误．
A
三角恒等变换，重在根据相关公式变形，其中统一三角函数的次数需借助倍角公式及其变换形式，打通已知角与未知角的相互关系，实现双向变换，实现次的变换，其与角的变换、名的变换并称“三角恒等变换的三大思维起点”．
变式3 (1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β) ＝_____．
【解析】
0
【解析】
热练
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
A
7．(2025·漳州一模)若tan α＝2tan β，sin(α－β)＝t，则sin(α＋β)＝ ( )
A．2t B．－2t
C．3t D．－3t
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
【答案】 BC
【解析】
【答案】 AB
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【解析】
【解析】专题二 三角函数与解三角形
1 三角恒等变换的三个思维起点——角、名、次
基础打底
1．(人A必一P218例3改)若α∈，sin α=，则tan =( A )
A． B．7
C．－ D．－7
【解析】 由α∈，sin α=，得cos α=－，所以tan α==－，则tan ==．
2．(2025·武汉4月调研)若tan =7，则cos 2α的值为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：由tan =7，可得=7，即=7，解得tan α=，所以cos 2α====．
方法二：cos 2α=sin =2sin ====．
3．已知sin =，则sin ＋cos 2α=____．
【解析】 sin ＋cos 2α= 2α＋2α=sin ====1－2sin2=1－2×2=．
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β=4，tan αtan β=＋1，则sin(α＋β)=__－__．
【解析】 方法一：由题意得tan(α＋β)===－2．因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z．又tan(α＋β)=－2＜0，所以α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)＜0．由=－2，联立 sin2(α＋β)＋cos 2(α＋β)=1，解得sin(α＋β)=－．
方法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α＞0，cos β＜0，cos α==，cos β==，则sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=cos αcos β(tan α＋tan β)=4cos αcos β= ===－．
强技提能
角的变换
例1 已知2－cos 3x=，则sin =( D )
A． B．－
C． D．－
【解析】 由已知得2－=，化简得＋sin ===．令t=x＋，则x=t－，cos t=，所以sin =sin =sin =cos 2t=2cos 2t－1=2×2－1=－．
通过作和、作差等运算，联系条件中的角(已知角)与问题中的角(未知角)，采用整体换元等策略，统一已知角与未知角，尽可能将问题转化为同角三角函数关系或可用已知角表示的三角函数关系．
变式1 (1) 已知a=2cos 73°，那么=( C )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
【解析】 因为a=2cos 73°=2sin 17°，则==－=－=－．
(2) 已知sin(α＋β)sin(α－β)=，sin α＋sin β=m，则sin α－sin β=( A )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 方法一：因为sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β，所以sin(α＋β)·sin(α－β)=sin2αcos2β－cos2αsin2β=sin2α(1－sin2β)－(1－sin 2α)sin 2β=sin 2α－sin 2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β=sin2α－sin2β，由sin(α＋β)sin(α－β)=，可得sin2α－sin2β=，因为sinα＋sinβ=m，所以sinα－sinβ= =．
方法二：由积化和差公式得sin(α＋β)sin(α－β)=－(cos 2α－cos 2β)=－［(1－2sin 2α)－(1－2sin 2β)］=sin 2α－sin 2β=(sin α＋sin β)(sin α－sin β)=，故sin α－sin β=．
名称的变换
例2 (2025·苏锡常镇一模)已知sin(α＋β)=，tan α=2tan β，则sin(α－β)=( B )
A．－ B．
C． D．
【解析】 由tan α=2tan β，可得=，所以sin αcos β=2cos αsin β．由sin(α＋β)=，可得sin αcos β＋cos αsin β=．联立可得所以sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=－=．
化简求值问题，可以看作是消除条件与问题中的不同因素的过程，关注题目中三角函数名称之间的转化是常用的思维角度，如“切化弦”“1的整体代换”等，其目的就是“去异存同”，利用三角恒等变换相关公式解决问题．
变式2 (1) (2025·武汉调研)已知tan αtan β=2，cos(α－β)=，则cos(α＋β)=__－__．
【解析】 依题意，tan αtan β==2，则sin αsin β=2cos αcos β．由cos(α－β)=，得cos αcos β＋sin αsin β=，所以cos αcos β=，所以cos(α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=－cos αcos β=－．
(2) (2025·厦门一模)已知0＜α＜，若tan =2(sin α＋cos α)，则sin 2α=( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题得tan =====2(sin α＋cos α)，因为0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，故sin α＋cos α≠0，则=2，所以cos α－sin α=，故(cos α－sin α)2=cos 2α－2cos αsin α＋sin 2α=1－sin 2α=，解得sin 2α=．
次数的变换
例3 (2025·杭州质检)若sin x＋cos x=2sin α，sin xcos x=sin 2β，则( A )
A．4cos 22α=cos 22β B．cos 22α=4cos 22β
C．4cos 2α=cos 2β D．cos 2α=4cos 2β
【解析】 将sin x＋cos x=2sin α两边平方得1＋2sin xcos x=4sin 2α，结合sin xcos x=sin 2β可得1＋2sin 2β=4sin 2α，即1＋2sin 2β－4sin 2α=0，即2cos 2α－cos 2β=2(1－2sin 2α)－(1－2sin 2β)=1＋2sin 2β－4sin 2α=0，即2cos 2α=cos 2β，故C，D错误．又4cos 22α－cos 22β=(2cos 2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)=0，所以4cos 22α=cos 22β，故A正确，B错误．
三角恒等变换，重在根据相关公式变形，其中统一三角函数的次数关系需借助倍角公式及其变换形式，打通已知角与未知角的相互关系，实现双向变换，实现次的变换，其与角的变换、名的变换并称“三角恒等变换的三大思维起点”．
变式3 (1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin 2β，则cos(2α＋β)=__0__．
【解析】 依题意，sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin 2β，若sin β=0，则cos 2α=0，而sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0，与sin 22α＋cos 22α=1矛盾，所以sin β≠0，cos 2α≠0，所以==，则cos 2αcos β－sin 2αsin β=0，即cos(2α＋β)=0．
(2) 已知锐角α，β满足tan α=cos2β，tan 2β=tan ，则的值为____．
【解析】 因为tan α=cos 2β，tan 2β=tan ，所以tan ==，又tan ===，所以==，所以1－cos α=cos α－sin α，即1＋sin α=2cos α，又sin 2α＋cos 2α=1，所以5sin 2α＋2sin α－3=0，又α为锐角，解得sin α=或sin α=－1(舍去)，所以cos α=，tan α=，所以 =====．
配套热练
1．(2025·莆田二模)已知sin =，则=( C )
A． B．－
C． D．－
【解析】 由题知==sin =．
2．(2025·阳泉期末)已知tan α=，tan(α＋β)=，则tan β=( B )
A． B．－
C． D．
【解析】 tan β=tan［(α＋β)－α］===－．
3．(2025·泉州二检)－=( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 －== ===4．
4．(2025·深圳一调)已知=3，则=( C )
A． B．
C．2 D．3
【解析】 方法一：因为==3，所以4cos αsin β=2sin αcos β，故=2．
方法二：因为====3，所以=2．
5．(2025·江门模拟)已知sin ＋cos α=，则=( B )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由sin ＋cos α=，得 α－α＋cos α=，即 α＋α=sin =，所以==1－2sin 2=1－2×2=．
6．(2025·鹰潭二模)若α∈，tan α=，则sin =( A )
A． B．
C． D．
【解析】 因为tan α==，所以sin α(3－sin α)=cos 2α=1－sin 2α，整理可得sin α=．因为α∈，所以cos α===，从而sin =sin α＋cos αsin =×＋×=．
7．(2025·漳州一模)若tan α=2tan β，sin(α－β)=t，则sin(α＋β)=( C )
A．2t B．－2t
C．3t D．－3t
【解析】 由tan α=2tan β，得=，即sin αcos β=2cos αsin β．由sin(α－β)=t，得sin αcos β－cos αsin β=t，故sin αcos β=2t，cos αsin β=t，则sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=2t＋t=3t．
8．(2025·苏州期末)－2=( D )
A． B．
C． D．
【解析】 －2=－2 =－(α－sin α)=．
9．(2025·南京、盐城一模)(多选)已知cos αcos β=，cos(α＋β)=，则( BC )
A．sin αsin β= B．cos(α－β)=
C．tan αtan β=－ D．sin 2αsin 2β=
【解析】 由cos(α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=，且cos αcos β=，得sin αsin β=－，故A错误；cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β=－=，故B正确；tan αtan β===－，故C正确；sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β=4sin αsin βcos αcos β=4××=－，故D错误．
10．(2025·沧州二模)(多选)下列化简正确的有( AB )
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°=－ B．sin 15°sin 30°sin 75°=
C．= D．=tan
【解析】 对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°=sin(52°－82°)=－，故A正确；对于B，sin 15°sin 30°·sin 75°= 15°cos 15°= 30°=，故B正确；对于C，=tan(48°＋72°)=－，故C错误；对于D，===，故D错误．
11．(2025·苏北四市一调)(多选)已知α，β为锐角，cos(α＋β)=，tan α＋tan β=1，则( BCD )
A．sin αcos β= B．cos(α－β)=1
C．tan αtan β= D．tan［2(α＋β)］=－
【解析】 由α，β为锐角，cos(α＋β)=，得sin(α＋β)=，则tan(α＋β)=．又tan α＋tan β=1，即＋==1，所以cos αcos β=．又cos(α＋β) =cos α·cos β－sin αsin β=，所以sin αsin β=．对于C，tan αtan β= =，故C正确；对于A，由tan αtan β=，tan α＋tan β=1，解得tan α=tan β=，则α=β，sin α=sin β=，cos α=cos β=，所以sin αcos β=×=，故A错误；对于B，cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β=1，故B正确；对于D，tan［2(α＋β)］==－，故D正确．
12．(2025·合肥二模)已知=，则sin 4θ＋cos 4θ=____．
【解析】 因为====，所以sin 2θ=－，即2sinθcosθ=－，所以sinθcosθ=－，故sin 4θ＋cos 4θ=(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ=1－2×=．
13．(2025·郑州三模)已知tan(α＋β)tan β=，cos(α＋2β)=，则cos α=____．
【解析】 cos(α＋2β)=cos［(α＋β)＋β］=cos(α＋β)cos β－sin(α＋β)sin β=，tan(α＋β)tan β==，故cos(α＋β)cos β=3sin(α＋β)sin β，所以3sin(α＋β)sin β－sin(α＋β)sin β=，解得sin(α＋β)sin β=，故cos(α＋β)cos β=3×=，所以cos α=cos［(α＋β)－β］=cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β=＋=．
14．已知cos α=sin α，则tan =__2＋__．
【解析】 由cos α=sin α，得cos α=sin αsin =sin αsin ，所以cos α－sin αsin =0，从而=0，所以2α＋=＋kπ，k∈Z，解得2α=＋kπ，k∈Z，所以tan =tan =tan = ====2＋．
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