3 三角形中的“分边”与“分角”模型研究
基础打底
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b=1，C=，则AB边上的中线长为( D )
A．7 B．3
C． D．
【解析】 S△ABC=absin C=a×1×sin =a=，解得a=3．设AB的中点为D，则=＋)，则2=＋)2=2＋2＋2)=×=，则||=，故AB边上的中线长为．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，且C=csin A．若b=3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，则△ACD的面积为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 由正弦定理可知=，即asin C=csin A，故C=csin A=asin C=sin C，故tan C=，而C∈(0，π)，故C=．因为D是AB上的点，CD平分∠ACB，则由角平分线定理可知===3，故AD=AB，即S△ACD=S△ABC=×absin C=××1×3×sin =．
3．(2025·安阳二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠BAC的平分线AE交BC于点E，且AE=，c=1，b=2，则a=____．
【解析】 由等面积法，可得bcsin∠BAC=b·AE·sin ＋c·AE·sin ，即×2×1×sin∠BAC=×2××sin ＋×1××sin ，化简得=，又0＜∠BAC＜π，所以∠BAC=．由余弦定理可得a2=b2＋c2－2bccos∠BAC=22＋12－2×2×1×=7，所以a=．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)=b(b＋c)，则角A的大小为____；若b=3，c=4，AD是△ABC的高，则线段AD的长为____．
【解析】 由(a＋c)(a－c)=b(b＋c)，可得b2＋c2－a2=－bc，由余弦定理可得cos A==－．因为0＜A＜π，所以A=．由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A=9＋16＋12=37，所以a=．根据等面积法得S=bcsin A=a·AD，则AD===．
强技提能
角平分线
例1 (2025·宣城期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．
(1) 求角A的大小；
【解答】 由已知及正弦定理得=，即b2＋c2－a2=bc，由余弦定理得cos A==，又因为0＜A＜π，所以A=．
(2) 若a=3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD长的最大值．
【解答】 由(1)可知b2＋c2－18=bc，则(b＋c)2=3bc＋18 ①，由基本不等式有bc≤2，可得b＋c≤6，又b＋c＞a=3，则3＜b＋c≤6．因为S△ABC=S△ABD＋S△ACD，所以bc·sin =c·ADsin ＋b·ADsin ，可得AD=，由①有AD===，令t=b＋c，则AD=在上单调递增，所以AD的最大值为．
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1) 角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD．
(2) 内角平分线定理：=．
(3) 等面积法：由S△ABD＋S△ACD=S△ABC，得AD=(角平分线长公式)．
变式1－1 (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=__2__．
【解析】 方法一：如图，因为在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=，所以由正弦定理可得=，所以sin∠ACB===，又∠BAC=60°，所以∠ACB=45°，所以∠ABC=180°－45°－60°=75°，又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC=60°，所以∠BAD=30°，又∠ABC=75°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2．
方法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即6=4＋AC2－2AC，解得AC=＋1(负值舍去)，则AD====2．
变式1－2 (2025·赣州二模)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=．
(1) 求角B的大小；
【解答】 由cos A=，且0＜A＜π，得sin A==，故tan A==，tan B=tan［A－(A－B)］===1，又因为0＜B＜π，所以B=．
(2) 若∠BAC的平分线AD交BC于点D，△ABC的面积为15，求AD的长．
【解答】 设∠BAC=2θ，∠ADC=α，如图．由cos∠BAC=cos 2θ=1－2sin 2θ=，且0＜θ＜，可得sinθ=，cosθ==．sin C=sin(∠BAC＋∠B) =sin∠BAC·cos∠B＋cos∠BACsin∠B=×＋×=，且sin α=sin(θ＋B) =sinθcos B＋cosθsin B=×＋×=．在△ABD中，=，则BD==AD．在△ACD中，=，则CD==AD，所以BC=BD＋CD=AD．又在△ABC中，BC边上的高为ADsin α，则S△ABC=BC·ADsin α=AD2=15，所以AD=．
等分线
例2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Btan A=asin Bcos C＋bsin Ccos A．
(1) 求角A的大小；
【解答】 因为bsin Btan A=asin Bcos C＋bsin Ccos A，所以sin 2Btan A= Asin Bcos C＋ Bsin Ccos A．因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin Btan A= Acos C＋ Ccos A=(A＋C)．因为sin(A＋C)=sin B，所以tan A=．因为A∈(0，π)，所以A=．
(2) 若点D在边BC上，且BD=2DC，b=3，AD=2，求△ABC的周长．
【解答】 方法一：如图，设CD=x，则在△ABC中，cos∠BAC== ①．在△ACD中，cos∠ADC==．在△ADB中，cos∠ADB =．因为cos∠ADC＋cos∠ADB=0，所以6x2＋18－c2=0 ②．由①②可解得c=6，x=，所以△ABC的周长为3＋9．
方法二：因为BD=2DC，所以=＋=＋－)=＋，所以2=2＋＋2，即12=c2＋×c×3×＋×9，即c2＋6c－72 =0，解得c=6或c=－12(舍去)．由余弦定理得a2=36＋9－2×6×3×=27，所以a=3，所以△ABC的周长为3＋3＋6=3＋9．
在△ABC中，BD=λCD，有两个角度列式：
(1) 利用cos∠ADB＋cos∠ADC=0结合余弦定理找关系；
(2) 利用=＋平方后找关系．
变式2 (2025·张家口三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2－sin Asin C=sin 2(A＋C)＋cos 2(A＋B)＋cos 2(B＋C)．
(1) 求角B的大小；
【解答】 因为2－sin Asin C=sin 2(A＋C)＋cos 2(A＋B)＋cos 2(B＋C)，所以2－sin Asin C=sin 2B＋cos 2C＋cos 2A，所以1－cos 2C＋1－cos 2A－sin Asin C=sin 2B，所以sin 2B=sin 2A＋sin 2C－sin Asin C，由正弦定理可知b2=a2＋c2－ac，即a2＋c2－b2=ac，又由余弦定理可知cos B==，又B∈(0，π)，所以B=．
(2) 若△ABC外接圆的面积为π，且a＋=c，a=c，求BD的长．
【解答】 由△ABC的外接圆面积为π，得外接圆半径为1，由正弦定理得b=2sin B=，由余弦定理及a＋=c，得3=(＋a)2＋a2－a(＋a)，化简得a2＋a－1=0，解得a=(负根舍去)，从而c=．因为a=c，所以==，=＋=＋=＋－)=－＋=－＋，所以||2=2=［(－1)22＋(＋1)22－2(－1)(＋1)］==，故BD的长为．
高线
例3 (2025·许昌二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acos B＋bcos A=abc，A＋B=2C．
(1) 求△ABC的面积；
【解答】 在△ABC中，由A＋B=2C，得π－C=2C，解得C=．由acos B＋bcos A=abc及正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A=absin C，即sin(A＋B)=absin C，则sin C=absin C，而sin C＞0，故ab=1，所以△ABC的面积S=absin C=．
(2) 求AB边上的高的最大值．
【解答】 由余弦定理，得c2=a2＋b2－2abcos C=a2＋b2－1≥2ab－1=1，即c≥1，当且仅当a=b时取等号．设h为AB边上的高，则S=hc，即h=≤，所以AB边上的高的最大值为．
(1) 若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶．
(2) 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
(3) 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关．
变式3 (2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(1) 求证：tan B=3tan A；
【解答】 (1) 因为S=a2sin 2B，所以acsin B=2a2sin Bcos B，在△ABC中，sin B＞0，所以c=4acos B．由正弦定理得sin C=4sin Acos B．因为A＋B＋C=180°，所以sin C=sin(180°－A－B)=sin(A＋B)=sin Acos B＋cos Asin B，所以4sin Acos B=sin Acos B＋cos Asin B，即cos Asin B=3sin Acos B，所以tan B =3tan A．
(2) 若A=45°，BC边上的高为6，求b．
【解答】 因为A=45°，所以tan A=1，由(1)知tan B=3．
方法一：因为tan C=－tan(A＋B)=－=2，所以△ABC为锐角三角形．如图，过点A作AD⊥BC，过点C作CE⊥AB，D，E分别为垂足．由tan A=1，设AE=CE=3x．因为tan B=3，所以CE=3EB=3x，AD=3BD=6，所以在Rt△ADB中，AD=6，BD=2，AB=4x，所以36＋4=16x2，解得x2=，所以在Rt△AEC中，AC==3，即b=3．
方法二：因为tan B==3，又sin 2B＋cos 2B=1，所以sin 2B=，cos 2B=．
因为tan B=3＞0，所以B∈，所以sin B=，cos B=．由S=a2sin 2B=a×6，得a2×(2sin Bcos B)=3a，解得a=5．由正弦定理=，得=，解得b=3．
配套热练
1．(2025·烟台、东营一模)在△ABC中，AB=2AC=6，∠BAC=60°，=3，则||=( C )
A． B．
C． D．2
【解析】 在△ABC中，AB=2AC=6，∠BAC=60°，=3，所以=＋，则2=2＋2＋=||2＋||2＋||||cos 60°=×62＋×32＋×6×3×=21，所以||=．
2．在△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值为( A )
A． B．2
C．1 D．2
【解析】 因为A=120°，所以=||||cos 120°=－bc．因为AD是中线，所以=＋)，从而2=2＋2＋2)，所以4=b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b=c时等号成立，所以△ABC的面积S=bcsin A≤×4×=．
3．(2025·邵阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，cos B=．若△ABC的角平分线AD交BC边于点D，则AD=( D )
A． B．
C． D．3
【解析】 在△ABC中，AB=4，AC=6，cos B=，由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即62=42＋BC2－2×4×BC×，解得BC=5或BC=－4(舍去)，所以BC=5．因为AD是角平分线，所以根据角平分线定理，可得= ==．又因为BD＋DC=BC=5，所以BD=2．在△ABD中，由余弦定理得AD2= AB2＋BD2－2AB·BDcos B=16＋4－2×4×2×=18，解得AD=3，即AD的长为3．
4．在△ABC中，AB=4，E是BC边的中点，线段AE的长为，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为( B )
A． B．
C．2 D．
【解析】 因为E是BC的中点，所以=＋)，所以||2=2＋2＋2)=(||2＋||2＋2||·||cos 120°)，即3=(16＋||2－4||)，从而||2－4||＋4=0，解得||=2．因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD=60°．因为S△ABC=S△ABD＋S△ACD，所以AB·ACsin∠BAC =AB·ADsin∠BAD＋AC·ADsin∠CAD，即×4×2×=×4AD×＋×2AD×，所以2=AD，则AD=．
5．(2025·鹰潭二模)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin B=b，AC=2，则AC边上的高的取值范围是( B )
A．(1，) B．(1，2)
C．(1，2) D．(，2)
【解析】 在△ABC中，由正弦定理=，可得bsin A=asin B．由asin B=b，可得bsin A=b，所以 A== A＋ A，所以tan A=1．又因为A∈，所以A=，从而C=－B．又因为△ABC为锐角三角形，所以所以＜B＜．在
△ABC中，由正弦定理可得=，即=，故有AB= ==．因为＜B＜，所以tan B＞1，0＜＜1，所以1＜1＋＜2，从而＜AB＜2．又因为AC边上的高h=AB·sin =AB，所以h∈(1，2)．
6．(多选)在△ABC中，AB=2，AC=3，A=，D为边BC上一动点，则( AC )
A．BC=
B．当AD为边BC上的高时，AD=
C．当AD为边BC上的中线时，AD=
D．当AD为∠BAC的平分线时，AD=
【解析】 对于A，由AB=2，AC=3，A=及余弦定理，可得BC===，故A正确．对于B，当AD为边BC上的高时，由等面积法有AB·ACsin A=BC·AD，即×2×3×=×AD，解得AD=，故B错误．对于C，当AD为边BC上的中线时，AD=||=|＋|= ==，故C正确．对于D，当AD为∠BAC的平分线时，方法一：∠BAD=∠CAD=，由S△ABC=S△ABD＋S△ACD，可得×2×3×sin =×2AD×sin ＋×3AD×sin ，解得AD=．
方法二：由角平分线长公式可得AD===，故D错误．
7．(2025·秦皇岛一模)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中b=3，且b( A－cos C)=(c－a)cos B，若AC边的中点为M，则( ABD )
A．B= B．S△ABC的最大值为
C．a＋b＋c的最小值为3＋2 D．BM的最小值为
【解析】 对于A，由b( A－cos C)=(c－a)cos B及正弦定理得sin B( A－cos C)=(sin C－sin A)cos B，即 Bsin A－sin Bcos C=sin Ccos B－sin Acos B，所以 Bsin A＋sin Acos B=sin Ccos B＋sin Bcos C=sin(B＋C)=sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，从而 B＋cos B=1，即2sin =1，则B＋=，所以B=，故A正确；对于B，由余弦定理知b2=a2＋c2－2accos B，9=a2＋c2＋ac，因为a＞0，c＞0，所以9=a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤3，当且仅当a=c时等号成立，因为S△ABC=acsin B=ac，所以S△ABC的最大值为，故B正确；对于C，由B中分析知9=a2＋c2＋ac=(a＋c)2－ac，则(a＋c)2=9＋ac≤12，即a＋c≤2，当且仅当a=c时等号成立，所以a＋b＋c的最大值为3＋2，故C错误；对于D，因为BM为AC边上的中线，所以=＋，从而||===，因为ac≤3，所以||的最小值为，故D正确．
8．(2022·全国甲卷)在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当取得最小值时，BD=__－1__．
【解析】 设BD=x，则CD=2x．在△ACD中，b2=4x2＋4－2×2x×2×cos 60°=4x2－4x＋4．在△ABD中，c2=x2＋4－2×x×2×cos 120°=x2＋2x＋4．要使得最小，即最小．===4－12·=4－12·
=4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当(x＋1)2=3时，即x=－1或x=－－1(舍去)，即x=－1时取等号．
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高长为，且btan A=(2c－b)tan B，则bc=__8__．
【解析】 因为btan A=(2c－b)tan B，所以=－1，从而1＋=．根据正弦定理得1＋=，即=．因为sin(A＋B)=sin C≠0，sin B≠0，所以cos A=，从而A=．设BC边上的中线为AM，则AM=2．因为M是BC的中点，所以=＋)，即2=2＋2＋2)，所以c2＋b2＋bc=32 ①．设BC边上的高为AH．由S△ABC=bc·sin A=AH·BC，得bc=，即bc=2a ②．根据余弦定理得a2=c2＋b2－bc ③，联立①②③得2=32－2bc，解得bc=8或bc=－16(舍去)．
10．(2025·威海期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．
(1) 求角A的大小；
【解答】 由=及正弦定理得=，即b2＋c2－a2=－bc，可得cos A===－．因为0＜A＜π，所以A=．
(2) 若M是边BC上的点，AM⊥AB，AM=，求2b＋c的最小值．
【解答】 因为AM⊥AB，所以∠BAM=，∠CAM=．由S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可得bc×=c×＋b××，即bc=2c＋b，可得＋=1，所以2b＋c=(2b＋c)=4＋＋＋1≥9，当且仅当b=c=3时等号成立，所以2b＋c的最小值为9．
11．(2025·石家庄三模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B=a．
(1) 求角C的大小；
【解答】 在△ABC中，由bsin C＋ccos B=a及正弦定理得sin Bsin C＋ Ccos B= A=(B＋C)= Bcos C＋Bsin C，即sin Bsin C= Bcos C．因为B，C∈(0，π)，所以sin B＞0，即sin C=C＞0，可得tan C=，故C=．
(2) 若AB=2，且sin Asin B=，求AB边上的中线CT的长．
【解答】 由正弦定理可得====，所以ab=sin Asin B·=4．在△ABC中，由余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcos C=a2＋b2－ab=a2＋b2－4=8，所以a2＋b2=12．因为CT为AB边上的中线，所以=＋)，从而2=＋)2=2＋2＋2)=(a2＋b2＋2abcos C)=(a2＋b2＋ab)=×(12＋4)=4，故||=2，因此AB边上的中线CT的长为2．
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专题二
3 三角形中的“分边”与“分角”模型研究
三角函数与解三角形
基础打底
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则角A的大小为_____；若b＝3，c＝4，AD是△ABC的高，则线段AD的长为_______．
【解析】
强技提能
目标
1
角平分线
1
【解答】
【解答】
1
【解析】
又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2．
【答案】2
【解答】
【解答】
目标
2
等分线
2
【解答】
【解答】
2
变式2 (2025·张家口三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2－sin Asin C＝sin2(A＋C)＋cos2(A＋B)＋cos2(B＋C)．
(1) 求角B的大小；
【解答】
【解答】
目标
3
高线
(2025·许昌二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acos B＋bcos A＝abc，A＋B＝2C．
(1) 求△ABC的面积；
3
【解答】
(2025·许昌二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acos B＋bcos A＝abc，A＋B＝2C．
(2) 求AB边上的高的最大值．
【解答】
3
变式3 (2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin 2B．
(1) 求证：tan B＝3tan A；
【解答】
变式3 (2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin 2B．
(2) 若A＝45°，BC边上的高为6，求b．
【解答】
热练
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】AC
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【解析】
【答案】8
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】3 三角形中的“分边”与“分角”模型研究
基础打底
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b=1，C=，则AB边上的中线长为( )
A．7 B．3
C． D．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，且C=csin A．若b=3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，则△ACD的面积为( )
A． B．
C． D．
3．(2025·安阳二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠BAC的平分线AE交BC于点E，且AE=，c=1，b=2，则a=____．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)=b(b＋c)，则角A的大小为____；若b=3，c=4，AD是△ABC的高，则线段AD的长为___．
强技提能
角平分线
例1 (2025·宣城期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．
(1) 求角A的大小；
(2) 若a=3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD长的最大值．
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1) 角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD．
(2) 内角平分线定理：=．
(3) 等面积法：由S△ABD＋S△ACD=S△ABC，得AD=(角平分线长公式)．
变式1－1 (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=___．
变式1－2 (2025·赣州二模)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=．
(1) 求角B的大小；
(2) 若∠BAC的平分线AD交BC于点D，△ABC的面积为15，求AD的长．
等分线
例2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Btan A=asin Bcos C＋bsin Ccos A．
(1) 求角A的大小；
(2) 若点D在边BC上，且BD=2DC，b=3，AD=2，求△ABC的周长．
在△ABC中，BD=λCD，有两个角度列式：
(1) 利用cos∠ADB＋cos∠ADC=0结合余弦定理找关系；
(2) 利用=＋平方后找关系．
变式2 (2025·张家口三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2－sin Asin C=sin 2(A＋C)＋cos 2(A＋B)＋cos 2(B＋C)．
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC外接圆的面积为π，且a＋=c，a=c，求BD的长．
高线
例3 (2025·许昌二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acos B＋bcos A=abc，A＋B=2C．
(1) 求△ABC的面积；
(2) 求AB边上的高的最大值．
(1) 若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶．
(2) 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
(3) 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关．
变式3 (2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(1) 求证：tan B=3tan A；
(2) 若A=45°，BC边上的高为6，求b．
配套热练
1．(2025·烟台、东营一模)在△ABC中，AB=2AC=6，∠BAC=60°，=3，则||=( )
A． B．
C． D．2
2．在△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值为( )
A． B．2
C．1 D．2
3．(2025·邵阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，cos B=．若△ABC的角平分线AD交BC边于点D，则AD=( )
A． B．
C． D．3
4．在△ABC中，AB=4，E是BC边的中点，线段AE的长为，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为( )
A． B．
C．2 D．
5．(2025·鹰潭二模)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin B=b，AC=2，则AC边上的高的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，2)
C．(1，2) D．(，2)
6．(多选)在△ABC中，AB=2，AC=3，A=，D为边BC上一动点，则( )
A．BC=
B．当AD为边BC上的高时，AD=
C．当AD为边BC上的中线时，AD=
D．当AD为∠BAC的平分线时，AD=
7．(2025·秦皇岛一模)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中b=3，且b( A－cos C)=(c－a)cos B，若AC边的中点为M，则( )
A．B= B．S△ABC的最大值为
C．a＋b＋c的最小值为3＋2 D．BM的最小值为
8．(2022·全国甲卷)在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当取得最小值时，BD=___．
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高长为，且btan A=(2c－b)tan B，则bc=____．
10．(2025·威海期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．
(1) 求角A的大小；
(2) 若M是边BC上的点，AM⊥AB，AM=，求2b＋c的最小值．
11．(2025·石家庄三模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B=a．
(1) 求角C的大小；
(2) 若AB=2，且sin Asin B=，求AB边上的中线CT的长．
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