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专题二
2 三角函数的图象与性质辨析
三角函数与解三角形
基础打底
【解析】
B
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】A
【解析】
强技提能
目标
1
图象的应用
1
【解析】
C
1
【解析】
【答案】 ACD
通过“五点法”及图象变换作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象中零点、极值点等关键点信息与其他直线或曲线之间的关系，探求曲线交点情况及寻求方程或不等式计算参数的值与范围．
【解析】
D
【解析】
【答案】B
目标
2
参数取值范围问题
2
【解析】
【解析】
2
对ω取值范围的求解，一般需要借助简单复合函数的思想，令t＝ωx＋φ，通过研究y＝sin t的图象与性质，建立方程与不等式求解相关参数．
【解析】
【答案】A
【解析】
(－∞，－3］ ［2，＋∞)
目标
3
三角函数的复合问题
3
【解析】
【答案】ABD
(2) 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是 ( )
A．f(x)＝sin(tan x) B．f(x)＝tan(sin x)
C．f(x)＝cos(tan x) D．f(x)＝tan(cos x)
3
【解析】
【答案】 D
研究复合函数的相关性质，首先看能否通过化简实现非复合化，其次可利用函数对称性、周期性的一般代数关系论证其相关性质，利用复合函数单调性的判断方法研究其单调性、最值，或者通过研究函数图象实现求解．
【解析】
【答案】 ACD
热练
A组 基础必会——过关训练
【解析】
【答案】 C
【解析】
【答案】 BD
【解析】
【答案】 ABC
【解析】
【解析】
C
【解析】
【答案】 B
【解析】
【答案】 C
【解析】
【答案】A
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】ABD
【解析】
图(1)
图(2)
【答案】BD
12．(2025·济南三月模考)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为_______．
【解析】
【答案】－1
【解析】
14．(2025·吕梁三模)设函数f(x)＝cos x(|sin x|＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1) ≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为_____．
【解析】
若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max．
注意到f(x＋2π)＝f(x)，f(x)＝f(－x)，则f(x)的一个周期为2π，且为偶函数，所以由f(x)在［0，π］上的最值情况，可得其在定义域上的最值情况．2 三角函数的图象与性质辨析
基础打底
1．当－＜x＜时，方程2sin 2x=cos x的解的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y=向左平移个单位长度所得函数，则y=f(x)的图象与直线y=x－的交点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈［0，2π］)的部分图象如图所示，且f(x)在(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
已知函数f(x)=2sin ＋1(ω＞0)的图象在区间［0，1)上恰有2个最高点，则ω的取值范围为____．
强技提能
图象的应用
例1 (1) (2024·新高考Ⅰ卷)当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
(2) (2025·黄冈一模)(多选)如图，函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，|OB|=|OC|，|OA|=2，|AD|=，则( )
A．f(x)的图象不关于直线x=8对称 B．f(x)的最小正周期为12π
C．f(－x＋2)的图象关于原点对称 D．f(x)在［5，7］上单调递减
通过“五点法”及图象变换作出y=Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象中零点、极值点等关键点信息及与其他直线或曲线之间的关系，探求曲线交点情况及寻求方程或不等式计算参数的值与范围．
变式1 (1) (2025·河北模拟)函数f(x)=tan 2x与g(x)=|x|的图象在x∈(－2，5)上的交点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2) (2025·许昌二模)已知函数f(x)=(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，若=||2，则ω=( )
A． B．
C． D．
参数取值范围问题
例2 (1) (2025·泰州一调)已知ω＞0，函数f(x)=在区间上单调递减，则ω的最大值为____．
(2) (2025·秦皇岛一模)若函数f(x)=在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
对ω取值范围的求解，一般需要借助简单复合函数的思想，令t=ωx＋φ，通过研究y=sin t的图象与性质，建立方程与不等式求解相关参数．
变式2 (1) (2025·天津卷)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x=为它的图象的一条对称轴，是它的图象的一个对称中心，则当x∈时，f(x)的最小值为( )
A．－ B．－
C．1 D．0
(2) 已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为－3，则ω的取值范围为____．
三角函数的复合问题
例3 (1) (2025·湛江期末)(多选)已知函数f(x)=sin 2x|sin x|，则( )
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为
(2) 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)=sin(tan x) B．f(x)=tan(sin x)
C．f(x)=cos(tan x) D．f(x)=tan(cos x)
研究复合函数的相关性质，首先看能否通过化简，实现非复合化，其次可利用函数对称性、周期性的一般代数关系论证其相关性质，利用复合函数单调性的判断方法研究其单调性、最值，或者通过研究函数图象实现求解．
变式3 (2025·邯郸一模)(多选)已知函数f(x)=cos 2x－a(2cos x－1)－cos x＋1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x=π对称
B．若f(x)在上恰有三个零点，则a的取值范围是
C．当a=时，f(x)在上单调递增
D．若f(x)在上的最小值为M，则M≤0
配套热练
A组 基础必会——过关训练
1．已知函数f(x)=tan(ωx－φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ωφ=( )
A． B．
C． D．
2．(2025·鹰潭二模)(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心为
C．当f(x)取得最大值时，x=＋2kπ，k∈Z
D．将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
3．(2025·六安期末)(多选)对于函数f(x)=cos 2x和g(x)=，下列说法正确的有( )
A．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
B．g(x)的图象可由f(x)的图象向右平移个单位长度得到
C．f(x)与g(x)在x∈上的最大值相等
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4．(2025·景德镇三模)已知函数f(x)=3sin －1(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为____．
B组 融会贯通——提能训练
5．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y=2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A． B．
C． D．
6．(2025·漳州三模)已知f(x)=，若f(x)在区间(0＜a＜2π)上不单调，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
7．(2025·北京卷)设函数f(x)=sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，若f(x＋π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．3
8．(2025·广州一模)已知ω＞0，曲线y=cos ωx与y=相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω=( )
A．π B．π
C．π D．π
9．(2025·新余一模)已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，则下列说法正确的有( )
A．若ω=1，则对任意的x都有f(x＋π)=f(x)
B．若f(x)的图象关于直线x=对称，则ω=1＋6k(k∈N)
C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是
D．若方程f(x)=在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是
10．(2025·太原一模)(多选)已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，点A(0，－1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则( )
A．φ=－
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在［7，11］上单调递减
D．若将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的(t＞0)后在(0，2π)上有且仅有2个极值点，则t∈
11．(2025·苏锡常镇二模)(多选)已知函数f(x)=sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则( )
A．f(x)的图象关于点(π，0)对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)=在［0，2π］上有四个不同的实数解
12．(2025·济南三月模考)函数f(x)=|sin x|＋cos x的最小值为____．
13．(2025·晋城二模)已知函数f(x)=2cos ωx－1(ω＞0)在区间上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是____．
14．(2025·吕梁三模)设函数f(x)=cos x(|sin x|＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为____．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微切口2 三角函数的图象与性质辨析
基础打底
1．当－＜x＜时，方程2sin 2x=cos x的解的个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 方程2sin 2x=cos x可化为4sin xcos x=cos x，根据－＜x＜时，cos x≠0，得4sin x=1，可得sin x=，而当x∈时，有唯一锐角x满足sin x=，即方程2sin 2x=cos x的解的个数为1．
2．(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y=向左平移个单位长度所得函数，则y=f(x)的图象与直线y=x－的交点个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 把函数y=向左平移个单位长度可得函数f(x)===－sin 2x的图象，而直线y=x－显然经过点(1，0)，，作出函数f(x)=－sin 2x与直线y=x－的大致图象，如图所示．结合图象，当x=－时，y=x－=－＜－1；当x=时，y=x－=＜1；当x=时，y=x－=＞1．所以由图知y=f(x)的图象与直线y=x－的交点个数为3．
3．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈［0，2π］)的部分图象如图所示，且f(x)在(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围是( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由图可知f(0)=，得sin φ=，因为φ∈［0，2π］，且点在f(x)的单调递减区间上，所以φ=，故f(x)=sin ．因为f(x)在(0，π)上恰有1个极大值点和1个极小值点，由x∈(0，π)，得ωx＋∈，所以＜ωπ＋≤，解得＜ω≤．
4．已知函数f(x)=2sin ＋1(ω＞0)的图象在区间［0，1)上恰有2个最高点，则ω的取值范围为____．
【解析】 根据ω为正数，可得当x∈［0，1)时，ωx＋∈．若f(x)的图象在区间［0，1)上恰有2个最高点，则ω＋∈，解得ω∈．
强技提能
图象的应用
例1 (1) (2024·新高考Ⅰ卷)当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为( C )
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】 在同一坐标系中，作出函数y=sin x与y=2sin 在［0，2π］上的图象，如图所示．由图象可知，当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为6．
(2) (2025·黄冈一模)(多选)如图，函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，|OB|=|OC|，|OA|=2，|AD|=，则( ACD )
A．f(x)的图象不关于直线x=8对称 B．f(x)的最小正周期为12π
C．f(－x＋2)的图象关于原点对称 D．f(x)在［5，7］上单调递减
【解析】 由题意知A(2，0)，B，C(0，Asin φ)，则D，有|Asin φ|=2＋，sin(2ω＋φ)=0．因为|AD|=，所以2＋=，把|Asin φ|=代入上式并整理得2－2×－24=0，解得=6(负值舍去)，所以ω=，所以sin =0，由|φ|≤，解得φ=－，所以=8，解得A=，所以f(x)=．对于A，f(8)==0，故A正确；对于B，f(x)的最小正周期为=12，故B错误；对于C，f(－x＋2)==－x，所以f(－x＋2)为奇函数，故C正确；对于D，当5≤x≤7时，≤x－≤，所以f(x)在［5，7］上单调递减，故D正确．
通过“五点法”及图象变换作出y=Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象中零点、极值点等关键点信息及与其他直线或曲线之间的关系，探求曲线交点情况及寻求方程或不等式计算参数的值与范围．
变式1 (1) (2025·河北模拟)函数f(x)=tan 2x与g(x)=|x|的图象在x∈(－2，5)上的交点个数为( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 要求函数f(x)=tan 2x与g(x)=|x|的图象在x∈(－2，5)上的交点的个数，可作出f(x)=tan 2x与g(x)=|x|的图象如图所示，结合图象可知在x∈(－2，5)上两图象有5个交点．
(2) (2025·许昌二模)已知函数f(x)=(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，若=||2，则ω=( B )
A． B．
C． D．
【解析】 由=||2，可得－||·||·cos∠ABC=||2，由题图可知2|AB|=|BC|，所以cos∠ABC=－，所以∠ABC=．如图，过点B作BE⊥x轴于点E，可得|BE|=且∠ABE=，所以|AE|=|BE|tan ∠ABE=3，可得函数f(x)的最小正周期为T=12，所以ω==．
参数取值范围问题
例2 (1) (2025·泰州一调)已知ω＞0，函数f(x)=在区间上单调递减，则ω的最大值为____．
【解析】 因为x∈，ω＞0，所以2ωx＋∈，因为函数y=cos t在［0，π］上单调递减，而函数f(x)=在上单调递减，所以 ［0，π］，由此可得＋≤π，解得ω≤，则ω的最大值为．
(2) (2025·秦皇岛一模)若函数f(x)=在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
【解析】 由sin =0，ω＞0，可得ωx＋=kπ，k∈Z，即x=－，k∈Z，令－∈，得＋＜k＜＋，又f(x)在区间内没有零点，所以区间内不存在整数，又×≥－，所以正数ω满足0＜ω≤1，则 (0，1)，则＋≤1，解得ω≤，则正数ω的取值范围是．
对ω取值范围的求解，一般需要借助简单复合函数的思想，令t=ωx＋φ，通过研究y=sin t的图象与性质，建立方程与不等式求解相关参数．
变式2 (1) (2025·天津卷)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x=为它的图象的一条对称轴，是它的图象的一个对称中心，则当x∈时，f(x)的最小值为( A )
A．－ B．－
C．1 D．0
【解析】 因为f(x)在上单调递增，且x=为它的图象的一条对称轴，所以f=1，即ω＋φ=2kπ＋，k∈Z ①．因为f(x)的图象关于对称，所以ω＋φ=mπ，m∈Z ②，且－=T=×，n∈Z，解得ω=4n＋2，n∈Z．因为f(x)在上单调递增，所以－≤，解得0＜ω≤2，所以ω=2．根据①②，可得k，m∈Z，因为－π＜φ＜π，所以φ=，故f(x)=．当x∈时，2x＋∈，可得f(x)的最小值为f=sin =－．
(2) 已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为－3，则ω的取值范围为__(－∞，－3］ ［2，＋∞)__．
【解析】 若ω＞0，则当x∈时，ωx∈，因为f(x)在区间上的最小值为－3，所以－≤－或≥，解得ω≥2或ω≥9，则此时ω∈［2，＋∞)；若ω＜0，则当x∈时，ωx∈，同理，≤－或－≥，解得ω≤－3或ω≤－6，则此时ω∈(－∞，－3］．综上，ω∈(－∞，－3］ ［2，＋∞)．
三角函数的复合问题
例3 (1) (2025·湛江期末)(多选)已知函数f(x)=sin 2x|sin x|，则( ABD )
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为
【解析】 因为f(x＋π)=sin［2(x＋π)］|sin(x＋π)|=sin 2x|sin x|=f(x)，且f(0)=0，当x∈时，f(x)＞0；当x∈时，f(x)＜0，所以f(x)的最小正周期为π，故A正确．因为f(π－x)=sin［2(π－x)］|sin(π－x)|=－sin 2x|sin x|=－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确．当0≤x≤π时，f(x)=sin 2xsin x=2sin 2xcos x=2cos x－2cos 3x．设t=cos x∈［－1，1］，则函数g(t)=－2t3＋2t，所以g′(t)=－6t2＋2=－2(3t2－1)．由g′(t)＜0，得－1≤t＜－或＜t≤1；由g′(t)＞0，得－＜t＜，故g(t)在和上单调递减，在上单调递增．当x∈时，cos x∈，即t∈，因为＞，所以f(x)在上不单调，故C错误．因为g=－，g=，g(－1)=g(1)=0，所以f(x)在上的值域为．因为f(x)的最小正周期为π，所以f(x)的值域为，故D正确．
(2) 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( D )
A．f(x)=sin(tan x) B．f(x)=tan(sin x)
C．f(x)=cos(tan x) D．f(x)=tan(cos x)
【解析】 当x=0时，f(0)≠0，对于A，f(0)=sin(tan 0)=0，故A不正确；对于B，f(0)=tan(sin 0)=0，故B不正确；对于C，f(0)=cos(tan 0)=1，f(－x)=cos［tan(－x)］=cos(tan x)=f(x)，函数f(x)是偶函数，定义域为，故C不正确；对于D，f(0)=tan(cos 0)=tan 1，且f(－x)=tan［cos(－x)］=tan(cos x)=f(x)，函数f(x)是偶函数，且定义域为R，故D正确．
研究复合函数的相关性质，首先看能否通过化简，实现非复合化，其次可利用函数对称性、周期性的一般代数关系论证其相关性质，利用复合函数单调性的判断方法研究其单调性、最值，或者通过研究函数图象实现求解．
变式3 (2025·邯郸一模)(多选)已知函数f(x)=cos 2x－a(2cos x－1)－cos x＋1，则下列结论正确的是( ACD )
A．f(x)的图象关于直线x=π对称
B．若f(x)在上恰有三个零点，则a的取值范围是
C．当a=时，f(x)在上单调递增
D．若f(x)在上的最小值为M，则M≤0
【解析】 由题意知f(x)=cos 2x－a(2cos x－1)－cos x＋1=2cos 2x－(2a＋1)cos x＋a=(cos x－a)·(2cos x－1)．对于A，f(2π－x)=［cos(2π－x)－a］［2cos(2π－x)－1］=(cos x－a)(2cos x－1)=f(x)，即f(x)的图象关于直线x=π对称，故A正确．对于B，由f(x)=(cos x－a)(2cos x－1)=0，得cos x=a或cos x=，由于cos x=在上有两解，即－，，结合f(x)在上恰有三个零点，可知需cos x=a在上只有一解，由于y=cos x在上单调递增，在上单调递减，且==，=－，cos 0=1，故要使cos x=a在上只有一解，需－≤a＜或a=1，故B错误．对于C，当a=时，f(x)=2cos 2x－2cos x＋，令t=cos x，x∈，则t∈，t=cos x在上单调递减，而函数y=2t2－2t＋的图象的对称轴为t=，该函数在上单调递减，故f(x)=2cos 2x－2cos x＋在上单调递增，故C正确．对于D，令t=cos x，x∈，则t∈，f(x)=cos 2x－a(2cos x－1)－cos x＋1可化为y=2t2－(2a＋1)t＋a，该函数图象的对称轴为t=，当t=≥1，即a≥时，ymin=2－(2a＋1)＋a=1－a≤1－＜0；当－＜＜1，即－＜a＜时，ymin==≤0；当t=≤－，即a≤－时，ymin=＋(2a＋1)＋a=1＋2a≤－2＜0．综上，f(x)在上的最小值为M，则M≤0，故D正确．
配套热练
A组 基础必会——过关训练
1．已知函数f(x)=tan(ωx－φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ωφ=( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由图可知f(x)的最小正周期T=－==，解得ω=2，所以f(x)=tan(2x－φ)(0＜φ＜π)．根据对称性可知－φ=kπ＋，k∈Z，则φ=－kπ．由于0＜φ＜π，所以φ=，故ωφ=．
2．(2025·鹰潭二模)(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有( BD )
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心为
C．当f(x)取得最大值时，x=＋2kπ，k∈Z
D．将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【解析】 由图知A=2，T=－=，则T=π，故ω==2．由f=2sin =0，得－＋φ=kπ，k∈Z．又因为0＜φ＜，所以当k=0时，φ=，故f(x)=2sin ．对于A，由－≤x≤，得0≤2x＋≤π，而y=sin x在上单调递增，在上单调递减，故A错误；对于B，f=2sin =2sin 0=0，故B正确；对于C，当f(x)取得最大值时，2x＋=＋2kπ，k∈Z，即x=＋kπ，k∈Z，故C错误；对于D，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得y=f=2sin =2sin =2cos 2x的图象，且y=2cos 2x为偶函数，故D正确．
3．(2025·六安期末)(多选)对于函数f(x)=cos 2x和g(x)=，下列说法正确的有( ABC )
A．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
B．g(x)的图象可由f(x)的图象向右平移个单位长度得到
C．f(x)与g(x)在x∈上的最大值相等
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】 对于A，函数f(x)与g(x)的最小正周期都是=π，故A正确；对于B，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得f== =g(x)的图象，故B正确；对于C，因为x∈，所以2x∈，当2x=0，即x=0时，f(x)取得最大值，为f(0)=1，又2x－∈，所以当2x－=0，即x=时，g(x)取得最大值，为g=1，故C正确；对于D，由2x=kπ，k∈Z，得f(x)的图象的对称轴方程为x=，k∈Z，由2x－=kπ，k∈Z，得g(x)的图象的对称轴方程为x=＋，k∈Z，故D错误．
4．(2025·景德镇三模)已知函数f(x)=3sin －1(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为____．
【解析】 因为f(x)的最小正周期为π，所以ω=2，故f(x)=3sin －1，则g(x)=f=3sin －1．因为x∈，所以2x－∈，从而sin ∈，则g(x)∈，故g(x)在区间上的值域为．
B组 融会贯通——提能训练
5．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y=2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题知a－=，k∈Z，所以a=＋，k∈Z．因为a＞0，所以当k=0时，a取最小值．
6．(2025·漳州三模)已知f(x)=，若f(x)在区间(0＜a＜2π)上不单调，则a的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】 画出函数f(x)的部分图象(如图)．因为a＜2π，所以a＋＜＜．因为f(x)在区间(0＜a＜2π)上不单调，所以解得＜a＜．
7．(2025·北京卷)设函数f(x)=sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，若f(x＋π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为( C )
A．8 B．6
C．4 D．3
【解析】 由已知得f(x)=，又f(x＋π)=f(x)恒成立，所以kT=π，k∈N*，即k·=π，所以ω=2k，k∈N*．当k=1时，ω=2，f(x)=，因为x∈，所以2x＋∈，f(x)＞0，故ω=2不符合题意；当k=2时，ω=4，f(x)=，此时f(0)==1＞0，f==－1＜0，f(0)·f＜0，即f(x)在上存在零点，故ω=4即为所求．
8．(2025·广州一模)已知ω＞0，曲线y=cos ωx与y=相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω=( A )
A．π B．π
C．π D．π
【解析】 由cos ωx=，得ωx= ωx，所以tan ωx=．又ω＞0，所以ωx1=，即x1=，从而A；ωx2=，即x2=，从而B；ωx3=，即x3=，从而C．因为△ABC为直角三角形，所以=0，即=－2＋3=0，所以ω=π．
9．(2025·新余一模)已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，则下列说法正确的有( C )
A．若ω=1，则对任意的x都有f(x＋π)=f(x)
B．若f(x)的图象关于直线x=对称，则ω=1＋6k(k∈N)
C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是
D．若方程f(x)=在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是
【解析】 因为函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，所以f(0)=2sin φ=1，即sin φ=．又|φ|＜，所以φ=，从而f(x)=2sin ．对于A，当ω=1时，f(x)=2sin ，则f(x＋π)=2sin =－2sin =－f(x)，故A错误；对于B，因为f(x)的图象关于直线x=对称，则ω＋=＋kπ(k∈Z)，又ω＞0，所以ω=1＋3k(k∈N)，故B错误；对于C，由x∈，得ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以
，即解得0＜ω≤，即ω的取值范围是，故C正确；对于D，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，方程f(x)=在(0，π)上恰有两个不同的实数解，即sin =在(0，π)上恰有两个不同的实数解，则有＜πω＋≤，解得＜ω≤，即ω的取值范围是，故D错误．
10．(2025·太原一模)(多选)已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，点A(0，－1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则( ABD )
A．φ=－
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在［7，11］上单调递减
D．若将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的(t＞0)后在(0，2π)上有且仅有2个极值点，则t∈
【解析】 对于A，由f(0)=－1，得sin φ=－，而|φ|＜π，0在f(x)的单调递增区间上，则φ=－，故A正确；对于B，依题意，x0＞0，|AB|==，解得x0=3，函数f(x)的周期T=2(x0－0)=6=，解得ω=，故f(x)=2sin ，则f=2sin =0，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确；对于C，当x∈［7，11］时，x－∈，当x－=，即x=8时，f(x)取得最大值2，因此f(x)在［7，11］上不单调，故C错误；对于D，将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的(t＞0)后，得y=2sin 的图象，当x∈(0，2π)时，x－∈，依题意，＜－≤，解得＜t≤4，故D正确．
11．(2025·苏锡常镇二模)(多选)已知函数f(x)=sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则( BD )
A．f(x)的图象关于点(π，0)对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)=在［0，2π］上有四个不同的实数解
【解析】 方法一：因为f(0)=2，f(2π)=2，则f(2π)＋f(0)≠0，所以f(x)的图象不可能关于点(π，0)对称，故A错误．因为函数y1=sin x＋cos x=的最小正周期为2π，函数y2=|sin x－cos x|=的最小正周期为π，所以f(x)=y1＋y2的最小正周期为2π，故B正确．当0≤x≤时，f(x)=2cos x；当＜x≤时，f(x)=2sin x；当＜x≤2π时，f(x)=2cos x．作出直线y=与函数f(x)的大致图象，如图(1)所示，由图知f(x)min=－，f(x)=在［0，2π］上有4个根，故C错误，D正确．
图(1)
方法二：由f(x)=sin x＋cos x＋|sin x－cos x|==2max{sin x，cos x}．作出g(x)=2sin x和h(x)=2cos x的大致图象，如图(2)所示，取位于上方的部分(实线部分)即为f(x)的图象．由图可知，A，C错误，B正确．对于D，因为g(x)=2sin x与h(x)=2cos x在(0，π)内的图象的交点坐标为，而＜＜2，结合函数f(x)的图象特征可知函数f(x)与y=的图象在［0，2π］上有四个交点，所以f(x)=在［0，2π］上有四个不同的实数解，故D正确．
图(2)
12．(2025·济南三月模考)函数f(x)=|sin x|＋cos x的最小值为__－1__．
【解析】 当sin x≥0，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f(x)=|sin x|＋cos x=sin x＋cos x=；当sin x＜0，即2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π，k∈Z时，f(x)=|sin x|＋cos x=－sin x＋cos x=，所以f(x)=|sin x|＋cos x =作出函数f(x)的大致图象(如图)，所以函数f(x)=|sin x|＋cos x的最小值为－1，当x=2kπ＋π，k∈Z时取得．
13．(2025·晋城二模)已知函数f(x)=2cos ωx－1(ω＞0)在区间上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是____．
【解析】 令f(x)=2cos ωx－1=0，得cos ωx=．又x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2ωπ］．令t=ωx∈［0，2ωπ］．因为函数f(x)在区间［0，2π］上有且仅有4个零点，所以y=cos t的图象与直线y=在［0，2ωπ］上有且仅有4个交点，如图所示，由图可知≤2ωπ＜，解得≤ω＜，即ω的取值范围是．
14．(2025·吕梁三模)设函数f(x)=cos x(|sin x|＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为____．
【解析】 若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)=f(x)min，f(x2)=f(x)max．注意到f(x＋2π)=f(x)，f(x)=f(－x)，则f(x)的一个周期为2π，且为偶函数，所以由f(x)在［0，π］上的最值情况，可得其在定义域上的最值情况．当x∈［0，π］时，f(x)=cos x(sin x＋1)，f′(x)=－sin 2x－sin x＋cos 2x=1－2sin 2x－sin x=－2(sin x＋1)．因为x∈，所以sin x＋1＞0，则由f′(x)=0，得x=或x=，所以f(x)的最值只可能在x=0，x=，x=，x=π处产生．因为f(0)=1，f=，f=－，f(π)=－1，所以f(x)min=f(x1)=f，f(x)max=f(x2)=f，故|x1－x2|≥－=．
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